Z7/2. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2
1
Z7/2. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2
Z7/2.1. Zadanie 2
Dana jest belka złożona oraz wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego przedstawione na rysunku Z7/2.1. Zaprojektować stalową blachownicę teową, a następnie narysować wykresy naprężeń: normalnego σX oraz naprężeń stycznych τXZ i τXY. Przyjąć wytrzymałość stali R = 215 MPa.
18,0 kN/m
α
15,0 kNm
12,0 kN/m
10,0 kN
B
A
D
E
C
[m]
26,33 kN
49,17 kN
36,5 kN
α
6,0
2,0
4,0
1,0
21,5
3
10,0
6,32
T(x) [kN]
27,67
26,5
1,705
4,295
1,792
2,208
10,0
36,23
0,0
19,26
M(x) [kNm]
,0
15,0
0
43,0
1,792
2,208
1,705
4,295
Rys. Z7/2.1. Wykresy sił przekrojowych w belce Z7/2.2 Zaprojektowanie przekroju blachownicy
Na podstawie wykresu siły poprzecznej i momentu zginającego przedstawionego na rysunku Z7/2.1
można stwierdzić, że ekstremalny moment wynosi
M EXT=43,0 kNm=4300 kNcm .
(Z7/2.1)
Y
Wytrzymałość stali wynosi
kN
R=215 MPa=21,5
.
(Z7/2.2)
cm 2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/2. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2
2
Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie powinien spełniać warunek 4300
W
=200,0 cm 3 .
(Z7/2.3)
Y
21,5
Posiłkując się tablicami do projektowania konstrukcji metalowych dobierzemy przekrój będący połówką dwuteownika równoległościennego 550PE, którego wskaźnik wytrzymałości wynosi (oś X w tablicach odpowiada naszej osi Y=Ygl)
W =225 cm 3
(Z7/2.4)
Y
czyli jest większy niż wyliczony ze wzoru (Z7/2.3). Wymiary przekroju będącego połówką dwuteownika 550PE przedstawia rysunek Z7/2.2. Wszystkie wymiary zostały podane w centymetrach. Wskaźnik wytrzymałości (Z7/2.4) jest wskaźnikiem dla krawędzi dolnej przekroju, ponieważ krawędź ta jest bardziej oddalona od środka ciężkości więc tam wystąpią naprężenia normalne o największej wartości bezwzględnej na wysokości całego przekroju.
21,0
2
1,7
27,5
1,11
[cm]
Rys. Z7/2.2. Wymiary połówki dwuteownika 550PE
Przekrój belki musi być wykonany z blach jako blachownica należy więc zaokrąglić wszystkie grubości do pełnych milimetrów a szerokości do pełnych centymetrów. Przyjmiemy więc przekrój blachownicowy o wymiarach podanych w centymetrach przedstawiony na rysunku Z7/2.3. Grubość półki i środnika przyjęliśmy mniejsze niż w przekroju walcowanym, ponieważ wymiary te nie mają dużego wpływu na wartość głównego momentu bezwładności względem osi Y=Ygl. Przekrój blachownicowy teowy posiada tylko jedną osi symetrii więc środek ciężkości znajduje się w punkcie znajdującym się na tej osi. Oś środkowa Z0 jest także osią główną Zgl, ponieważ jak wiadomo moment dewiacyjny w układzie, w którym przynajmniej jedna z osi jest osią symetrii wynosi zero. Moment dewiacyjny ma także wartość zero w układzie osi głównych. W celu wyznaczenia położenia środka ciężkości na osi symetrii obierzemy począt-kowy układ współrzędnych YPZP, w którym oś ZP pokrywa się z osią symetrii. Przekrój podzielimy na dwa prostokąty: półkę o wymiarach 21,0 cm na 1,5 cm i środnik o wymiarach 26,0 cm na 1,0 cm. Rysunek Z7/2.4 przedstawia przyjęty układ współrzędnych YPZP oraz podział przekroju teowego na figury składowe.
Współrzędne środków ciężkości zpi poszczególnych prostokątów składowych wynoszą 1,5
26,0
z =
=0,75 cm z =1,5
=14,5 cm .
(Z7/2.5)
p1
2
p2
2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/2. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2
3
21,0
1,5
1,0
26,0
[cm]
Z=Z =Z
0
gl
10,5
10,5
Rys. Z7/2.3. Przyjęty przekrój blachownicowy
21,0
1,5
Y
sc1
P
0,75
14,5
sc2
26,0
1,0
Z =Z=Z =Z
P
0
gl
[cm]
10,5
10,5
Rys. Z7/2.4. Podział przekroju teowego na figury składowe Współrzędna zC środka ciężkości całego przekroju wynosi i= 2
∑ A⋅ z
i
Pi
21,0
z
⋅1,5⋅0,7526,0⋅1,0⋅14,5
= i=1
=
=6,967 cm .
C
(Z7/2.6)
i=2
21,0⋅1,526,0⋅1,0
∑ Ai
i=1
Rysunek Z7/2.5 przedstawia położenie środka ciężkości całego przekroju teowego. W celu wyznaczenia momentu bezwładności względem osi głównej Y=Ygl przekrój został podzielony tak samo jak dla wyznaczenia położenia środka ciężkości. Podział i położenie środków ciężkości poszczególnych figur składowych przedstawia rysunek Z7/2.6. Współrzędne y0i obu prostokątów wynoszą oczywiście zero.
Współrzędne z0i środków ciężkości obu prostokątów w układzie osi środkowych Y0Z0 wynoszą z =0,75−6,967=−6,217 cm z =14,5−6,967=7,533 cm .
(Z7/2.7)
01
02
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/2. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2
4
21,0
1,5
Y=Y =Y
6,967
0
gl
sc
26,0
1,0
20,53
Z=Z =Z
0
gl
[cm]
10,5
10,5
Rys. Z7/2.5. Położenie środka ciężkości przekroju teowego 21,0
1,5
sc1
Y=Y =Y
0
gl
sc
17
33
6,2
7,5
sc
26,0
2
1,0
[cm]
Z=Z =Z
0
gl
10,5
10,5
Rys. Z7/2.6. Podział na figury składowe w celu wyznaczenia momentu bezwładności względem osi Y=Ygl Moment bezwładności przekroju względem osi Y=Ygl wynosi 21,0
J
⋅1,53
= J =
−6,2172⋅21,0⋅1,5
Y
Ygl
12
.
(Z7/2.8)
1,0⋅26,03
7,5332⋅1,0⋅26,0=4163 cm 4
12
Wskaźnik wytrzymałości dla krawędzi dolnej wynosi 4163
W d=
=202,8 cm 3 .
(Z7/2.9)
Y
20,53
Wskaźnik wytrzymałości dla krawędzi górnej wynosi Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/2. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2
5
4163
W g=
=597,5 cm 3 .
(Z7/2.10)
Y
6,967
Zgodnie z (7.16) wskaźnik wytrzymałości przekroju teowego wynosi W = min{202,8 cm 3 ,
(Z7/2.11)
Y
597,5 cm 3
W =202,8 cm 3 .
(Z7/2.12)
Y
Wskaźnik (Z7/2.12) jest większy niż ten wyznaczony ze wzoru (Z7/2.3). Przekrój spełnia więc warunek wytrzymałości.
Z7/2.3 Naprężenia normalne σX oraz styczne τXZ i τXY w przekroju teowym Rysunek Z7/2.7 przedstawia siły przekrojowe działające w przekroju α - α znajdującego się w lewej części belki. Siła poprzeczna na wykresie na rysunku Z7/2.1 jest dodatnia więc kręci odciętą częścią belki zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Moment zginający rozciąga górną część przekroju pręta. Moment zginający w przekroju α - α rozciąga górną część przekroju pręta jest więc on ujemny a jego wartość wynosi M =−43,0 kNm=−4300 kNcm .
(Z7/2.13)
Y
Wartość bezwzględna siły poprzecznej wynosi
∣ T Z∣=21,5 kN .
(Z7/2.14)
Rysunek Z7/2.8 przedstawia przekrój teowy z działającymi siłami przekrojowymi. Na rysunku tym zazna-czone są również punkty, w których będziemy wyznaczać wartości naprężeń normalnych i stycznych.
X
43,0 kNm
Z=Z =Z
21,5 kN
0
gl
Rys. Z7/2.7. Siły przekrojowe w przekroju α - α
Funkcja naprężeń normalnych σX będzie miała postać
−4300
=
⋅ z=−1,033⋅ z .
(Z7/2.15)
X
4163
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/2. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2
6
21,0
1,5
1,5
4
6
5
3
Y=Y =Y
6,967
0
gl
5,467
2=sc43,0 kNm
21,5 kN
26,0
20,53
20,53
1,0
1
Z=Z =Z
0
gl
[cm]
10,5
10,5
Rys. Z7/2.8. Przekrój teowy obciążony siłami przekrojowymi Naprężenie normalne w punkcie 1 wynosi
kN
1= 20,53 =−1,033⋅20,53 =−21,21
=−212,1 MPa .
X
X
(Z7/2.16)
cm 2
Naprężenie normalne w punkcie 2 wynosi
kN
2= 0,0 =−1,033⋅0,0 =0,0
=0,0 MPa .
X
X
(Z7/2.17)
cm 2
Naprężenie normalne w punkcie 3 wynosi
kN
3= −5,467=−1,033⋅−5,467=5,647
=56,47 MPa .
X
X
(Z7/2.18)
cm 2
Naprężenie normalne w punkcie 4 wynosi
kN
4= −6,967=−1,033⋅−6,967 =7,197
=71,97 MPa .
X
X
(Z7/2.19)
cm 2
Rysunek Z7/2.13 przedstawia liniowy wykres naprężeń normalnych na wysokości przekroju teowego. Oś obojętna tego wykresu znajduje się w środku ciężkości przekroju.
Naprężenie styczne τXZ w punkcie 1 wynosi zero, ponieważ jest to punkt znajdujący się na krawędzi dolnej przekroju. Poniżej tego punktu nie mamy już przekroju więc moment statyczny części przekroju poniżej punktu 1 wynosi zero.
Rysunek Z7/2.9 przedstawia część przekroju pręta znajdująca się poniżej punktu 2. Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXZ w punkcie numer 2 zgodnie z (7.20) wynosi Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/2. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2
7
21,0
1,5
Y=Y =Y
6,967
0
gl
2=sc
0,271
26,0
sc1
20,53
1,0
Z=Z =Z
0
gl
[cm]
10,5
10,5
Rys. Z7/2.9. Część przekroju pręta znajdująca się poniżej punktu 2
21,0
1,5
sc
1,5
2
7
3
,96
Y=Y =Y
6
0
gl
sc
5,467
17
6,2
3
26,0
0,5
20,53
2
1,0
Z=Z =Z
0
gl
[cm]
10,5
10,5
Rys. Z7/2.10. Część przekroju pręta znajdująca się poniżej punktu 3
∣
21,5⋅20,53⋅1,0⋅10,27
kN
2∣=
=1,089
=10,89 MPa .
(Z7/2.20)
XZ
1,0⋅4163
cm 2
W punkcie 3 będziemy mieli dwie wartości naprężenia stycznego τXZ, ponieważ szerokość teownika zmienia się skokowo. Rysunek Z7/2.10 przedstawia część przekroju pręta znajdującą się powyżej punktu 3.
Jest to jak widać cała półka. Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXZ w punkcie numer 3 w środniku dla szerokości półki zgodnie z (7.20) wynosi
∣
21,5⋅21,0⋅1,5⋅6,217
kN
3p∣=
=0,0482
=0,482 MPa .
(Z7/2.21)
XZ
21,0⋅4163
cm 2
Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXZ w punkcie numer 3 w półce górnej dla grubości środnika zgodnie z (7.20) wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/2. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2
8
∣
21,5⋅21,0⋅1,5⋅6,217
kN
3s∣=
=1,011
=10,11 MPa .
(Z7/2.22)
XZ
1,0⋅4163
cm 2
Naprężenie styczne τXZ w punkcie 4 wynosi zero, ponieważ jest to punkt znajdujący się na krawędzi górnej przekroju. Rysunek Z7/2.13 przedstawia wykres naprężeń stycznych τXZ w przekroju teowym.
Ponieważ siła poprzeczna działa w dół czyli jej zwrot jest zgodny z dodatnim zwrotem osi Y więc naprężenia styczne τXZ w przekroju pręta będą dodatnie.
21,0
1,5
sc
1,5
3
5
Y=Y =Y
6,967
6,217
0
gl
5,467
sc
10,0
26,0
20,53
20,53
1,0
Z=Z =Z
0
gl
10,5
10,5
[cm]
Rys. Z7/2.11. Część półki
Y=Y =Y
0
gl
sc
21,5 kN
Z=Z =Z
0
gl
Rys. 7/2.12. Model przepływu wody w celu ustalenia znaków naprężeń stycznych τ XY
Rysunek Z7/2.11 przedstawia część półki mierzoną od jej krawędzi do punktu numer 5. Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXY w tym punkcie, zgodnie z (7.23), wynosi
∣
21,5⋅10,0⋅1,5⋅6,217
kN
6∣=
=0,321
=3,21 MPa .
(Z7/2.23)
XY
1,5⋅4163
cm 2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/2. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2
9
Ponieważ punkt 6 znajduje się na krawędzi półki to naprężenie styczne τXY będzie w tym punkcie wynosiło zero. Znaki naprężeń stycznych ustalimy na podstawie przepływu wody w systemie rurek w kształcie teownika. Przepływ ten przedstawiony jest na rysunku Z7/2.12. Rysunek Z7/2.13 przedstawia wykres naprężeń stycznych τXY.
,21
0,0
3
[MPa]
1
τXY
3,2
0,0
21,0
1,5
σ
τ
X
71,97
XZ
0,0
7
0,482
,96
56,47
10,11
Y=Y =Y
6
0
gl
sc43,0 kNm
0,0
10,89
21,5 kN
3
26,0
0,52
1,0
212,1 0,0
[MPa]
[MPa]
Z=Z =Z
0
gl
[cm]
10,5
10,5
Rys. Z7/2.13. Wykresy naprężeń normalnych i stycznych w przekroju teowym Dr inż. Janusz Dębiński