Temat wykładu:

1. Rozkład zmiennej losowej ciągłej

2. Parametry rozkładów

1

Anna Rajfura

Zagadnienia omawiane na zajęciach

1. Przypomnienie sposobów opisania

rozkładu skokowego

2. Rozkład zmiennej losowej ciągłej

a. idea opisania rozkładu ciągłego

b. określenie zdarzenia losowego

w rozkładzie ciągłym

c. p-stwo zdarzenia losowego

w rozkładzie ciągłym

3. Przykłady rozkładów ciągłych

4. Prawo trzech sigm dla rozkładu

normalnego

5. Rozkłady z próby

6. Parametry rozkładów

2

Anna Rajfura

Przypomnienie - zmienna losowa

Zmienna losowa X – wygrana gracza G

w grze w kostkę.

D

wyniki dośw. D:

1 2 3 4 5 6

wartości zm. los. X: -1 -1 -1 -1 10 10

3

Anna Rajfura

Przypomnienie - rozkład zmiennej losowej Rozkład (wartości) zmiennej losowej

X przedstawia tabelka:

wartości x : -1 10

i

p-stwo p :

2/3 1/3

i

4

Anna Rajfura

Przypomnienie - rozkład zmiennej losowej cd.

Rozkład zmiennej losowej X

przedstawia funkcja rozkładu p-stwa

(frp): f(x )= p

i

i

p-stwo p

i

f(

2 / ,

3 dla x = −

(x) 

1

= 1/ ,3 dla x = 10

2/3

1/3

-1

10

1

wart

r ośc

ś i x

i

5

Anna Rajfura

Przypomnienie - rozkład zmiennej losowej cd.

Rozkład zmiennej losowej X

przedstawia funkcja dystrybuanta, F :

X

def

F

=

≤

∈

X (t)

(

P X

t),

t

R

F (t)

X

1

2/3

-

1

10

t

6

Anna Rajfura

Przypomnienie - sposoby przedstawienia rozkładu

• w tabeli wartości/p-stwa

• za pomocą funkcji rozkładu p-stwa

• za pomocą funkcji dystrybuanty

Komentarz o pojęciu „rozkład”

7

Anna Rajfura

Typy rozkładów zmiennych losowych

Rozkład zmiennej losowej

skokowy

ciągły

(dyskretny)

Przykłady:

• dwupunktowy (0-1)

• równomierny

• dwumianowy

• Poissona

Komentarz do idei przedstawienia rozkładu ciągłego.

8

Anna Rajfura

Rozkład zmiennej losowej ciągłej

Sposoby przedstawienia rozkładu

zmiennej losowej X ciągłej:

• za pomocą funkcji gęstości p-stwa

(fgp):

y = f(x)

• za pomocą funkcji dystrybuanty:

def

F

=

≤

X (t)

P(X

t)

9

Anna Rajfura

Funkcja gęstości p-stwa - idea

Funkcja gęstości p-stwa zmiennej

losowej X: y = f (x)

f (x)

wartości zmiennej losowej X

10

Anna Rajfura

Funkcja gęstości p-stwa - definicja

Funkcja gęstości p-stwa (fgp) zmiennej

losowej X, ozn.: y = f (x), spełnia

warunki:

1. wykres fgp leży nad lub na osi OX

f(x) ≥ 0 dla każdego x ∈ D

f

2. pole obszaru ograniczonego z góry

wykresem funkcji, a z dołu osią OX jest równe 1

+∞

+

∫ f(x) dx = 1

−∞

11

Anna Rajfura

Zdarzenie losowe - przedstawienie

Wykres fgp y = f (x)

Zdarzenie losowe

f (x)

X ∈ a ; b

a

b

wartości zmiennej losowej X

12

Anna Rajfura

Zdarzenia losowe - przykłady

Przykłady (przy a < b):

X ∈ ( a , b )

X ∈ a , b

X ∈ a , b )

X ∈ (

a , b

X ∈ (

X ∈ ( − ∞ , a )

− ∞ , a

X ∈ (

X ∈ a , + ∞)

a , + ∞)

X ∈ a , a

= { a }

13

Anna Rajfura

P-stwo na wykresie fgp

Wykres fgp y = f (x)

P-stwo zdarzenia

losowego (a ; b) –

zakreskowane pole

f(x)

a

b

wa rtości zmiennej losowej X

14

Anna Rajfura

P-stwo zdarzenia w rozkładzie ciągłym

Zdarzenie losowe:

X ∈ a , b

P-stwo zdarzenia losowego:

P { X ∈ a , b }

Graficzna interpretacja p-stwa P { X ∈ a , b }:

„pole pod wykresem fgp” –

pole obszaru ograniczonego z góry wykresem fgp, z dołu osią OX,

dla wartości x z przedziału a , b

15

Anna Rajfura

P-stwo zdarzenia w rozkładzie ciągłym cd.

Obliczanie p-stwa P { X

a

b

∈

,

}:

P {

b

X ∈ a b

,

}= ∫f(x) dx

a

16

Anna Rajfura

Dystrybuanta - definicja

Dystrybuanta zmiennej losowej X,

ozn.: F (t)

X

t

F (t) =

def P X t

f(x) dx

X

{ ≤ }= ∫−∞

17

Anna Rajfura

Dystrybuanta – wykres

F (t) – dystrybuanta zm. los. X

X

F(t)

1

F(a)

0

a

t

18

Anna Rajfura

Dystrybuanta – własności

F (t) – dystrybuanta zm. los. X

X

1. lim F

=

X (t)

0

t→−∞

−

2. lim F

=

X (t)

1

t→+∞

+

3. F (t) jest funkcją niemalejącą

X

4. F (t) jest funkcją (prawostronnie)

X

ciągłą

19

Anna Rajfura

Dystrybuanta na wykresie fgp

Wykres fgp y = f(x)

t

F (t) =

def

(

P X

t)

f(x) dx

X

≤

= ∫−∞

f(x)

zakreskowane pole

t

wartości zmiennej losowej X

20

Anna Rajfura

Przykłady rozkładów ciągłych

• jednostajny na odcinku (a,b)

• normalny

21

Anna Rajfura

Rozkład jednostajny na odcinku (a ; b)

Wzór fgp:



1



dla x ∈ (a , b)

f(x)

b −

=

a

f(x)



0

dla x ∉ (a , b)

1

1/(b-a)

0

a

b

x

22

Anna Rajfura

Rozkład normalny

Parametry w rozkładzie normalnym:

µ (czyt.: mi) µ ∈ R

σ (czyt.: sigma)

σ > 0

Wzór fgp:

( −µ)2

x

−

2

1

2

f(x) =

e

σ

2π σ

23

Anna Rajfura

Rozkład normalny cd.

Wykres fgp:

f(x)

µ=2, σ=1

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

x

krzywa Gaussa

24

Anna Rajfura

Parametr µ w rozkładzie normalnym

f(x)

µ = -4 σ = 2

µ = 2 σ = 2

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

25

Anna Rajfura

Parametr σ w rozkładzie normalnym

µ = 2 σ = 1

µ = 2 σ = 3

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

26

Anna Rajfura

Rozkład normalny - oznaczenia

Zmienna losowa X ma rozkład

normalny z parametrami µ oraz σ2,

ozn.:

X ~ N( µ, σ2)

Zmienna losowa Z ma rozkład

normalny standardowy, jeśli µ=0, σ=1,

ozn.:

Z ~ N( 0, 1)

Komentarz do parametrów.

27

Anna Rajfura

Tablice statystyczne - dystrybuanta

Dystrybuanta standardowego

rozkładu normalnego F (x)

Z

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586

0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535

0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409

0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173

0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793

:

28

Anna Rajfura

Tablice dystrybuanty F (x)

Z

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586

0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535

0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409

0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173

0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793

0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240

0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490

:

3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995

3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997

Zadania.

29

Anna Rajfura

Wzór (1)

Wzór na wyznaczanie wartości

dystrybuanty F standardowego

rozkładu normalnego przy użyciu

tablic

Jeśli Z ~ N (0, 1), a > 0, to:

F (– a) = 1 – F (a)

Z

Z

(1)

30

Anna Rajfura

Wzór (2)

Wzór na standaryzację zmiennej

losowej o dowolnym rozkładzie

normalnym

Jeśli Z~N (0, 1), X~N (µ, σ2), to:

x -µ

0

F (x

)

F

(2)

X

=

0

Z ( σ

)

31

Anna Rajfura

Prawo trzech sigm

Jeśli X ~ N( µ, σ2), to:

{

P X ∈ µ − σ ; µ + σ } ≈

68

,

0

{

P X ∈ µ − 2σ ; µ + 2σ } ≈

95

,

0

{

P X ∈ µ − 3σ ; µ + 3σ } ≈

9973

,

0

Przykład.

32

Anna Rajfura

Rozkłady z próby *

Próba prosta

X , X , ... X – niezależne zmienne

1

2

n

losowe o jednakowym rozkładzie

Komentarz.

33

Anna Rajfura

Rozkład chi kwadrat *

Rozkład χ2 (czyt.: chi-kwadrat)

Jeśli zmienne losowe X , X , ..., X są 1

2

n

niezależne, X ~N(0, 1), i=1, 2, ..., n

i

to X 2 + X 2 + ...+ X 2 jest zmienną

1

2

n

losową o rozkładzie χ2 z liczbą stopni

swobody n.

34

Anna Rajfura

Rozkład chi kwadrat cd. *

Fgp dla rozkładu χ2:

 ,

0

dla x ≤ ,

0

f(x) =  − n −

n

1 n

−1 − x

2 2 Γ (2 ) x 2 e 2 ,

dla x > 0

gdzie:

+∞

+

Γ(t) = ∫ t−1 −u

u

e

,

du

t ∈ R+

0

35

Anna Rajfura

Rozkład chi kwadrat cd. *

Wykres fgp dla rozkładu χ2:

Chi-Square Distribution

0,25

Deg. of freedom

3

0,2

10

50

0,15

sity

end

0,1

0,05

0

0

20

40

60

80

100

x

36

Anna Rajfura

Rozkład t-Studenta *

Rozkład t – Studenta

Jeśli zmienne losowe X , X , X , ..., X

0

1

2

n

są niezależne, X ~N(0, 1), i=1, 2, ..., n, i

X 0

to

jest

1 ( X 2 + X 2 + K + X 2 )

n

1

2

n

zmienną losową o rozkładzie

t-Studenta z liczbą stopni swobody n.

37

Anna Rajfura

Rozkład t – Studenta cd. *

Wykres fgp dla rozkładu t – Studenta:

Student's t Distribution

0,4

Deg. of freedom

10

50

0,3

sity

0,2

end

0,1

0

-6

-4

-2

0

2

4

6

x

38

Anna Rajfura

Rozkład F Fishera – Snedecora *

Rozkład F Fishera – Snedecora

Jeśli zmienne losowe X , X , ..., X

1

2

n

oraz Y , Y , ..., Y są niezależne,

1

2

m

1 ( X 2 + X 2 + K + X 2 )

n

1

2

n

X , Y ~N(0, 1), to 1

2

2

2

+

+ K +

i

j

( Y

Y

Y

)

m

1

2

m

jest zmienną losową o rozkładzie

F Fishera – Snedecora z liczbami

stopni swobody n i m.

39

Anna Rajfura

Rozkład F Fishera – Snedecora cd. *

Wykres fgp dla rozkładu F

F (variance ratio) Distribution

1,5

Numerator d.f,Denominator d.f.

10,10

1,2

50,40

0,9

sity

end

0,6

0,3

0

0

1

2

3

4

5

x

40

Anna Rajfura

Charakterystyki rozkładu

Charakterystyki (parametry)

- nazwy i oznaczenia

odchylenie

nazwa: średnia wariancja standardowe

ozn.:

EX

D2X

D2X

41

Anna Rajfura

Wzory dla rozkładu skokowego

X - zmienna losowa skokowa

wartość x

i

x

x

...

x

1

2

n

pstwo p

i

p

p

...

p

1

2

n

EX = x p + x p

...

x p

x p

1

1 +

+

2

2

+ n n = ∑ i i

i

2

2

2

D X = (x

EX p

x

EX p

...

x

EX p

1 −

) 1 + ( 2 − ) 2 + + ( − )2

n

n =

= ∑ (x − EX)2p

i

i

i

Obliczenia na tablicy.

42

Anna Rajfura

Wzory dla wybranych rozkładów skokowych Wzory na parametry

rozkładu dwumianowego

EX = np

D2X = np(1-p)

Wzory na parametry

rozkładu Poissona

EX = λ

D2X = λ

43

Anna Rajfura

Wzory dla rozkładu ciągłego

X - zmienna losowa ciągła

fgp y = f (x)

+∞

+

EX = ∫ x f(x) dx

−∞

+∞

+

D2X = ∫ (x − EX)2 f(x) dx

− ∞

44

Anna Rajfura

Wzory dla rozkładu normalnego

Wzory na parametry

rozkładu normalnego

EX = µ

D2X = σ2

45

Anna Rajfura