10. STANY NIEUSTALONE W OBWODACH SLS

10.1. STAN NIEUSTALONY - WPROWADZENIE

Rozpatrzmy układ SLS, na który działamy zdeterminowanym wymu-

szeniem x( t) określonym dla t∈(-∞,+∞).

Jeśli interesuje nas funkcja określonej wielkości fizycznej w tym

układzie, to możemy nazywać ją odpowiedzią r( t) układu na istniejące wymuszenie x( t) – rys.10.1.

x ( t)

r ( t)

układ

SLS

Rys.10.1.

Dotychczas rozpatrywaliśmy obwody w stanie ustalonym - co

oznaczało, że moment włączenia źródła wymuszającego do obwodu był

nieskończenie odległy od momentu obserwacji. Wówczas wszystkie na-

pięcia i prądy występujące w obwodzie miały ten sam charakter, co wymuszenie - rys.10.2.

x ( t)

r ( t)

t

t

obs

x ( t)

r t

( )

t

t

obs

Rys.10.2.

- 1 -

Jeśli w jakimś momencie czasu ( tk) nastąpi

dowolna zmiana warunków pracy układu

zmiana sygnału wymuszającego (np. zmiana

parametrów sygnału, w tym także załączenia

lub wyłączenia)

KOMUTACA

zmiana struktury obwodu (np. odłączenie ele-

mentu, dołączenie elementu dodatkowego)

zmiana parametrów obwodu

to nowe warunki wymuszają oczywiście inną funkcję odpowiedzi układu,

czyli inny stan ustalony.

Przejście od jednego stanu ustalonego do drugiego - przejście zapo-czątkowane w chwili komutacji ( tk) - trwa pewien określony czas, który nazywamy czasem trwania stanu nieustalonego ( t∞) a stan układu, w któ-

rym znajduje się on w przedziale czasu [ tk, t∞], nazywamy STANEM

NIEUSTALONYM (odpowiedź ma charakter różny od wymuszenia) –

rys.10.3.

r t

( )

t

t =0

t

k

0 0

stan

I stan

II stan

nieustalony

ustalony

ustalony

r t

( )

t

t

k

stan

0 0

t

I stan

II stan

nieustalony

ustalony

ustalony

Rys.10.3.

Przyjmujemy założ enie, ż e czas trwania komutacji jest równy zeru, tzn.

wszystkie zmiany odbywają się bezzwłocznie.

- 2 -

10.2. PRAWA KOMUTACJI, WARUNKI POCZĄTKOWE

Komutacja może być przyczyną występowania skokowych zmian prądów i napięć w obwodzie. Istnieją jednak ograniczenia, którym podlega

każdy obwód. Wynikają one z faktu, iż w realnych obwodach moc chwi-

lowa nie może być nieskończenie wielka

d W t

p ( t)

( )

=

< ∞

(10.1)

dt

co oznacza ciągłość funkcji energii – ciągłość ta musi występować również w chwili komutacji.

Na podstawie zasady ciągłości energii w obwodzie oraz pamiętając, że wartość energii nagromadzonej

w polu magnetycznym cewki o in- w polu elektrycznym kondensatora

dukcyjności L, przez którą prze-

o pojemności C, naładowanego do

pływa prąd iL wynosi (1.13)

napięcia uC wynosi (1.10)

1

2

1

2

W

=

W t = C u

t

L ( t )

L iL ( t)

C ( )

C ( )

2

2

Możemy sformułować dwa prawa komutacji:

Pierwsze prawo komutacji

Drugie prawo komutacji

Prąd płynący przez cewkę nie mo-

Napięcie na kondensatorze nie mo-

że ulec skokowej zmianie, co że zmienić się skokowo, co ozna-

oznacza, że prąd cewki w chwili cza, że napięcie na kondensatorze tuż przed komutacją równa się w chwili tuż przed komutacją jest

prądowi tuż po komutacji

równe napięciu tuż po komutacji

−

+

i

uC ( 0 )= uC ( 0 )

L ( −

0 )= iL ( +

0 )

(10.2)

(10.3)

UWAGA: Nie ma żadnych przesłanek wykluczających skokowe zmiany pozostałych wielkości w obwodzie, tzn.: napięć na cewkach,

prądów kondensatorów lub też prądów i napięć rezystorów.

- 3 -

Zakładając, że chwilę komutacji uważać będziemy za chwilę początkową ( tK=0) analizy obwodu w stanie nieustalonym, istotne jest wyznaczenie warunków początkowych procesu.

Warunki początkowe stanowi zbiór wartości prądów w indukcyj-

nościach i napięć na pojemnościach układu

w chwili początkowej. Warunki początko-

we określają całkowitą wartość energii

zgromadzonej w układzie w chwili tK=0.

Wyznaczenie warunków początkowych w obwodzie wiąże się z:

• rozwiązaniem stanu ustalonego obwodu przed komutacją,

• określeniem postaci czasowej tego rozwiązania na prądy cewek

i napięcia kondensatorów,

• wyznaczeniem rozwiązania odpowiadającego chwili czasowej

komutacji.

Oznacza to, iż podstawą do ustalenia warunków początkowych obwo-

du są prawa komutacji.

UWAGA: Warunki początkowe mogą być (i często są) zerowe

10.3. ANALIZA STANÓW NIEUSTALONYCH

W celu zbadania zmian wartości danej wielkości obwodu (prądu, na-

pięcia) w stanie nieustalonym stosuje się w praktyce jedną z dwóch metod:

metodę klasyczną bądź metodę operatorową.

Wyznaczenie rozwiązań obwodów SLS w stanie nieustalonym

Metoda klasyczna

Metoda operatorowa

polegająca na bezpośrednim rozwią-

wykorzystująca

właściwości

zaniu równań różniczkowych (zwy-

przekształcenia Laplace’a.

czajnych, liniowych o stałych współ-

czynnikach) opisujących obwód

- 4 -

10.4. METODA KLASYCZNA

Modelem matematycznym obwodu elektrycznego klasy SLS, o do-

wolnej konfiguracji, jest układ równań różniczkowo-całkowych, wynika-

jących z praw Kirchhoffa i definicji elementów R, L i C. W celu wyzna-czenia poszukiwanych prądów i napięć wszystkie równania należy spro-wadzić do układu równań różniczkowych o postaci ogólnej

d r 1( t) = a r

11 1( t ) + a

r

12 2 ( t ) + ... + a

r

n

1

n ( t ) + f 1( t )



dt

d r 2( t)



= a r

21 1( t ) + a

r

22 2 ( t ) + ... + a

r

2 n n ( t ) + f 2 ( t ) 



dt



(10.4)

M



d rn ( t)



= a r

n 1 1( t ) + a

r

n 2 2 ( t ) + ... + a

r

nn n ( t ) + fn ( t ) 



dt



gdzie: r1( t) ... rn( t) – zmienne oznaczające prądy cewek lub napięcia kondensatorów (tzw. zmienne stanu); stałe współczynniki aij stanowią kombinację wartości parametrów R, L, C; funkcje czasu f1( t) ... fn( t) związane z wymuszeniami x1( t) ...

xn( t); liczba równań n zależy od liczby reaktancji w obwodzie.

Rozwiązując układ równań z uwagi na poszukiwaną funkcję odpowie-

dzi r( t) przy znanym wymuszeniu x( t) otrzymujemy równanie różniczkowe zwyczajne, liniowe o stałych współczynnikach n-tego rzędu o postaci:

−

d n r( t)

d n 1 r( t)

d r( t)

a

+ a −

+ ... + a

+ a r =

n

n 1

1

0

( t) x( t)

−

(10.5)

dt n

dt n 1

dt

Rozwiązaniem równania (10.5) określającym analityczną postać od-

powiedzi r( t) jest tak zwana całka ogólna równania niejednorodnego ( C.O.R.N. )

r( t ) = C O

. R

. N

. .

(10.6)

Teoria równań różniczkowych mówi, że jest ona sumą dwóch składo-

wych: całki ogólnej równania jednorodnego ( C.O.R.J.) i całki szczególnej równania niejednorodnego ( C.S.R.N.). Zatem

- 5 -

r( t ) = C O

. R

. N

. . =

C O

. R

. J

. .

+

C S

. R

. N

. .

(10.7)

składowa odpowiedzi

składowa odpowiedzi

niezależna od wymuszenia

wywołana przez wymuszenia

oznaczana rS( t) i nazywana

oznaczana rW( t) i nazywana

składową swobodną

składową wymuszoną

(przejściową) odpowiedzi

(ustaloną) odpowiedzi

Czyli:

r( t )

=

r ( t )

r ( t

S

+

)

W

(10.8)

Składowa swobodna rS( t) opisuje pro-

Składowa wymuszona rW( t) opisu-

cesy zachodzące w obwodzie na skutek

je stan ustalony w obwodzie przy

niezerowych warunków początkowych

działającym wymuszeniu, może być

przy braku wymuszeń zewnętrznych.

zatem łatwo wyznaczona dowolną z

Składowa przejściowa zależy jedynie od

poznanych metod analizy obwodów.

warunków początkowych, struktury ob-

wodu i wartości parametrów tego obwo-

du. Cechą charakterystyczną rS( t) jest jej

=

zanikanie z biegiem czasu do zera

lim [ r ( t

S

] ) 0 (10.9)

t →+∞

Równanie składowej swobodnej rS( t) otrzymuje się zakładając wymuszenie x( t) we wzorze (10.5) równe zeru i zastępując zmienną r( t) poprzez jej składową swobodną rS( t)

−

d n rS ( t)

d n 1 rS ( t)

d rS ( t)

a

+ a −

+ ... + a

+ a r

=

n

n 1

1

0 S ( t )

0

−

(10.10)

dt n

dt n 1

dt

Rozwiązanie równania jednorodnego (10.10) uzyskuje się za pośrednic-

twem równania charakterystycznego, które ma postać

a sn +

−

a

sn 1

−

+ ... + a s + a = 0

n

n 1

1

0

(10.11)

jeśli wielomian ten posiada tylko pierwiastki pojedyncze si ( i=1,2, ... n), to n

i

r ( t )

A e

S

= ∑

s t

i

(10.12)

i = 1

gdzie współczynniki Ai ( i=1,2, ... n) są stałymi całkowania, których wartości wyznacza się w oparciu o znajomość warunków początkowych.

- 6 -

PRZYKŁAD 2

Rozpatrzymy stan nieustalony w obwodzie a)

R

szeregowym RC przy zerowych warunkach po-

czątkowych i załączeniu napięcia stałego E

w

(rys.a).

E

C

Zerowe warunki początkowe oznaczają, że

−

u ( 0 ) = 0

b)

C

R

i(t)

Po przełączeniu wyłącznika w powstaje w obwo-

dzie stan nieustalony. Schemat obwodu dla stanu

E

u (t)

C

C

nieustalonego ma postać przedstawioną na rys.b.

Stosując prawo napięciowe Kirchhoffa dla tego obwodu możemy napisać

E − R (

i t ) − u ( t ) = 0

C

d u ( t )

i uwzględniając, że (

i t )

C

C

=

otrzymujemy równanie różniczkowe nie-

dt

jednorodne o postaci [patrz (10.5)]

d u

t

( )

RC

C

+ u t() = E

dt

C

Stan nieustalony jest superpozycją stanu ustalonego i przejściowego.

u ( t)

u

( t

u

( t

C

=

)

CS

+

)

CW

Stan ustalony przy wymuszeniu stałym ozna-

c)

cza, że kondensator stanowi przerwę (rys.c).

R

Zgodnie z NPK napięcie ustalone kondensa-

tora jest równe

E

u (t)

CW

u

( t ) = E

CW

Schemat obwodu dla stanu przejściowego (po

zwarciu źródła napięciowego) - rys.d.

d)

i (t)

R

Dla tego obwodu otrzymujemy równanie róż-

S

niczkowe jednorodne o postaci [patrz (10.10)]

u (t)

CS

C

d u

( t )

RC

CS

+ u ( t ) = 0

CS

dt

- 7 -

Równanie charakterystyczne można zapisać jako [patrz (10.11)]

RC s + 1 = 0

Równanie to posiada jeden pierwiastek s1=-1/ RC. W związku z powyższym jego rozwiązanie wynikające ze wzoru (10.12) przyjmuje uproszczoną postać

t

− RC

u

( t ) = A e

CS

1

W rozwiązaniu tym współczynnik A1 jest stałą całkowania, której wartość wyzna-czamy w oparciu o znajomość warunków początkowych.

Rozwiązanie ostateczne, będące sumą składowej wymuszonej i swobodnej przybiera postać [patrz (10.8)]

t

− RC

u ( t ) = u

( t ) + u ( t ) = E + A e

C

CW

CS

1

−

+

Ponieważ drugie prawo komutacji mówi, że u ( 0 ) = u ( 0 ) C

C

stąd wobec

−

u ( 0 ) = 0

C

otrzymujemy

0 = E + A

A = −

1 oraz

E

1

Czyli rozwiązanie czasowe określające przebieg napięcia na kondensatorze przyjmuje postać

t



t



− RC



− RC 

u ( t )

E

E e

E 1 e

C

= −

=  −







d u

t

( )

RC

C

+ u t() = E

dt

C

- 8 -

10.5. METODA OPERATOROWA

Bardziej efektywną metodą od metody klasycznej jest metoda operato-

rowa – jej efektywność polega na „algebraizacji” równania różniczkowego, przy czym warunki początkowe wchodzą niejako automatycznie do

„zalgebraizowanego”. Mimo iż jest to okrężna droga rozwiązania, wynik uzyskujemy znacznie szybciej niż metodą bezpośrednią.

Schemat dokonywanych operacji

x(t)

W.P.

OBWÓD

Operatorowy

ELEKTRYCZNY

schemat zastępczy

WYMUSZENIE

obwodu

L

Równanie

Równanie

operatorowe

różniczkowo-całkowe

(algebraiczne w dziedzinie

(w dziedzinie czasu)

zmiennej zespolonej s)

W.P.

A

A

N

D

Z

rozwią zanie

O

C

T

Y

algebraiczne

S

E

A

W.P.

M

L

K

-1

ODPOWIEDŹ

L

Odpowiedź operatorowa

CZASOWA

R(s)

r(t)

Aby biegle posługiwać się metodą operatorową musimy poznać:

1. Przekształcenia Laplace’a (transformaty sygnałów przyczynowych)

2. Podstawowe twierdzenia rachunku operatorowego

3. Schematy zastępcze i podstawowe prawa obwodów

w rachunku operatorowym

4. Metody wyznaczania oryginału funkcji operatorowej

- 9 -

10.5.1. PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE’A

Rozpatrywać będziemy funkcję f(t) zmiennej rzeczywistej t spełniają-

cą następujące warunki:

- funkcja f(t) jest określona dla t >0 i równa zeru, gdy t <0;

- wartość bezwzględna funkcji f(t) nie rośnie szybciej niż funkcja wykładnicza, gdy t→∞ (

b t

f ( t ) ≤ M e gdzie M>0 oraz b>0 )

Przekształcenie, które przyporządkowuje funkcji f(t) zmiennej rzeczywistej t, funkcję F(s) będącą funkcją zmiennej zespolonej

s=σ+ jω za pomocą zależności

∞

− s t

L [ f ( t ]

) = F( s ) = ∫ f ( t ) e

dt

(10.13)

0

nazywamy prostym przekształceniem Laplace’a

lub L -transformatą

Funkcję F(s) zmiennej zespolonej s nazywamy transformatą funkcji f( t).

Wyznaczenie funkcji f(t) (nazywanej oryginałem) odpowiadają-

cej znanej funkcji F(s) umożliwia odwrotne przekształcenie Laplace’a nazywane też -1

L

-transformatą

c + j∞

1

−

f ( t ) =

∫ F( s ) estds

1

= L [ F( s ] )

2π

(10.14)

j c− j∞

Przekształcenia Laplace’a wyrażone wzorami (10.13) i (10.14) są

wzajemnie jednoznaczne, czyli

− 1

L

L

{ L [ f (t ] )}= f (t ) dla t > 0

f(t)

F(s)

(10.15)

L-1

- 10 -

TRANSFORMATY SYGNAŁÓW PRZYCZYNOWCH

A) Funkcja jednostkowa

f(t)

0 dla t <

f ( t) = (

1 t) =

0



1

1 dla t > 0

t

0

∞

∞





−

−

F( s ) = L [ (

1 t ]

s t

1

st

1

1

) == ∫ 1 e

dt = − e

= 0 − −  =

s

 s 

s

0

0

B) Funkcja wykładnicza

f(t)

a < 0

−

f ( t ) = Ae a t (

1 t )

A

a

> 0

t

0

∞

∞

∞

−

−

−

−

− +

F( s ) = L [ f ( t ]

a t

s t

a t

s t

( s a)

) = ∫ Ae

e

dt = A∫ e

e

dt = A∫ e

t dt =

0

0

0

∞

1

−( s+ a) t

A

= A

e

=

s + a

s + a

0

C) Funkcje harmoniczna

f ( t ) = A sinω t ⋅ (

1 t )

∞

jω t

− jω t

∞

e

− e

− s t

A

−( s− jω ) t

−( s+ jω ) t

F( s ) = A∫

e

dt =

∫ e

− e

dt =

2 j

2 j

0

0



∞

∞ 

A

1

−( s− jω ) t

1

−( s+ jω ) t

=



+

 =

2 j − ( s − ω ) e

j

( s + ω) e

j





0

0 

A 

1

=

−

(







0 − )

1

A

1

1

1 +

−  =



−

 =

2 j  s − jω

( s + jω)( 0 ) 1 2 j  s − jω ( s + jω)

A s + jω − s + jω

A

2 jω

ω

=

=

= A

2

2

2

2

2

2

2 j

s + ω

2 j s + ω

s + ω

- 11 -

10.5.2. PODSTAWOWE TWIERDZENIA

RACHUNKU OPERATOROWEGO

A) Twierdzenie o liniowości

Jeżeli funkcje f1( t) i f2( t) posiadają transformaty, tzn.

L [ f ( t

=

L

=

1

] ) F ( s ) i

1

[ f (t

2

] ) F ( s )

2

to dla dowolnych liczb a oraz b zachodzi

L [ a f ( t ) + b f ( t

=

+

1

2

] ) a F ( s ) b F ( s )

1

2

(10.16)

B) Twierdzenie o transformacie pochodnej

Jeśli funkcja f( t) i jej pochodna f ’( t) są L -transformowalne, to transformatę pochodnej możemy wyrazić przez transformatę samej funkcji na-

stępująco

+

+

L [ f ' ( t ]

) = s L [ f ' ( t ]

) − f ( 0 ) = s F( s ) − f ( 0 )

(10.17)

gdzie: f(0+) – prawostronna granica funkcji f(t) w punkcie t=0

(wartość począ tkowa funkcji f(t))

Transformatę pochodnej n-tego rzędu funkcji f( t) obliczamy ze wzoru (

−

n)

n 1

− −

+

L [ f

( t ]

n

( n k 1) ( k)

) = s F( s ) − ∑ s

f

( 0 )

(10.18)

k = 0

Jeśli warunki początkowe są zerowe to widać wyraźnie, że

różniczkowanie funkcji w dziedzinie czasu

odpowiada mnożeniu L -transformaty samej funkcji przez s w potędze równej rzędowi pochodnej.

- 12 -

C) Twierdzenie o transformacie całki

Jeśli funkcja f( t) jest L -transformowalna, to transformatę całki może-my wyrazić przez transformatę samej funkcji następująco

L [

− 1

−

∫ f (t ]

( )

F( s )

f

( 0 )

) =

+

(10.19)

s

s

-

gdzie: f(-1)(0+) – oznacza wartość całki w chwili t=0

(moż na ją rozumieć jako wartość począ tkową - warunek począ tkowy) Jeśli warunek początkowy jest zerowy to

całkowanie funkcji w dziedzinie czasu

odpowiada dzieleniu L -transformaty funkcji podcałkowej przez s D)

Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie rzeczywistej (czasu)

Jeżeli dana jest funkcja przyczynowa f( t)1( t) L -transformowalna o transformacie F( s), to transformata funkcji przesuniętej f( t-t0)1( t-t0) dla t≥0

określona jest następująco

− s t

L [ f ( t − t )⋅ (

1 t − t ) = F( s )e

1

0

0 ]

0

(10.20)

Przykład: Dana jest funkcja wymuszenia napię ciowego w postaci impulsu prosto-ką tnego. Należ y wyznaczyć transformatę tej funkcji f(t)

f(t)

 U

dla

t ≤ 0 < t

U 1

0

(t)

f ( t) = 

U

U

 0 dla t

t

0 <

< 0

t

t

0

0

t

inny opis

0

-U 1

(t-t )

0

-U

f ( t ) = U ⋅ (

1 t ) − U ⋅ (

1 t − t )

0

Zgodnie z twierdzeniem o liniowości oraz o przesunięciu w dziedzinie czasu napi-szemy:

F( s ) = L [ U ⋅ (

1 t ) − U ⋅ (

1 t − t )

0 ]

= L [

−

U ⋅ (

1 t ]

) − L [

U

U

U ⋅ (

1 t − t ) =

− e

0 ]

s t0

s

s

- 13 -

E) Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej zespolonej Jeżeli F( s) jest transformatą funkcji f( t) oraz a jest dowolną liczbą zespoloną bądź rzeczywistą, to transformata o argumencie przesuniętym

spełnia następującą zależność

−

F( s + a ) = L [ e at f ( t )]

(10.21)

F)

Twierdzenie o transformacie funkcji okresowej (o okresie T)

Jeżeli f( t) = f( t+kT) , k=1,2 ... ; to

F ( s )

T

F( s ) =

−

(10.xx)

s t

1 − e

T

−

gdzie:

F ( s ) = ∫ f ( t )e stdt

T

0

10.5.3. PODSTAWOWE PRAWA I SCHEMATY ZASTĘPCZE

OBWODÓW W RACHUNKU OPERATOROWYM

Najefektywniejszą drogą postępowania w metodzie operatorowej jest

określenie transformat prądów i napięć bezpośrednio na podstawie obwo-

du bez konieczności układania równań różniczkowo całkowych. Aby to

uzyskać należy opracować operatorowy schemat zastępczy danego obwodu - w tym celu każdy element obwodu zastępuje się odpowiednim mo-

delem w dziedzinie operatorowej.

Modele operatorowe idealnych elementów obwodu określamy na

podstawie:

- operatorowych zależności między napięciem i prądem elementu;

- praw Kirchhoffa w postaci operatorowej

- 14 -

I prawo Kirchhoffa

K

∑ λ i ( t ) 0

k k

=

k = 1

gdzie: ik(t) – natężenie prądu w k-tej gałęzi; K – liczba gałęzi dołączonych do danego węzła λ k – współczynnik o wartości 1 lub –1, zależnie od zwrotu prądu względem węzła Po zastosowaniu do powyższego równania przekształcenia Laplace’a i

wykorzystaniu twierdzenia o liniowości tego przekształcenia (10.16)

otrzymujemy

K

∑ λ I ( s ) 0

k

k

=

(10.22)

k = 1

Równanie (10.22) wyraża I prawo Kirchhoffa w postaci operatorowej

Algebraiczna suma transformat prądów we wszystkich gałę-

ziach dołączonych do danego węzła schematu operatorowego jest równa zeru

II prawo Kirchhoffa

J

∑ λ u ( t ) 0

j

j

=

j = 1

gdzie: uj(t) – napięcie na j-tym elemencie oczka; J – liczba elementów w oczku λ j – współczynnik o wartości 1 lub –1, zależnie od zwrotu napięcia względem przyję-

tego obiegu po oczka

Po zastosowaniu do ww. równania przekształcenia Laplace’a i wyko-

rzystaniu twierdzenia o liniowości otrzymujemy

J

∑ λ U ( s ) 0

j

j

=

(10.23)

j = 1

Równanie (4.14) wyraża II prawo Kirchhoffa w postaci operatorowej

Algebraiczna suma transformat napięć na wszystkich elemen-

tach wchodzących w skład danego oczka schematu operato-

rowego jest równa zeru

- 15 -

- 16 -