Spis treści
II. FUNKCJE I ICH WAASNOÅšCI.....................................................................2
2. Wyznaczanie dziedziny funkcji, jej miejsc zerowych, zbioru wartości, wartości
największej i najmniejszej w danym przedziale, przedziałów monotoniczności....2
Określanie z wykresu podstawowych własności i cech funkcji...................2
Wyznaczanie dziedziny funkcji określonej wzorem.................................22
Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji*......................24
Dział: II. FUNKCJE I ICH WAASNOŚCI
Poddział: 2. Wyznaczanie dziedziny funkcji, jej miejsc zerowych,
zbioru wartości, wartości największej i najmniejszej w danym
przedziale, przedziałów monotoniczności.
Wymaganie: określanie z wykresu podstawowych własności i cech
funkcji.
Uczeń powinien potrafić określać z wykresu:
dziedzinÄ™ funkcji,
zbiór wartości funkcji,
wartość funkcji mając dany argument,
argument mając daną wartość funkcji,
miejsca zerowe funkcji,
przedziały monotoniczności funkcji,
zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości
dodatnie (ujemne),
najmniejszą i największą wartość funkcji,
Aby określić dziedzinę funkcji z wykresu należy sprawdzić dla jakich
współrzędnych x istnieje jakiekolwiek odwzorowanie w zbiór niepusty.
Innymi słowy, należy zauważyć, powyżej lub poniżej których x znajduje się
wykres (albo dla których przechodzi przez oś OX).
Określenie z wykresu przeciwdziedziny, czyli zbioru wartości, polega na
sprawdzeniu jakie wartości przyjmuje funkcja. Można to zrobić zwracając
uwagę na to, czy dla danych współrzędnych y wykres funkcji znajduj się po
stronie lewej lub prawej (albo przecina) osi OY.
Jeśli chcemy na podstawie wykresu określić wartość funkcji mając dany
argument, musimy sprawdzić jakiej współrzędnej y odpowiada dana
współrzędna x. Aby to zrobić, przeprowadzamy prostą prostopadłą do osi OX
przechodzÄ…cÄ… przez punkt na osi odpowiadajÄ…cy danemu argumentowi. Prosta
ta przetnie wykres funkcji. Przez ten punkt przeprowadzamy kolejnÄ… prostÄ…
tym razem prostopadłą do osi OY. Miejsce przecięcia tej prostej z osią OY
wskaże nam wartość funkcji dla naszego argumentu.
Rozumowanie to może wydawać się pozornie skomplikowane. W
rzeczywistości nasze dwie proste będziemy często przeprowadzać w
wyobrazni. Innym sposobem jest znajomość wzoru funkcji, która pomoże
nam w odczytaniu z wykresu wartości dla danego argumentu.
W przypadku przeciwnym, tzn. takim, w którym mamy określić argumenty
funkcji odpowiadające danym wartościom, musimy najpierw przeprowadzić
prostą prostopadłą do osi OY, przechodzącą przez punkt odpowiadający danej
wartości. Wtedy w miejscach przecięcia tej prostej z wykresem funkcji
przeprowadzamy proste przechodzące przez nie i jednocześnie prostopadłe do
osi OX. Wszystkie punkty tej osi, przez które te proste przechodzą
odpowiadają argumentom, dla których funkcja przyjmuje naszą wartość.
Należy zauważyć, że może być więcej niż 1 argument, dla którego funkcja
przyjmuje daną wartość. Ponadto, tak jak powyżej, zazwyczaj te dwie proste
przeprowadzamy w myślach albo ograniczamy do odcinków łączących wartość
i punkt wykresu lub punkt wykresu i argument.
# Definicja #
Miejsce zerowe funkcji jest to jej argument, dla którego przecina
lub styka siÄ™ z osiÄ… OX.
Inaczej, jest to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0.
Aby określić miejsca zerowe funkcji należy po prostu sprawdzić na wykresie,
dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość 0, czyli w jakich miejscach
przecina (lub styka siÄ™) oÅ› OX.
# Definicja #
Funkcja monotoniczna w pewnym przedziale jest to funkcja,
która w tym przedziale jest niemalejąca lub nierosnąca.
# Definicja #
Funkcja ściśle monotoniczna w pewnym przedziale jest to
funkcja, która w tym przedziale jest malejąca lub rosnąca.
Jeżeli mówimy, że funkcja jest monotoniczna i nie określimy w jakim
przedziale, to przyjmuje się, że dotyczy to całej dziedziny.
# Definicja #
Funkcja rosnąca jest to taka funkcja, dla której wraz ze wzrostem
argumentów rosną jej wartości.
Przedział funkcji, w którym funkcja jest rosnąca, to zbiór, w którym jeśli dany
argument jest większy, to i jego wartość jest większa.
Przykład funkcji rosnącej:
(-" ;ƒÄ…" )
Dla tego wykresu funkcja jest monotoniczna w przedziale , czyli w
zbiorze liczb rzeczywistych. Ponadto, jej dziedziną jest także zbiór liczb
rzeczywistych. Tym samym, funkcja jest monotoniczna w całej dziedzinie.
# Definicja #
Funkcja malejąca jest to taka funkcja, dla której wraz ze wzrostem
argumentów maleją jej wartości.
Przedział funkcji, w którym funkcja jest malejąca, to zbiór, w którym jeśli
dany argument jest większy, to jego wartość jest mniejsza.
Przykład funkcji malejącej:
# Definicja #
Funkcja niemalejąca jest to taka funkcja, dla której wraz ze
wzrostem argumentów jej wartości nie maleją.
Oczywiście funkcja rosnąca jest przypadkiem funkcji niemalejącej.
Przedział funkcji, w którym funkcja jest niemalejąca, to zbiór, w którym jeśli
dany argument jest większy to jego wartość jest większa lub taka sama.
Przykład funkcji niemalejącej:
# Definicja #
Funkcja nierosnąca jest to taka funkcja, dla której wraz ze
wzrostem argumentów jej wartości nie rosną.
Oczywiście funkcja malejąca jest przypadkiem funkcji nierosnącej.
Przedział funkcji, w którym funkcja jest nierosnąca, to zbiór, w którym jeśli
dany argument jest większy to jego wartość jest mniejsza lub taka sama.
Przykład funkcji nierosnącej:
Warto zauważyć, ze nawias otwarty na wykresie jest reprezentowany przez
puste kółeczko w punkcie, którego dotyczy, np. na powyższym wykresie jest to
punkt (-5,7). Natomiast nawias zamknięty na wykresie jest reprezentowany
przez pełne kółeczko w punkcie, którego dotyczy, np. na powyższym wykresie
jest to punkt (-5,6).
Typowym błędem jest mylenie zapisów: monotoniczności w
( a ;b )*"( c ;d )*"( e ; f )
zbiorze z zapisem monotoniczności w
TYPOWY
( a ;b ) ( c ;d ) ( e ; f )
zbiorach , , . Pierwszy oznacza, że w
BAD
całym zbiorze będącym sumą trzech innych funkcja jest
monotoniczna (czyli, np. rosnÄ…ca). Drugi natomiast oznacza,
że funkcja jest monotoniczna w każdym z nich oddzielnie.
Przedstawimy ten problem na dwóch wykresach na pierwszym pokazany
< 0 ;1 >*"< 2 ;3 >*"< 4 ;5 >
jest wykres funkcji monotonicznej w przedziale ,
< 0 ;1 > < 2 ;3 >
natomiast na drugim funkcji monotonicznej w przedziałach , ,
< 4 ;5 >
.
Pierwszy:
Drugi:
Na pierwszym wykresie pokazana jest funkcja rosnÄ…ca w przedziale
< 0 ;1 >*"< 2 ;3 >*"< 4 ;5 >
. Oznacza to, że dla każdego większego argumentu
przyjmuje większą wartość. Drugi wykres przedstawia z kolei funkcję rosnącą
< 0 ;1 > < 2 ;3 > < 4 ;5 >
w przedziałach , , . Oznacza to, że dla każdego z tych
przedziałów oddzielnie funkcja jest rosnąca. Nie możemy natomiast
< 0 ;1 >*"< 2 ;3 >*"< 4 ;5 >
powiedzieć, że jest ona rosnąca w przedziale ,
ponieważ nieprawdą jest, że dla każdego większego argumentu przyjmuje
większą wartość np. dla 3 przyjmuje wartość -1, a dla 1 przyjmuje wartość 1.
Aby określić zbiór argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości
ujemne, dodatnie, nieujemne lub niedodatnie należy sprawdzić w jakiej części
układu współrzędnych znajduje się odpowiadający danym argumentom
wykres, a dokładniej po jakiej stronie osi OX.
Są cztery możliwości:
dla danego przedziału argumentów odpowiadający im wykres leży
poniżej osi OX, więc przedstawia wartości ujemne
dla danego przedziału argumentów odpowiadający im wykres leży
powyżej osi OX, więc przedstawia wartości dodatnie
dla danego przedziału argumentów odpowiadający im wykres leży
poniżej osi OX lub na niej, więc przedstawia wartości niedodatnie
dla danego przedziału argumentów odpowiadający im wykres leży
powyżej osi OX lub na niej, więc przedstawia wartości nieujemne
Aby określić największą lub najmniejszą wartość funkcji należy wyszukać ją
na wykresie biorąc pod uwagę, że nie zawsze cała funkcja może być
przedstawiona na danym wykresie.
Przykład I
PRZYKAAD
Określ dziedzinę funkcji przedstawionej na poniższych wykresach.
Pierwszy:
Drugi:
Z pierwszego wykresu możemy wnioskować, że dziedziną są liczby
rzeczywiste. Narysowany wykres funkcji przedstawia oczywiście tylko jej
D=R
fragment. Jest to prosta, więc ma nieskończoną długość. Zapisujemy: .
(-" ; 2 )
Drugi wykres przedstawia funkcję, której dziedziną jest przedział .
Zauważmy, że jest to przedział obustronnie otwarty. Jest tak ponieważ po
lewej stronie wykresu widzimy półprostą przyjmującą wartość stałą równą 4.
Po prawej stronie wykresu widzimy kółeczko puste w środku leżące w punkcie
(1,2). Jest to najdalej wysunięty na prawo fragment wykresu. Pamiętamy
oczywiście o tym, że dziedzina jest to zbiór wszystkich współrzędnych x, które
D=(-" ; 2 )
maja swoje odwzorowanie przez danÄ… funkcjÄ™. Zapisujemy: .
Błędem jest zapisanie, że największym argumentem jest liczba
2. Tak naprawdę nie należy ona do dziedziny naszej funkcji,
TYPOWY
co widzimy po zapisie pustego kółeczka. Nie możemy więc
BAD
D=(-" ; 2 >
zapisać, że .
Przykład II
PRZYKAAD
Określ przeciwdziedzinę funkcji przedstawionych na poniższych wykresach.
Pierwszy:
Drugi:
Przeciwdziedziną funkcji przedstawionej na pierwszym wykresie jest zbiór
wszystkich liczb rzeczywistych. Jest tak ponieważ dla każdej liczby można
znalezć argument odpowiadający tej wartości. Zapisujemy: D-1=R .
W drugim przypadku mamy do czynienia z funkcjÄ… bardziej skomplikowanÄ….
Można ją rozpatrzeć fragmentami, np. od góry do dołu. Fragment położony w
naszym układzie współrzędnych najwyżej przyjmuje wartości z przedziału
( 7 ;9 ) < 4 ; 7 )
. Kolejny przyjmuje wartości ze zbioru . Najniższy z przedziału
< 0 ;3 >
. Po zsumowaniu ich otrzymamy przeciwdziedzinę, czyli zbiór
wszystkich wartości jakie przyjmuje nasza funkcja:
( 7 ;9 )*"< 4 ;7 )*"< 0 ;3 >=< 0 ;3 >*"< 4 ; 7 )*"(7 ;9 )
.
Zapisujemy: D-1=< 0 ; 3 >*"< 4 ;7 )*"( 7 ;9 ) .
Przykład III
PRZYKAAD
Określ wartość poniższych funkcji dla argumentów:
x=0
x=2
x=-4
Pierwsza:
Druga:
Pierwszy wykres zaznaczamy wartości funkcji f(0), f(2), f(-4).
f śą0źą=-8 f śą2źą=-6 f śą-4źą=0
Widzimy, że , , .
Drugi wykres zaznaczamy wartości funkcji f(0), f(2), f(-4).
f śą0źą=0 f śą2źą=1 f śą-4źą=-8
Widzimy, że , , .
Przykład IV
PRZYKAAD
Określ argumenty, dla których poniższe funkcje przyjmują
wartość:
y=0
y=4
Pierwsza:
Druga:
y=0 y=4
Rysujemy na wykresach proste: oraz , dzięki czemu otrzymujemy
argumenty funkcji odpowiadające danym wartościom.
Otrzymujemy więc, że argumentem przyjmującym wartość 0 jest -2,
natomiast argumentami przyjmującymi wartość 4 są: -4 oraz 0.
W tym przypadku widzimy, że argumentem przyjmującym wartość 0 jest -3,
natomiast przyjmującym wartość 4 jest 1.
Przykład V
PRZYKAAD
Znajdz miejsca zerowe funkcji:
Pierwsza:
Druga:
Pierwsza ma jedno miejsce zerowe dla argumentu x=4.
Druga ma dwa miejsca zerowe dla argumentów x równych: -3 oraz 1.
Przykład VI
PRZYKAAD
Podaj przedziały, dla których podana funkcja jest malejąca
oraz te, dla których jest rosnąca:
<-11 ;-9 >*"(-5 ;-3 > < 7 ;8 >
Funkcja jest malejąca w przedziałach: oraz .
(-7 ;-6 )*"(-6 ;-5 > < 1 ;3 > < 8 ;11 >
Funkcja jest rosnąca w przedziałach: , , .
Aby było to bardziej widoczne zaznaczymy niektóre punkty na osi:
Przykład VII
PRZYKAAD
Wskaż argumenty, dla których poniższa funkcja przyjmuje
wartości dodatnie/ujemne.
x "(-" ;-3 )*"(1 ;ƒÄ…" )
Funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie dla , natomiast
x "(-3 ;1 )
ujemne dla .
Przykład VII
PRZYKAAD
Wskaż najmniejszą i największą wartość funkcji:
Pierwsza:
Druga:
Największą wartością funkcji pierwszej jest liczba 5, najmniejszą 0.
Zaznaczamy na wykresie:
Największą wartością funkcji drugiej jest liczba 8, najmniejszą 4. Zaznaczamy
na wykresie:
Dział: II. FUNKCJE I ICH WAASNOŚCI
Poddział: 2. Wyznaczanie dziedziny funkcji, jej miejsc zerowych,
zbioru wartości, wartości największej i najmniejszej w danym
przedziale, przedziałów monotoniczności.
Wymaganie: wyznaczanie dziedziny funkcji określonej wzorem.
Wyznaczanie dziedziny polega na sprawdzeniu jakie argumenty mogą być
podstawione za zmienną. Innymi słowy, jakie elementy mają swoje
odwzorowanie w tej funkcji. Musimy więc pamiętać o ograniczeniach
stawianych funkcji, np. f śą xźą= x dziedziną są liczby nieujemne, ponieważ
ćą
(rozpatrujÄ…c funkcjÄ™ w zbiorze liczb rzeczywistych) pod pierwiastkiem nie
może być liczby mniejszej od zera.
Bardziej skomplikowane funkcje zostaną omówione w kolejnych lekcjach.
Przykład
PRZYKAAD
Podaj dziedzinę funkcji określonych wzorami:
f śą x źą=x2ƒÄ… x-2
f śą xźą= x
ćą
f śą xźą= x-40
ćą
1
f śą xźą=
x
1
f śą xźą=
xƒÄ…2
f śą x źą=x2ƒÄ… x-2
Dziedziną funkcji są liczby rzeczywiste. Jest tak, ponieważ
D =R
możemy podstawić za x dowolną liczbę. Zapisujemy: .
f
Dziedziną funkcji f śą xźą= x są liczby nieujemne, ponieważ operując na
ćą
liczbach rzeczywistych nie możemy pierwiastkować wartości mniejszych od 0.
D =< 0 ;ƒÄ…" ) D =R+*"{ 0 }
Zapisujemy: . Możemy też zapisać: .
f f
Biorąc pod uwagę przedstawiony powyżej warunek wnioskujemy, że dziedziną
x-40e"0 xe"40
funkcji f śą x źą= x-40 są liczby spełniające nierówność , czyli .
ćą
D =< 40 ;ƒÄ…")
Zapisujemy: .
f
1
f śą xźą=
Dziedziną funkcji są liczby rzeczywiste bez zera. Jest tak, ponieważ
x
możemy podstawić za x dowolną liczbę, ale nie zero. Nie możemy dzielić przez
D =R"{ 0}
zero. Zapisujemy: .
f
1
f śą x źą=
Dziedziną funkcji są wszystkie liczby dla których mianownik jest
xƒÄ…2
xƒÄ…2`"0 x`"-2
różny od zera. , czyli . Jest tak, ponieważ możemy podstawić
za mianownik dowolną liczbę, ale nie zero. Nie możemy dzielić przez zero.
D =R"{-2}
Zapisujemy: .
f
Dział: II. FUNKCJE I ICH WAASNOŚCI
Poddział: 2. Wyznaczanie dziedziny funkcji, jej miejsc zerowych,
zbioru wartości, wartości największej i najmniejszej w danym
przedziale, przedziałów monotoniczności.
Wymaganie: badanie monotoniczności funkcji na podstawie
definicji.*
"
Będziemy posługiwali się kwantyfikatorem , który jest oczywiście
równoważny następującemu: .
›
Funkcja jest rosnÄ…ca wtedy i tylko wtedy, gdy:
" x1, x2"D x1"ąx2 f śą x1źą- f śą x2źą"ą0
- czytamy: dla każdego x jeden i x dwa
należących do dziedziny takich, że x jeden jest mniejszy od x dwa różnica
wartości funkcji od x jeden i x dwa jest mniejsza od zera
" x1 , x2"D x1"ąx2 f śą x2źą- f śą x1źąą0
Równoważny zapis: .
Funkcja jest malejÄ…ca wtedy i tylko wtedy, gdy:
" x1 , x2"D x1"ąx2 f śą x1źą- f śą x2źąą0
- czytamy: dla każdego x jeden i x dwa
należących do dziedziny takich, że x jeden jest mniejszy od x dwa różnica
wartości funkcji od x jeden i x dwa jest większa od zera
" x1 , x2"D x1"ąx2 f śą x2źą- f śą x1źą"ą0
Równoważny zapis: .
Funkcja jest nierosnÄ…ca wtedy i tylko wtedy, gdy:
" x1 , x2"D x1"ąx2 f śą x1źą- f śą x2źąe"0
- czytamy: dla każdego x jeden i x dwa
należących do dziedziny takich, że x jeden jest mniejszy od x dwa różnica
wartości funkcji od x jeden i x dwa jest większa lub równa zero
" x1 , x2"D x1"ąx2 f śą x2źą- f śą x1źąd"0
Równoważny zapis: .
Funkcja jest niemalejÄ…ca wtedy i tylko wtedy, gdy:
" x1 , x2"D x1"ąx2 f śą x1źą- f śą x2źąd"0
- czytamy: dla każdego x jeden i x dwa
należących do dziedziny takich, że x jeden jest mniejszy od x dwa różnica
wartości funkcji od x jeden i x dwa jest mniejsza lub równa zero
" x1 , x2"D x1"ąx2 f śą x2źą- f śą x1źąe"0
Równoważny zapis: .
Aby zbadać monotoniczność funkcji musimy więc założyć, że
" x1, x2"D x1"ąx2 f śą x1źą- f śą x2źą f śą x2źą- f śą x1źą
i sprawdzić znak różnicy lub .
Przykład
PRZYKAAD
Sprawdz monotoniczność funkcji określonych wzorami:
f śą xźą=x-2
f śąxźą=x2
1
f śą xźą=
x
f śąxźą=x-2
Sprawdzamy monotoniczność funkcji . Zapisujemy założenie i
wniosek z niego:
" x1, x2"D x1"Ä…x2 x1- x2"Ä…0
więc
f śą x1źą- f śą x2źą=śą x1-2źą-śąx2-2źą=x1-x2
Sprawdzamy znak różnicy: , a z założenia
x1- x2"ą0 f śą x1źą- f śą x2źą=x1-x2"ą0
mamy, że , więc .
Wniosek: funkcja jest rosnÄ…ca.
Sprawdzamy monotoniczność funkcji f śą xźą=x2 . Zapisujemy założenie i
wniosek z niego:
" x1, x2"D x1"Ä…x2 x1- x2"Ä…0
więc
f śą x1źą- f śą x2źą=x2- x2=śą x1-x2źąÅ"śą x1ƒÄ…x2źą
Sprawdzamy znak różnicy: . Nie znamy
1 2
x1 x2 śą x1-x2źą"ą0
znaku argumentów oraz . Wiemy natomiast, że .
x1e"0'"x2Ä…0
Wyciągamy więc wniosek, że jeśli , to
f śąx1źą- f śąx2źą=śą x1-x2źąÅ"śą x1ƒÄ… x2źą"Ä…0
i funkcja jest rosnąca. Natomiast jeśli
x1"Ä…0'"x2d"0 f śą x1źą- f śą x2źą=śą x1-x2źąÅ"śą x1ƒÄ… x2źąą0
, to i funkcja jest malejÄ…ca.
< 0 ;ƒÄ…" )
Wniosek: funkcja jest rosnÄ…ca w przedziale , natomiast malejÄ…ca w
(-" ; 0 >
przedziale .
1
f śą x źą=
Sprawdzamy monotoniczność funkcji . Zapisujemy założenie i
x
wniosek z niego:
" x1, x2"D x1"Ä…x2 x2- x1Ä…0 x1 , x2`"0
więc . Musimy też zrobić założenie, że .
x2- x1
1 1
f śąx1źą- f śąx2źą= - =
Sprawdzamy znak różnicy: , a z założenia mamy,
x1 x2 x1Å"x2
x2- x1Ä…0
że , więc znak tej różnicy jest równy znakowi mianownika. Jeśli
x1 , x2Ä…0 x1 , x2"Ä…0
, to mianownik jest dodatni i funkcja jest malejąca. Jeśli to
mianownik także jest dodatni i funkcja jest malejąca. Jeśli jednak wezmiemy
x1"Ä…0'"x2Ä…0 x1 , x2`"0
, to różnica będzie ujemna. Pamiętamy jednak, że więc
(-" ; 0 ) ( 0 ;ƒÄ…" )
mamy dwa rozłączne przedziały dziedziny: oraz i musimy je
x1"Ä…0'"x2Ä…0
rozpatrywać oddzielnie. Nie możemy więc wziąć .
(-" ; 0 ) ( 0 ;ƒÄ…" )
Wniosek: funkcja jest malejąca w przedziałach: oraz .
Uwaga: błędem byłoby zapisanie: funkcja jest malejąca lub funkcja jest
(-" ; 0 )*"(0 ;ƒÄ…" )
malejÄ…ca w przedziale lub funkcja jest malejÄ…ca w swojej
dziedzinie .
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
www livemocha com angielski lekcja audiojezyk ukrainski lekcja 03Lekcja sortowanielekcja12Kris Jamsa Wygraj Z C lekcja32lekcja1 (2)Lekcja7ćw oswajające z piłką lekcja dla dzieciLogo na lekcjach matematyki w szkole podstawowejC LEKCJA18lekcjaC LEKCJA23Kris Jamsa Wygraj Z C lekcja 5Lekcja algorytmy w geometriiLEKCJA 1 Uwierz w siebie, możesz wszystko!Lekcja 7 Trening pamieci to nie wszystko Zadbaj o swoja koncentracjelekcja6więcej podobnych podstron