Katedra Geodezji Szczegółowej
UWM w Olsztynie
Ćwiczenie nr 1
" Wykonywanie obliczeń na liczbach przybliżonych, przeliczanie kątów
wyrażonych w różnych jednostkach
Nazwisko i imiÄ™
Grupa: Data:
1. Wykonywanie obliczeń na liczbach przybliżonych
Błąd pomiaru. W geodezji mierzymy odległości, wysokości i kąty. Pomiary tych wielkości są
obarczone nieuniknionymi błędami. Błędy te nie są synonimem pomyłki lub gafy. y
ródłem błędów są
niedoskonałości instrumentów mierniczych, błędy osobowe obserwatora i wpływ środowiska np.
temperatura powietrza. Zazwyczaj błędy są klasyfikowane na grube (pomyłki), systematyczne i
przypadkowe. Dokładność wyniku pomiaru zależy od tego jak ułożą się te błędy pomiarowe i dlatego
mówimy że wynik pomiaru jest liczba przybliżoną.
Ponieważ wszystkie pomiary geodezyjne są obarczone błędami (niepewnością) nie jest rozsądnym
podawanie dowolnej liczby cyfr jako wynik pomiaru. Przykładowo, jeśli mierzymy odległość taśmą
stalową to wynik podajemy tylko do centymetrów np. 253.23 metra a nie w postaci 253.4 m lub
253.2345 m. Każdy wynik pomiaru składa się z pewnej liczby cyfr znaczących. Cyframi znaczącymi
liczby przybliżonej nazywamy wszystkie jej cyfry z wyjątkiem zer położonych na lewo od pierwszej
różnej od zera cyfry. Wynik pomiaru powinien zawierać tyle cyfr znaczących aby ostania cyfra
znacząca była zwykle tego samego rzędu (stać na tym samym miejscu dziesiętnym), co błąd pomiaru
(niepewność).
Każda liczba przybliżona zawiera pewną ilość liczb po przecinku dziesiętnym. Znakami dziesiętnymi
liczby przybliżonej nazywamy te jej cyfry, które są położone na prawo od przecinka (kropki)
dziesiętnej.
Na pierwszym roku studiów spotykamy się z pomiarami o średniej dokładności dlatego też wyniki
pomiarów zapisujemy zgodnie z zasadami podanymi w poniższej tabeli 1.
Tabela 1
Typ pomiaru Liczba przybliżona
centymetry (np. 128.23, 163.01, 436.00),
Pomiary liniowe decymetry (np. 876.8, 546.0),
metry np. 364
stopnie, minuty, sekundy (np. 123o122 452 2 ,123o002 002 2 )
,
Pomiary kÄ…towe stopnie, minuty (np. 23o522 43o05.22 )
grady (np. )
132g32c46cc , 48g97c , 56.9876g
Pomiary wysokościowe milimetry (np.2.345 m, 1.001 m, 0.003 m)
Obliczenia Liczba przyblizona
Współrzędne x i y centymetry (np. 43.09, 56.32)
W rachunkach geodezyjnych mamy więc do czynienie z działaniami na liczbach przybliżonych.
Wyjątki stanowią, wynikające z zależności matematycznych, stałe współczynniki. Przykładowo obwód
koła liczony jest ze wzoru 2Ąr, gdzie liczba 2 jest stałym współczynnikiem, a r wielkością mierzoną.
Wynik działań rachunkowych na liczbach przybliżonych powinien być podany z taką dokładnością aby
realnie odzwierciedlał dokładność pomiaru. Przykładowo jeśli w celu określenia powierzchni działki
budowlanej w kształcie kwadratu pomierzono jeden bok z dokładnością do decymetra np. 45,8 m to
1
po podniesieniu tej liczby przybliżonej do kwadratu otrzymujemy 2 976.64 m2 czyli powierzchnię z
dokładnością do cm2, co jest oczywistym nonsensem. Rozsądnym wynikiem jest liczba 2 976.6 m2.
Rachunki na liczbach przybliżonych są wykonywane z zachowaniem pewnych reguł, które są
następujące:
Reguła 1. Przy dodawaniu lub odejmowaniu liczb przybliżonych, z których liczba o najmniejszej ilości
znaków dziesiętnych ma k znaków należy:
" zaokrÄ…glić przed rachunkiem wszystkie wystÄ™pujÄ…ce w rachunku liczby do k+1 znaków,
" dokonać rachunków,
" w ostatecznym wyniku zachować k znaków dziesiÄ™tnych.
Reguła 2. Przy mnożeniu lub dzieleniu liczb przybliżonych, z których liczba o najmniejszej ilości cyfr
znaczących ma k znaków należy:
" zaokrÄ…glić przed rachunkiem wszystkie wystÄ™pujÄ…ce w rachunku liczby do k+1 cyfr
znaczÄ…cych,
" dokonać rachunków,
" w ostatecznym wyniku zachować k cyfr znaczÄ…cych.
Reguła 3. Przy potęgowaniu i pierwiastkowaniu liczb przybliżonych w wyniku zachować tyle cyfr
znaczących ile ich zawiera podstawa potęgi lub liczba podpierwiastkowa.
Reguła 4. Zasada zaokrąglania liczb przybliżonych. W rachunkach geodezyjnych przyjmuje się, że
liczby przybliżone zakończone na 5 zaokrąglamy zawsze do parzystej liczby, np. 15785 H" 15780,
254.435 H" 254.44, 0.895 H" 0.90.
Przykład 1-1
Zgodnie z regułami wykonaj dodawanie następujących liczb:
1248.57425 2323.5678 110.000001
754.23 11.4 0.230
234.678 222.3401
Przykład 1-2.
Wykonaj mnożenie liczb przybliżonych 234.21 x 0.153 = 1.231 x 0.51 = 1.001 x 234 = ,
1.0001 x 0.0011 = 854.28672 x 2.4 =
Przykład 1-3.
Wykonaj dzielenie 7328.54 : 1.713 = 85.427 : 1.76 = 65.98763 : 23.3 =
347.18 : 1.2 = 642.1 : 0.0065 = 735.011 : 0.0002 =
Przykład 1-4.
Wykonaj potęgowanie 254.782 = 34.872 = 1.9822=.........0.3022= 0.0022 =
Przykład 1-5
64913 34.973 1.963002 0.0034
Oblicz pierwiastek = = = =
2. Przeliczanie kątów wyrażonych w różnych jednostkach
2.1. Zależność między miarą radialną a stopniowa jest następująca:
)
Ä…o Ä… 180o Ä„
) )
= skÄ…d Ä…o = Ä… lub Ä… = Ä…o ( 2-1)
360o 2Ä„ Ä„ 180o
2
) ) )
2 2 2 2 2 2
gdzie Ä…o = Áo Å" Ä… , Ä…2 2 Ä… , Ä…2 2 2 2 Ä… gdzie Áo = 57o.3 , Á = 3438 , Á = 206265
= Á Å" = Á Å"
Przykład 2-1.
Zgodnie z zasadami działań na liczbach przybliżonych zamienić 4.0, 3.2485 i 0.785341 radiana na
miarÄ™ stopniowÄ….
Przykład 2-2.
2 2 2 2
Zgodnie z zasadami działań na liczbach przybliżonych Zamienić 23o.12 , 63o 23 i 13o 53 48 na miarę
radialnÄ….
2.2. Zależność między miarą radialną a gradową jest następująca:
)
Ä…g Ä… Ä…go
) )
= wiÄ™c Ä… = lub Ä…g = Ág Å" Ä…
400g 2Ä„ Ág
) ) )
Ä…g = Ág Å" Ä… , Ä…c = Ác Å" Ä… , Ä…cc = Ácc Å"Ä… gdzie Ág = 63.7g, Ác =6366c, Ácc =636620cc
Przykład 2-3
Zamienić 4.0, 3.2485 i 0.785341 radiana na miarę gradową:
Przykład 2-4
g cc g cc g cc
Zamienić na miarę radialną następujące kąty 142 11c36 = 56 62c66 = 56 62c66 =
2.3. Zależność między miarą stopniową a gradową następująca:
10 50 250
Ä…g = Ä…o , Ä…c = Ä…2 Ä…cc = Ä…2 2
,
9 27 81
Przykład 2-5
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Zamień na grady: 54o12 42 = 184o47 52 = 391o51 32 =
Przykład 2-6
g g
Zadnie 12. Zamień na stopnie: 12 48c52cc = 387 18c32cc
3. Literatura
J. Ząbek, Z. Adamczewski, S. Kwiatkowski:  Ćwiczenia z geodezji I cz. I, Warszawa, 1977 i następne
wydania
3