Egzamin z Równań Różniczkowych, 20 VI 2012 godz. 12.00

1. Zadanie wstępne

1.1 Napisać równanie różniczkowe, którego całkami szczególnymi są trzy funkcje: y =

ex , y = sin x , y = cos x .

(

y0 = y ctg x , x 6= kπ , k ∈

1.2 Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego: Z

y( π ) = 1

2

∞

n

1.3 Zbadać zbieżność szeregu X n 2 + 1

n=1

∞ 3 n

1.4 Wyznaczyć sumę szeregu X n!

n=1

−

→

1.5 Wyznaczyć wektor binormalny krzywej o równaniu r ( t) = ( et, t, e−t) , t ∈ R w punkcie P (1 , 0 , 1) .

2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego



xy0 = x + y









y(1) = 1

3. Rozwiązać równanie:

y0 + xy = xy 3

4. Rozwiązać równanie:

y(3) + y0 = 2 x 5. Dla jakich wartości x suma szeregu

∞

2 x n

X

1 + x

n=0

6. Wyznaczyć szereg Fouriera samych sinusów, którego suma na przedziale (0 , π) przyj-muje wartości identyczne z funkcją (

1 dla x ∈ (0 , π ) f ( x) =

2

2 dla x ∈ ( π , π) 2

Narysować wykres sumy szeregu dla x ∈ [ −π, π] .

Podać wartość sumy tego szeregu dla x = 2 π .

1