ELEMENTY LOGIKI
Zad.1.1. Dla zdań, będących zdaniami logicznymi, podać ich wartość logiczną π
π 3
a)
=1 , b) 5 − 3 = 2 , c) ≥ , d) x2 − 2 < 0 , 3
4
4
2
2
e) (∀ x ∈ R) x − 2 < 0 , f) (∃ x ∈ R) x − 2 < 0 , 2
2
g) (∀ x ∈ R ) x + 7 ≥ 0 , h) (∃ x ∈ R) x + 7 ≥ 0 , 2
2
i) (∀ x ∈ R)
x + 4 = x + 2 , j) (∃x ∈ R)
x + 4 = x + 2 .
Zad.1.2.
Egzamin składa się z dwóch części. Ocenę pozytywną u wykładowcy A otrzyma student, który z każdej części uzyska co najmniej 7 punktów i z obu części w sumie co najmniej 20 punktów. Ocenę pozytywną u wykładowcy B otrzyma student, który z każdej części uzyska co najmniej 9 punktów lub z obu części w sumie co najmniej 22 punkty. U
którego wykładowcy zda egzamin student, który:
a) z pierwszej części otrzymał 7, a z drugiej – 13 punktów,
b) z pierwszej części otrzymał 5, a z drugiej – 15 punktów,
c) z pierwszej części otrzymał 10, a z drugiej – 11 punktów,
d) z pierwszej części otrzymał 6, a z drugiej – 16 punktów ?
Zad.1.3. Zapisać przy użyciu spójników logicznych "i" , "lub" rozwiązania równań i nierówności
a + 3
a) (a + )
3 (b − )
2 = 0 , b) (a + )
3 (b − )
2 ≠ 0 , c) (a + )
3 (b − )
2 > 0 , d)
≤ 0 ,
b − 2
x + y
2
2
e)
= 0, f) x − 4y > 0 , g) (x + 3)(x − 2) = 0 , x − y
x + 6
h) (x − )
8 (y − 7) < 0 , i) (x + )
π (x + 2π) ≠ 0 , j)
> 0.
x − y
Zad.1.4. Prawdziwe jest twierdzenie: „Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 12, to jest podzielna przez 3.” Wskazać założenie oraz tezę twierdzenia. Na podstawie powyższego twierdzenia podać
a) warunek wystarczający podzielności przez 3. Dlaczego nie jest to warunek konieczny?
b) warunek konieczny podzielności przez 12. Dlaczego nie jest to warunek wystarczający?
Sformułować warunek konieczny i wystarczający podzielności przez 3.
Zad.1.5. Niech x , y ∈ R . Prawdziwa jest implikacja:
( x > 0 i y 0 ) ⇒
>
( x ⋅ y > 0 ) .
Wskazać założenie oraz tezę twierdzenia.
a) Wiadomo, że ( α > 1 i β > −1 ). Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o znaku iloczynu (α − )
1 ⋅ (β + )
1 , a o znaku iloczynu α ⋅ β ? Podać
przykłady.
b) Wiadomo, że ab > 0. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o znaku liczb a , b ? Podać przykłady.
c) Wiadomo, że u ⋅ v ≤ 0 . Jaki wniosek o liczbach u , v pozwala wyciągnąć twierdzenie ?
WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA
Zad.1.6. Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej
a) 1 − 3 , b) x + y , c) 3x − 8 , d) x + 1 − x , x
e) x − 1 +
− x + 2 , f) x + 1− x + 2 x − 2 dla 1≤ x ≤ 2 .
x
Zad.1.7. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej, zaznaczyć na osi liczbowej zbiory punktów spełniających podany warunek. Zapisać rozwiązanie równania lub nierówności.
a) x + 4 = 2 , b) 3x − 2 > 1 , c) 6 − 2 x ≤ 3 , d) x + 2
= 3 − x ,
e) x + 3
> x -1 , f) x
+ x − 6 =1 , g) x +1
+ x − 2 = 3 .
Zad.1.8 Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej zapisać podane zbiory punktów przy pomocy ⋅
a) {4 , 18 } , b) {1 + 3 , 3 + 3 } , c) − 3 < x < 5 , d) 0 ≤ x ≤ 2 5 , e) x ∈ (−∞, 4) ∪ 1
( 0, + ∞ ) , f) x ∈ (−∞,− 2 ]∪ [2 + 2 ,+ ∞) .
Jolanta Sulkowska