Wykład 6: Podstawy metody elementów
skończonych do analizy mechanicznej oraz
analizy zagadnienia filtracji
dr hab. inż. A. Truty prof. PK
12th April 2005
1
Problem brzegowy liniowej teorii spręzystości
" Równania równowagi wewnętrznej
Ãij,j + bi = 0
" Równania geometryczne
1
µij = (ui,j + uj,i)
2
" Równania Hooke a
Ãij = 2G µij +  µkk ´ij
" Warunki brzegowe
Ãij nj = qi na “q
ui = ui na “u
q
“q
n
b
“u
y
x
z
2
Zasada prac wirtualnych
" Jeśli ciało znajduje sie w stanie równowagi to praca
wirtualna sił wewnetrznych jest równa pracy wirtu-
alnej sił zewnętrznych

´µT Ã d&! = ´uT b d&! + ´uT q d&!
&! &! “
" Zasada prac witualnych jest równoważna równaniu
równowagi wewnętrznej
" szukamy takiego u(x, y, z) aby dla " ´u speÅ‚niona
była zasada prac wirtualnych
Zapis macierzowy
" wektor skladowych stanu napręzenia
à = {Ãx, Ãy, Äxy, Ãz, Äxz, Äyz}T
" wektor składowych stanu odkształcenia
µ = {µx, µy, Å‚xy, µz, Å‚xz, Å‚yz}T
" wektor składowych stanu przemieszczenia
u = {ux, uy, uz}T
" równania Hookee a
à = D µ
" równania geometryczne
µ = B u
3
Płaski stan odkształceń
Płaski stan odkształcenia (PSO) na przykładzie zapory ziemnej
z centralnym rdzeniem
y
x z
Pasek o jednostkowej długości
" hipoteza kinematyczna: µz = 0
" macierz związków Hooke a
ëÅ‚ öÅ‚
1 -½ 0 -½
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
-½ 1 0 -½÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
E(1 - ½)
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
D = 1 1 - 2½
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
(1 - 2½)(1 + ½) 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 1 - ½
íÅ‚ Å‚Å‚
-½ -½ 0 1
" macierz operatorowa związków geometrycznych
ëÅ‚ öÅ‚
"
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"x
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"y
B =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
" "
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚ "y "x÷Å‚
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
4
Dyskretyzacja MES
Q4
q
q

" &! = &!i
i=1,Nele
" zakładamy że wystarcza nam znajomość rozwiąza-
nia w skończonej liczbie punktów
" siatka składa się z elementów skończonych zbudowanych
na węzłach
" poszukiwane rozwiÄ…zanie u(x) w dowolnym punkcie
należącym do elementu skończonego bedziemy zna-
jdować wykorzystując funkcje interpolacyjne (tzw.
funkcje kształtu)
5
element
element Åš(¾)
rzeczywisty
wzorcowy
·
3
Przykład 1D
+1
4 3
x
4
-2 2
2
¾
¾
y
1
2
1
-1
1
-1
-1 +1
x
Åš(x) : x= 2 ¾
Åš-1(x)
Åš-1(x) : ¾= x / 2
Funkcje interpolacyjne dla elementu Q4:
1
N1 = (1 - ¾) (1 - ·)
4
1
N2 = (1 + ¾) (1 - ·)
4
1
N3 = (1 + ¾) (1 + ·)
4
1
N4 = (1 - ¾) (1 + ·)
4

" Na = 1 a = 1..4
" interpolacja współrzędnych w elemencie:
x(¾) = Na xa
" interpolacja przemieszczeń (lub ciśnień porowych)
w elemencie:
x(¾) = Na xa
6
u(¾) = Na ua
p(¾) = Na pa
" a - numer węzła w elemencie
" korzystając z funkcji interpolacyjnych oraz wartości
węzłowych przemieszczeń możemy wyliczyć wartości
składowych przemieszczenia w dowolnym punkcie
wewnątrz elementu oraz wektor składowych stanu
odkształcenia
" u(¾) = Na ua
" µ = B Na ua = Ba ua
ëÅ‚ öÅ‚
"Na
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"x
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"Na ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"y
" Ba =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"Na "Na ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ "y "x ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
" ´µ = Ba ´ua = B ´u
" ´u = Na ´ua = N ´u
" wstawiamy te wielkości do zasady prac wirtualnych:
Ai=1,Nele

e
´uT BT D B ued&! = ´uTNT bd&!+ “ ´uTNT qd“
&!e &!e
7
" jeÅ›li to równanie zachodzi dla "´u to musi byc speÅ‚nione
równanie nastepujące:
Ai=1,Nele

BT D B ued&! = NT bd&! + NT qd“
&!e &!e “e
" otrzymujemy w ten sposób standardowy układ rów-
nań równowagi MES:
K u = f

ke = BaDBb d&!
&!e
ab

e
fa = NT b d&! + NT q d&!
&!e a “e a
a, b - indeksy węzłów elementu skończonego
Przykład agreagcji globalnej macierzy sztywności
1
1
4 3
Element nr 1
{ węzły : 1 , 2 , 3 }
Element nr 2
2
{ węzły : 1 , 3 , 4 }
1
1
2
8
12 3 Globalna macierz sztywności K
1
4
12 3
2
3
13 4
1
3
4
lokalna macierz sztywności k
elementu 2
" macierz K ma strukturÄ™ pasmowÄ… albowiem ele-
menty sąsiadują tylko z częścią elementów skonc-
zonych
Obliczanie pochodnych kartezjańskich funkcji ksz-
tałtu
"Na
" w podmacierzach Ba potrzebujemy pochodnych
"x
"Na "Na "¾
" =
"x "¾ "x
"x
" Jacobian: J =
"¾
9
"x
" J =
"¾
"¾
" J-1 =
"x
"x "Na
" = xa
"¾ "¾
Całkowanie numeryczne
" zamiana zmennych:

f(x, y)dx dy = f(¾, ·) det(J) d¾ d·
&! &!
" kwadratura Gaussa:


f(¾, ·) det(J) d¾ d· = f(¾ig, ·ig) det(Jig) Wig
&! ig=1,Ng
" dla elementu Q4 oraz kwadratury 4-punktowej wagi
wynoszÄ…:
W1 = W2 = W3 = W4 = 1
" "
3 3
" ¾ig = Ä… , ·ig = Ä…
3 3
·
+1
4 3
4
3
Punkty Gaussa
Punkty węzłowe
¾
1
2
1
2
-1 +1
10
Konstrukcja dyskretnego modelu konstrukcji
" Definicja typu problemu: PSO, PSN, AS, 3D
" Lista elementów
dla każdego elementu definiujemy: indeks elementu,
klasa elementu (np. Q4), numer materiału, lista in-
deksów węzłów
" Lista węzłów
dla każdego węzła definiujemy: indeks węzła, współrzędne
(x,y,), indeksy obciążeń węzłowych przyporząd-
kowanych do danego węzła, typ warunku brzegowego
zdefiniowaego na danym węz
le
" Lista materiałów
dla każdego elementu definiujemy: indeks mateiału,
model konstytutywny (np. sprężysty lub plastyczny
typu M-C), parametry materialowe
" Lista obciążeń
Schemat obliczeń - co dostajemy z obliczeń ?
" pętla po elementach i=1,Nele
 oblicz ke oraz fe
 agregacja macierzy elementowej ke do macierzy
globalnej K oraz wektora obciążeń fe do wek-
tora sił zewnętrznych F
11
" rozwiąż układ równań K u = F
" powrót do elementów celem obliczenia wartości sklad-
owych stanu odkształcenia i naprężenia
" pętla po elementach i = 1, Nele
 pętla po punktach Gaussa ig = 1, Ng
" w danym elemencie i oraz p. gaussa ig oblicz
µ = B u
à = D µ
Uwagi:
" przemieszczenia, ciśnienia wody w porach zawsze sa
obliczane w węzłach siatki
" naprężenia, odkształcenia, prędkosci filtracji obliczane
sÄ… w punktach Gaussa
12