Analiza kowariancji
Wykres rozrzutu OC_Jakości względem Marka
Adstudy 26v*50c
OC_Jakości = 4,6167+1,2093*x
10
Cola
Pepsi
8
6
4
2
0
-2
-1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
Marka
Czy istnieje różnica w ocenie jakości smaku coca coli czy pepsi?
W celu stwierdzenie czy istnieje różnica między grupami można:
a) porównad średnie w obu grupach
b) sprawdzid czy istotne jest nachylenie linii regresji
OC_Jakości
Wynik analizy wariancji
Testy efektów międzyobiektowych
Zmienna zależna: OC_Jakości
Typ III sumy Åšredni
y
ródło zmienności kwadratów df kwadrat F Istotność
Model skory gowany
72,657a 1 72,657 18,373 ,000
Stała
1058,897 1 1058,897 267,760 ,000
Marka
72,657 1 72,657 18,373 ,000
BÅ‚Ä…d
189,823 48 3,955
Ogółem
1284,000 50
Ogółem skorygowane
262,480 49
a. R kwadrat = ,277 (Skory gowane R kwadrat = ,262)
I analizy wariancji dla regresji
Analiza wariancjib
Suma Åšredni
Model kwadratów df kwadrat F Istotność
1 Regresja
72,657 1 72,657 18,373 ,000a
Reszta
189,823 48 3,955
Ogółem
262,480 49
a. Predy ktory: (Stała), Marka
b. Zmienna zależna: OC_Jakości
Co można stwierdzid na podstawie współczynników
regresji)
a
Współczynniki
Współczynniki
Współczynniki standaryzowa
niestandaryzowane ne
BÅ‚Ä…d
Model B standardowy Beta t Istotność
1 (Stała)
4,617 ,282 16,363 ,000
Marka
1,209 ,282 ,526 4,286 ,000
a. Zmienna zależna: OC_Jakości
Gdy wartośd zmiennej X wynosi -1 (Pepsi), to przewidywana wartośd
zmiennej Y wynosi:
Y = 4,617  1 * 1,209 = 3, 408
Gdy wartośd zmiennej Y (cola) wynosi 1, to przewidywana wartośd
zmiennej Y wynosi:
Y = 4,617 + 1*1,209 = 5,826
Wynik analizy regresji: Wartością przewidywaną jest zawsze
średnia w grupie
Statystyki dla grup
BÅ‚Ä…d
Odchylenie standardowy
Marka N Średnia standardowe średniej
OC_Jakości -1
27 3,41 1,448 ,279
1
23 5,83 2,480 ,517
Od czego zależy wynik pojedynczej osoby badanej
10
8
Model analizy wariancji:
6
Yi= M(c) + (M(k) - M(c) ) + eð
4
2 M(c)
0
Model analizy regresji:
10 -2
-1 1
Marka
8
Y = M(c) + (Y - M ) + eð
(c)
Cola
Pepsi
6
4
M(c)
2
0
-2
-1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
Marka
OC_Jakości
OC_Jakości
Modele analizy wariancji i analizy regresji są szczególnymi
przypadkami Ogólnego Modelu Liniowego
Wartości przewidywane to średnie w grupach (zasada ta jest
spełniona bez względu na to w jaki sposób dobierzemy
współczynniki kodujące poszczególne grupy).
Analizę wariancji można potraktowad jako regresję dla sytuacji,
w której zmienna Y przyjmuje niewiele wartości (każda z tych
wartości jest kodem przynależności dla grupy). Gdy wartości te
zostaną tak dobrane, że będą rosły wraz ze wzrostem średnich w
grupach badanych wtedy obrazem zależności będzie linia prosta.
We  właściwej analizie regresji wartości zmiennej X pochodzą z
obserwacji, a celem analizy jest sprawdzenie czy można uznad ja
jako  numery kolejnych badanych grup skorelowane ze średnimi
w grupach obserwacji zmiennej zależnej
10
8
6
4
2
0
-2
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5
Numer Grupy Badanej
OC_Jakości
Sytuacja mieszana
Zmienna Z ocena jakości napoju, odpowiedzi osób badanych
niezależne od Eksperymentatora, Zmienna Zależna 1
Zmienna X  rodzaj napoju: Pepsi lub Coke - napoje
przyporządkowane losowo, zależne od eksperymentatora, kody
grup  1 dla Pepsi i + 1 dla Coke, Zmienna Niezależna
Zmienna Y częstośd spożywania napoju  odpowiedzi osób
badanych niezależne od Eksperymentatora.
Uwaga! Mogą mied wpływ na wartości zmiennej Z, mogą
modyfikowad wartości odpowiedzi w grupach oznaczonych jako
 1 oraz + 1, Zmienna Zależna 2
Rozrzutu 3W OC_Jakości względem Marka i Jak_często_pije
Adstudy 26v*50c
a
Współczynniki
Współczynniki
Współczynniki standaryzowa
niestandaryzowane ne
BÅ‚Ä…d
Model B standardowy Beta t Istotność
1 (Stała)
2,905 ,651 4,459 ,000
Marka
1,058 ,268 ,460 3,943 ,000
Jak_często_pije
,370 ,129 ,335 2,873 ,006
a. Zmienna zależna: OC_Jakości
Ocena jakości i Częstotliwośd Picia są od siebie zależne (im
częściej ktoś pije napoje typu Cola, tym lepiej ocenia ich jakośd)
Wykres rozrzutu OC_Jakości względem Jak_często_pije
10
8
6
4
2
0
-2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Jak_często_pije
OC_Jakości
Miarą  współzmienności dwóch zmiennych jest
kowariancja
N
-ð mðX )(Yi -ð mðY )
åð(X i
i=ð1
sð =ð
XY
N
wielkośd kowariancji zależy od wielkości różnicy obu zmiennych w stosunku
do średniej oraz kierunku tej różnicy)
Poszczególne pary obserwacji zmniejszą lub zwiększają wielkośd
kowariancji (kiedy?)
Zi= M(c) + (M(X) - M(c) ) + (Zi - M(c) )(Yi - M(c) ) + eð
przynależnośd do kowariancja zmiennych
grupy ze względu na Z i Y
kryterium X
Wynik analizy regresji
Analiza wariancjib
Suma Åšredni
Model kwadratów df kwadrat F Istotność
1 Regresja
101,013 2 50,507 14,702 ,000a
Reszta
161,467 47 3,435
Ogółem
262,480 49
a. Predy ktory: (Stała), Jak_często_pije, Marka
b. Zmienna zależna: OC_Jakości
a
Współczynniki
Współczynniki
Współczynniki standaryzowa
niestandaryzowane ne
BÅ‚Ä…d
Model B standardowy Beta t Istotność
1 (Stała)
2,905 ,651 4,459 ,000
Marka
1,058 ,268 ,460 3,943 ,000
Jak_często_pije
,370 ,129 ,335 2,873 ,006
a. Zmienna zależna: OC_Jakości
Analiza kowariancji  szczególne połączenie analizy
wariancji i analizy regresji, istotnośd wpływu zmiennej
jakościowej (podział na grupy) obliczana jest po
wyłączeniu (sprawdzeniu zależności regresji liniowej)
wpływu zmiennej ilościowej (tak zwanej współzmiennej)
Testy efektów międzyobiektowych
Zmienna zależna: OC_Jakości
Typ III sumy Åšredni
y
ródło zmienności kwadratów df kwadrat F Istotność
Model skory gowany
101,013a 2 50,507 14,702 ,000
Stała
68,312 1 68,312 19,884 ,000
Jak_często_pije
28,356 1 28,356 8,254 ,006
Marka
53,412 1 53,412 15,547 ,000
BÅ‚Ä…d
161,467 47 3,435
Ogółem
1284,000 50
Ogółem skorygowane
262,480 49
a. R kwadrat = ,385 (Skory gowane R kwadrat = ,359)
Jak Å‚atwo siÄ™ zorientowad wiele liczb w wynikach obu
analiz siÄ™ powtarza
Rozrzutu 3W OC_Jakości względem Marka i Jak_często_pije
Adstudy 26v*50c
wartośd tej zmiennej jest
wynikiem kombinacji
dodawania wartości ze
względu na kryterium
jakościowe
mnożenia wartości ze
względu na kryterium
ilościowe
Zi= M(c) + (M(X) - M(c) ) + (Zi - M(c) )(Yi - M(c) ) + eð
przynależnośd do grupy
kowariancja zmiennych Z i Y
ze względu na kryterium
X
Analiza regresji i analiza wariancji są metodami obliczeniowymi, które
zakładają że wartości zmiennej zależną są wynikiem wpływu
zmiennych addytywnych (ZN coÅ› dodaje lub coÅ› odejmuje) lub (i)
iloczynów (ZN proporcjonalnie wpływa na wartości zmiennych
zależnych albo w sposób wprost proporcjonalny albo w sposób
odwrotnie proporcjonalny)
Wartośd zmiennej zależnej jest więc liniową kombinacją wartości
zmiennych niezależnych
Analiza wariancji i analiza regresji (oraz analiza kowariancji) sÄ…
metodami obliczeniowymi, w których przyjęte jest założenie nazwane
ogólnym modelem liniowym. Inaczej można powiedzied, że obie te
analizy są oparte na ogólnym modelu liniowym.
Intuicyjnie  przekształcenie liniowe nie zmienia uporządkowania
wartości zmiennych i nie zmienia proporcji relacji między nimi