W3. METODY NUMERYCZNE
ROZWIAZYWANIA ZADAN
MECHANIKI
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
1. Metoda sil i metoda przemieszczen w obliczeniach
komputerowych [1, 2]
Schematy zamieszczone ponizej ilustruja kolejnosc
postepowania w rozwiazywaniu ustrojów pretowych metoda
sil (MS) i metoda przemieszczen (MP). W zaleznosci od cech
metody mozna ocenic jej przydatnosc do rozwiazywania
ukladów statycznych z pomoca komputerów.
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
1. Metoda sil i metoda przemieszczen w obliczeniach
komputerowych [1, 2]
Metode sil charakteryzuja nastepujace cechy:
1. Tworzenie ukladów zastepczych jako ukladów statycznie
wyznaczalnych i geometrycznie niezmiennych.
2. Korzystanie z warunków ciaglosci ustroju do utworzenia
warunków dodatkowych, umozliwiajacych uzyskanie
ukladów równan kanonicznych, z których wyznaczane sa
niewiadome sily.
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
1. Metoda sil i metoda przemieszczen w obliczeniach
komputerowych [1, 2]
Z cechy pierwszej wynika podstawowa trudnosc
w wykorzystaniu metody sil do obliczen ukladów
konstrukcyjnych z pomoca komputera. Istnieje
bowiem nieskonczona liczba wariantów tworzenia
ukladów podstawowych dla rozpatrywanej
konstrukcji. Utworzenie wiec algorytmu
realizujacego zadane kryterium jest praktycznie niemozliwe.
Rozwiazywanie wiec ukladów podstawowych dokonuje sie
zazwyczaj recznie.
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
1. Metoda sil i metoda przemieszczen w obliczeniach
komputerowych [1, 2]
Metoda sil - uklad analizowany
Schemat statycznie wyznaczalny uzyskuje sie przez
usuniecie dodatkowych wiezi i wprowadzenie w okreslonych
punktach konstrukcji niewiadomych typu statycznego.
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
1. Metoda sil i metoda przemieszczen w obliczeniach
komputerowych [1, 2]
Metoda sil - schemat zastepczy
Momenty X1, X2 dobieramy tak, zeby zachowana byla
zgodnosc przemieszczen w punktach zwolnienia wiezów.
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
1. Metoda sil i metoda przemieszczen w obliczeniach
komputerowych [1, 2]
Metoda sil  stany jednostkowe
Jest to analiza statyczna
schematu statycznie wyzna-
czalnego od obciazen wywola-
nych uogólnionymi niewiado-
mymi X = 1 i od obciazen
zewnetrznych.
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
1. Metoda sil i metoda przemieszczen w obliczeniach
komputerowych [1, 2]
Metoda sil  warunki do wyznaczania wielkosci niewiadomych
Zgodnosc przemieszczen w miejscach usunietych wiezów
pozwala na uzyskanie ukladu równac kanonicznych MS.
X X 0
11 1 12 2 1 p
X X 0
21 1 22 2 2 p
D X D 0
p
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
1. Metoda sil i metoda przemieszczen w obliczeniach
komputerowych [1, 2]
Powszechnie stosuje sie metode przemieszczen, której
wlasnosci okreslaja nastepujace cechy:
1. Operuje sie obrotami wezlów i niektórymi ich
przesunieciami.
2. Równania kanoniczne metody przemieszczen sa
równaniami równowagi rozpatrywanych wezlów.
Umozliwiaja bezposrednio wyznaczyc poszukiwane wielkosci
statyczne w wezlach. Stosujac metode przemieszczen
otrzymuje sie skonczona liczbe mozliwych rozwiazan. Stad
mozliwy jest wybór optymalnego rozwiazania z pomoca
komputera.
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
1. Metoda sil i metoda przemieszczen w obliczeniach
komputerowych [1, 2]
Metoda przemieszczen - uklad analizowany
Uzyskuje sie schemat geometrycznie wyznaczalny poprzez wprowa-
dzenie dodatkowych wiezi eliminujacych mozliwosc wystepowania
przemieszczen wezlów. Niewiadomymi sa wielkosci geometryczne,
tj.: uogólnione przemieszczenia wezlów ustroju.
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
1. Metoda sil i metoda przemieszczen w obliczeniach
komputerowych [1, 2]
Metoda przemieszczen - schemat zastepczy
Katy , dobieramy tak, zeby zachowana byla równowaga
1 2
wezlów, na które nalozono wiezy.
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
1. Metoda sil i metoda przemieszczen w obliczeniach
komputerowych [1, 2]
Metoda przemieszczen 
stany jednostkowe
Rozpatrywanie stanów ustroju
geometrycznie wyznaczalnego,
dla którego zadano uogólnione
przemieszczenie jednostkowe
np.: =1, wywolujace reakcje Kik
w wiezach. Obciazenie
zewnetrzne wywoluje reakcje Kip.
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
1. Metoda sil i metoda przemieszczen w obliczeniach
komputerowych [1, 2]
Metoda przemieszczen  warunki do wyznaczania wielkosci
niewiadomych
Sumaryczne reakcje w wiezach musza byc równe zeru, dajac
równanie równowagi sluzace do wyznaczania niewiadomych
przemieszczen.
K11 + K12 + K1p = 0
1 2
K q K 0
p
K21 + K22 + K2 p = 0
1 2
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Ukladem podstawowym w metodzie przemieszczen nazywamy
uklad wyjsciowy przeksztalcony przez nalozenie na niego
wiezów, uniemozliwiajacych wystapienie jakichkolwiek
przemieszczen wezlów.
Stopniem geometrycznej niewyznaczalnosci n ukladu
nazywamy liczbe wzajemnie niezaleznych wiezów, które
trzeba nalozyc na uklad, aby jego wezly
nie przemieszczaly sie.
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Zakladamy, ze analizowany ustrój jest n krotnie geometrycznie
niewyznaczalny i ze w procesie dyskretyzacji zostal podzielony
na e elementów. Niewiadome geometryczne, w liczbie n,
Zbieramy w wektor q, który nazywamy wektorem przemieszczen
wezlów ukladu:
q = {q1, q2...qn}
Kazdemu przemieszczeniu qi odpowiada sila skupiona Qi
obciazajaca wezel w kierunku danego przemieszczenia. Z sil tych
tworzymy wektor Q obciazen wezlów ukladu:
Q = {Q1 Q2...Qn}
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Jednym z etapów rozwazan w metodzie przemieszczen jest
uklad podstawowy geometrycznie wyznaczalny. Jesli ustrój
jest obciazony miedzy wezlami obciazeniem lub czynnikami
pozastatycznymi, to w przekrojach przywezlowych
elementów powstana sily wyjsciowe Q .
j,p
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przemieszczenia przekrojów przywezlowych zbioru
elementów qA oraz sily przywezlowe zbioru elementów QA
mozna zapisac w postaci:
j
{ }
qA = q1 q2 ... q ... qe
j
QA ={Q1 Q2 ... Q ... Qe}
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Wektory te sa zwiazane zaleznoscia:
j j j j, p
Q = K q + Q
Dla zbioru elementów j = 1,2,& ,e, powyzsze równanie
mozemy zapisac jednym równaniem macierzowym:
p
QA = K qA + QA
A
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
KA jest quasidiagonalna macierza kwadratowa zestawiona
z macierzy Kj wszystkich elementów.
îÅ‚K1 0 . 0 . 0 Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
2
0 K . 0 . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . . . . .
K = ïÅ‚ śł
A
j
0 0 . K . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . . . . .
ïÅ‚ śł
e
ïÅ‚ śł
0 0 . 0 . K
ðÅ‚ ûÅ‚
Macierz KA nazywamy zbiorcza (globalna) macierza
sztywnosci ustroju.
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Macierz sztywnosci elementu
Rozpatrzmy nie obciazony element o numerze j,
wyizolowany ze schematu podstawowego geometrycznie
wyznaczalnego ramy przestrzennej. Na wszystkie skladowe
wektora przemieszczen qj nalozone sa wiec wiezy. Jednemu
nadajemy przemieszczenie jednostkowe np. = 1.
zk
Narzucone przemieszczenie wywoluje w przekrojach
przywezlowych sily wewnetrzne  wektor Qj ? 0.
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Powtarzajac to rozumowanie dla kazdego wiezu
i korzystajac z zasady superpozycji mozemy napisac:
j j j
Q = K q
Poszczególne kolumny macierzy Kj sa silami przywezlowymi
wywolanymi kolejnymi stanami jednostkowymi
przemieszczen konców elementu. Jest to macierz
sztywnosci elementu w ukladzie lokalnym wspólrzednych.
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierzy sztywnosci róznych elementów
Element sciskany/rozciagany
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierzy sztywnosci róznych elementów
Element sciskany/rozciagany
Sily przywezlowe Ui i Uk, równe odpowiednim reakcjom
wiezów wywolanym stanami ui = 1 i uk = 1 tworza 1. i 2.
kolumne macierzy sztywnosci.
j
Ui j 1 -1 ui j
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
EA
=
ïÅ‚U śł ïÅ‚-1 1 śł ïÅ‚u śł
l
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
k k
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element sciskany/rozciagany
Postac macierzy sztywnosci elementu:
j
1 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
EA
j
K =
ïÅ‚-1 1 śł
l
ðÅ‚ ûÅ‚
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element kratownicy plaskiej
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element kratownicy plaskiej
Macierzowy zapis sil przywezlowych ma postac:
j
Ui j ui j
1 0 -1 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚V śł ïÅ‚
0 0 0 0śł ïÅ‚vi śł
EA
i
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
=
Uk uk
l
ïÅ‚ śł ïÅ‚-1 0 1 0
śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚V śł ïÅ‚
0 0 0 0śł ïÅ‚vk śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
k
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element kratownicy plaskiej
Postac macierzy sztywnosci elementu:
j
1 0 -1 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
0 0 0 0śł
EA
j
ïÅ‚ śł
K =
l -1 0 1 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
0 0 0 0śł
ðÅ‚ ûÅ‚
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element kratownicy przestrzennej
Postac macierzy sztywnosci elementu:
1 0 0 -1 0 0Å‚Å‚ j
îÅ‚
ïÅ‚
0 0 0 0 0 0śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 0 0 0
ïÅ‚ śł
EA
j
K =
ïÅ‚-1 0 0 1 0 0śł
l
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 0 0 0
ïÅ‚
0 0 0 0 0 0śł
ðÅ‚ ûÅ‚
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element skrecany
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element skrecany
Macierzowy zapis sil przywezlowych ma postac:
j j
j
1 1
xi xi
1 1
xk xk
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element skrecany
Postac macierzy sztywnosci elementu:
j
1 -1
GJs
îÅ‚ Å‚Å‚
j
K =
ïÅ‚-1 1 śł
l
ðÅ‚ ûÅ‚
G  modul odksztalcenia postaciowego
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element plasko zginany w plaszczyznie xy
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element plasko zginany w plaszczyznie xy
Macierzowy zapis sil przywezlowych ma postac:
j
12 6 12 6
îÅ‚ Å‚Å‚
-
ïÅ‚
l3 l2 l3 l2 śł
ïÅ‚ śł
Vi j vi j
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
6 4 6 2
ïÅ‚ śł
-
ïÅ‚Åš śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
zi l l zi
l2 l2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
= EJ
z
ïÅ‚ śł
12 6 12 6
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Vk vk
- -
ïÅ‚- śł
ïÅ‚Åš śł
l3 l2 l3 l2 śł ïÅ‚ zk śł
ïÅ‚
zk
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
6 2 6 4
ïÅ‚ śł
-
ïÅ‚ śł
l l
l2 l2
ðÅ‚ ûÅ‚
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element plasko zginany w plaszczyznie xy
j
12 6 12 6
îÅ‚ Å‚Å‚
Postac macierzy -
ïÅ‚
l3 l2 l3 l2 śł
sztywnosci elementu:
ïÅ‚ śł
6 4 6 2
-
ïÅ‚ śł
j
l l
l2 l2
ïÅ‚ śł
K = EJ
z
12 6
ïÅ‚-12 - 6 śł
-
ïÅ‚
l3 l2 l3 l2 śł
ïÅ‚ śł
6 2 6 4
-
ïÅ‚ śł
l l
ðÅ‚ l2 l2 ûÅ‚
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element plasko zginany w plaszczyznie xz  orientacja
momentów
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element plasko zginany w plaszczyznie xz
Macierzowy zapis sil przywezlowych ma postac:
j
12 6 12 6
îÅ‚ Å‚Å‚
- - -
ïÅ‚
l3 l2 l3 l2 śł wi j
ïÅ‚ śł
Wi j
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
4 6 2
ïÅ‚- 6 śł
ïÅ‚Åš śł ïÅ‚ śł
yi yi
ïÅ‚ śł
l l
ïÅ‚ śł l2 l2 ïÅ‚ śł
= EJ
y
ïÅ‚ śł
12 6 12 6
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Wk wk
ïÅ‚- śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
l3 l2 l3 l2 śł ïÅ‚ yk śł
ïÅ‚
yk
ïÅ‚Åš śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2 6 4
ïÅ‚- 6 śł
ïÅ‚ śł
l l
ðÅ‚ l2 l2 ûÅ‚
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element plasko zginany w plaszczyznie xz
j
12 6 12 6
îÅ‚ Å‚Å‚
Postac macierzy
- - -
ïÅ‚
l3 l2 l3 l2 śł
sztywnosci elementu:
ïÅ‚ śł
6 4 6 2
-
ïÅ‚ śł
j
l l
l2 l2
ïÅ‚ śł
K = EJ
y
6 12 6
ïÅ‚-12 śł
ïÅ‚
l3 l2 l3 l2 śł
ïÅ‚ śł
6 2 6 4
-
ïÅ‚- l2 śł
l l
ðÅ‚ l2 ûÅ‚
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element zginany z silami podluznymi  kombinacja macierzy
dla elementu rozciaganego/sciskanego i dla elementu
zginanego w xy
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Macierzowy zapis sil przywezlowych ma postac:
j
EA EA
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 - 0 0
ïÅ‚ śł
l l
ïÅ‚ śł
12EJ 6EJ 12EJ 6EJ
j
ïÅ‚ śł
0 0 -
U ui j
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
i
3 2 3 2
ïÅ‚ śł
l l l l
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Vi vi
ïÅ‚ śł
6EJ 4EJ 6EJ 2EJ
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 0 -
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 2
Åš
l l
zi zi
l l
ïÅ‚ śł
=
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
EA
U uk
ïÅ‚- EA śł
k
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 0 0 0
ïÅ‚ śł
l l
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Vk vk
ïÅ‚ śł
12EJ 6EJ 12EJ 6EJ
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 - - 0 -
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
zk zk
ðÅ‚Åš ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2 3 2
l3 l l l
ïÅ‚ śł
6EJ 2EJ 6EJ 4EJ
ïÅ‚ śł
0 0 -
ïÅ‚ śł
2 2
l l
l l
ðÅ‚ ûÅ‚
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
j
EA EA
îÅ‚ Å‚Å‚
Postac macierzy
0 0 - 0 0
ïÅ‚ śł
l l
sztywnosci elementu:
ïÅ‚ śł
12EJ 6EJ 12EJ 6EJ
ïÅ‚ śł
0 0 -
3 2 2
ïÅ‚ śł
l l l3 l
ïÅ‚ śł
6EJ 4EJ 6EJ 2EJ
0 0 -
ïÅ‚ śł
2 2
l l
j
l l
ïÅ‚ śł
K =
EA
J = J
ïÅ‚- EA śł
z
0 0 0 0
ïÅ‚ śł
l l
ïÅ‚ śł
12EJ 6EJ 12EJ 6EJ
0 - - 0 -
ïÅ‚ śł
2 3 2
l3 l l l
ïÅ‚ śł
6EJ 2EJ 6EJ 4EJ
ïÅ‚ śł
0 0 -
ïÅ‚ śł
2 2
l l
l l
ðÅ‚ ûÅ‚
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Element rusztu zginanego w plaszczyznie xz  kombinacja
dla elementu rozciaganego/sciskanego i dla elementu
zginanego w xz
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Macierzowy zapis sil przywezlowych ma postac:
j
12EJ 6EJ 12EJ 6EJ
îÅ‚ Å‚Å‚
0 - - 0 -
ïÅ‚ śł
3 2 2
l l l3 l
ïÅ‚ śł
GJ GJs
s
śł
Wi j ïÅ‚ 0 wi j
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 - 0
ïÅ‚ śł
l l
ïÅ‚Åš śł ïÅ‚ śł
xi xi
ïÅ‚ śł
6EJ 4EJ 6EJ 2EJ
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
- 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Åš
2 2
yi yi
l l
l l
ïÅ‚ śł
=
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
6EJ 12EJ 6EJ
Wk wk
ïÅ‚- 12EJ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 0
ïÅ‚ 3 2 3 2 śł
ïÅ‚Åš xk śł ïÅ‚ xk śł
l l l l
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
GJ GJ
s s
ïÅ‚ śł
0 - 0 0 0
ïÅ‚Åš yk śł ïÅ‚ yk śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
l l
ïÅ‚ śł
6EJ 2EJ 6EJ 4EJ
ïÅ‚ śł
- 0 0
ïÅ‚ śł
2 2
l l
ðÅ‚ l l ûÅ‚
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
j
12EJ 6EJ 12EJ 6EJ
îÅ‚ Å‚Å‚
0 - - 0 -
Postac macierzy ïÅ‚ śł
3 2 2
l l l3 l
ïÅ‚ śł
GJ GJ
sztywnosci elementu:
s s
ïÅ‚ śł
0 0 0 - 0
ïÅ‚ śł
l l
ïÅ‚ śł
6EJ 4EJ 6EJ 2EJ
- 0 0
ïÅ‚ śł
2 2
l l
j
l l
ïÅ‚ śł
K =
6EJ 12EJ 6EJ
J = J
ïÅ‚- 12EJ śł
y
0 0
2 2
ïÅ‚ śł
l3 l l3 l
ïÅ‚ śł
GJs GJs
ïÅ‚ śł
0 - 0 0 0
l l
ïÅ‚ śł
6EJ 2EJ 6EJ 4EJ
ïÅ‚ śł
- 0 0
ïÅ‚ śł
2 2
l l
ðÅ‚ l l ûÅ‚
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
Przyklady macierz sztywnosci róznych elementów
Postac macierzy sztywnosci elementu elementu
przestrzennego z sila podluzna:
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
2. Metoda przemieszczen w ujeciu macierzowym [2]
j
EA EA
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0
ïÅ‚ śł
l l
ïÅ‚ śł
12EJz 6EJ 12EJ 6EJ
z z z
ïÅ‚ śł
0 0 0 0 0 - 0 0 0
2 2
ïÅ‚ śł
l3 l l3 l
ïÅ‚ śł
12EJ 6EJ 12EJ 6EJ
y y y y
0 0 0 - 0 0 0 - 0 - 0
ïÅ‚ śł
3 2 3 2
Ui j ïÅ‚ ui j
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
l l l l śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
GJs GJs
śł
Vi ïÅ‚ 0 vi
0 0 0 0 0 0 0 - 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
l l
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Wi wi
ïÅ‚ śł
6EJ 4EJ 6EJ 2EJ
y y y y
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 - 0 0 0 0 0 0
Åš
xi
ïÅ‚ śł 2 2 ïÅ‚ xi śł
ïÅ‚ śł
l l
l l
ïÅ‚ śł ïÅ‚ yi śł
ïÅ‚ śł
Åš
yi 6EJz 4EJ 6EJ 2EJ
z z z
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 0 0 - 0 0 0
Åš 2 2
l l
ïÅ‚ zi śł ïÅ‚ zi śł
ïÅ‚ śł
l l
=
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
śł
EA
Uk ïÅ‚ EA 0 uk
0 0 0 0 0 0 0 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚- śł
l
Vk ïÅ‚ l vk
ïÅ‚ śł
12EJ 6EJ 12EJ 6EJz śł ïÅ‚ śł
z z
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
śł
0 0 - 0 0 0 0 -
Wk ïÅ‚ 0 - 3 z 0 wk
2 3 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
l l l l
ïÅ‚Åš śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
xk 12EJ 6EJ 12EJ 6EJ xk
y y y y
ïÅ‚Åš śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 0 0 - 0 0 0 0 0 0 śł
3 2 2
yk yk
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
l l l3 l
ïÅ‚Åš zk śł ïÅ‚ zk śł
ïÅ‚ śł
GJs GJs
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0
ïÅ‚ śł
l l
ïÅ‚ śł
6EJ 2EJ 6EJ 4EJ
y y y y
ïÅ‚ śł
0 0 - 0 0 0 0 0 0
ïÅ‚ 2 2 śł
l l
l l
ïÅ‚ śł
6EJz 2EJ 6EJ 4EJ
z z z
ïÅ‚ śł
0 0 0 0 0 - 0 0 0
2 2
l l
ïÅ‚ śł
l l
ðÅ‚ ûÅ‚
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
3. Podejscie sieciowe do MP [4]
Kq = Q
Równanie równowagi:
Wektor niewiadomych
{ }
q = q1,q2,...,qM
(przemieszczenia wezlowe):
Macierz sztywnosci elementów
L L L L
[ ]
K = diag K1 , K2 ,...KM
w lokalnym ukladzie wspólrzednych:
M  liczba elementów konstrukcji
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
3. Podejscie sieciowe do MP [4]
Macierz sztywnosci elementów
w globalnym ukladzie wspólrzednych:
G G G
G L
KG = diag[K1 , K2 ,..., KM]
K = R Å" K Å" RT
R  macierz transformacji macierzy
sztywnosci elementów z ukladu
lokalnego do globalnego.
W3. METODY NUMERYCZNE ROZWIAZYWANIA ZADAN MECHANIKI
3. Podejscie sieciowe do MP [4]
Macierz sztywnosci konstrukcji:
L T
K = H Å" R Å" K Å" RT Å" H
G T
K = H Å" K Å" H
T
M
Kil = Hij Å" KG Å" H
"
j jl
j=1
H  macierz incydencji laczy wezly i elementy konstrukcji