Rozdział 9 BADANIE WŁAŚCIWOŚCI UKŁADÓW REGULACJI AUTOMATYCZNEJ
WSTĘP TEORETYCZNY
Stabilność układów automatyki
Zapewnienie stabilnej pracy układu regulacji jest jednjpil z zasadniczych zadań
przy jego projektowaniu. Warunek teat I jest tym ważniejszy, że o ile np.
niekorzystna charak- I terystyka częstotliwościowa układu regulacji lub
występc I wanie nieliniowości zmniejsza jedynie dobroć regu-lacji, o I tyle
występowanie niestabilności może pociągnąć za sob* I uszkodzenie układu
regulacji, a zwłaszcza wzmacniacza mocy I członu wykonawczego.
Pojęcie stabilności układu wiąże się intuicyjnie z poję�ciem trwałej równowagi
układu. O ile w przypadku ogólnym dla układów nieliniowych można wyodrębnić
wiele sposobów okreś�lania stabilności, w zależności od wymagań stawianych
ukła�dom, o tyle w przypadku liniowych układów dynamicznych defi�nicja
stabilności jest prosta i jednoznaczna. Brzmi ona. w sformułowaniu Laplace'a
następująco: Układ liniowy nazywny jest układem stabilnym, jeżeli dla dowolnych
warunków począ�tkowych, przy dowolnym i ograniczonym sygnale wejściowym sygnał
wyjściowy pozostaje również ograniczony.
Dla układów regulacji stabilność definiuje się nieć: inaczej, a mianowicie są
one stabilne, jeżeli dla dowolnyc" warunków początkowych, przy zerowych
sygnałach wejściowych (wymuszeniach i zakłóceniach), sygnał wyjściowy w stanie
ustalonym dąży do wartości zerowej.
Dla tak definiowanej stabilności (zerowe wymuszenia) przy jej badaniu wystarczy
posługiwać się jednorodnym równanien różniczkowym dynamiki układu:

lub związanym z nim operatorowym równaniem algebraicznym:


zwanym równaniem charakterystycznym. Równanie to otrzymuje się przyrównując do
zera mianownik funkcji przejścia układu zamkniętego:
czyli:
gdziejest transmitancją układu otwartego.
Kryteria stabilności układów regulacji
Kryterium pierwiastków równania charakterystycznego
Warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności układu regulacji jest, aby
wszystkie pierwiastki równania charakte�rystycznego miały części rzeczywiste
ujemne, tj.:

Wynika to z faktu, iż rozwiązanie jednorodnego równania różniczkowego: składa
się w za-
leżności od pierwiastków sm równania charakterystycznego (jednokrotne,
wielokrotne lub równe zero) z sumy wyrażeń typu: Każde rozwiązanie danego
jednorodnego równania różniczkowego będzie dążyć do zera przy gdy części
rzeczywiste wszystkich pierwiastków równania charakterystycznego będą ujemne ze
względu na -alejący charakter funkcji typu
Przy zachowaniu warunku wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego
znajdują się w lewej półpłasz-czyźnie zmiennej zespolonej "s" (w układzie
współrzędnych: oś X - osią rzeczywistą (Re) , oś Y - urojoną (Im)). Jeśli
dowolny z pierwiastkówma część rzeczywistą równą zero, to układ znajduje się na
granicy stabilności i mogą w nim �rystąpić drgania o stałej amplitudzie. Jeśli
natomiast choć ;eden z pierwiastków ma dodatnią część rzeczywistą (znajduje się
w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej "s"), -ówczas układ jest
niestabilny - amplituda drgań w układzie narasta, a układ "rozbiega się".
Przypadki te prezentuje rys. 9.1.




Rys.9.1. Pierwiastki równania charakterystycznego: a) układu stabilnego, b)
układu na granicy stabilności, c) układu niestabilnego
Badanie stabilności za pomocą kryterium pierwiastków rów�nania
charakterystycznego jest bardzo kłopotliwe, szczegól�nie dla układów wyższych
rzędów.
Kryterium algebraiczne Hurwitza
Kryterium to pozwala ocenić stabilność układu regulacji na podstawie
współczynników równania charakterystycznego bez konieczności obliczania
pierwiastków tego równania.
Według kryterium Hurwitza układ jest stabilny, jeśli zachodzą następujące
warunki:
- wszystkie współczynniki równania charakterystycznego są
dodatnie,
- wyznacznik głównyi wszystkie podwyznaczniki
(2,3,...n) utworzone z wyznacznika głównego są dodatnie:

Kryterium częstotliwościowe Nyąuista
Kryterium Nyąuista dotyczy przypadku badania stabilności zamkniętego układu
regulacji na podstawie charakterystyk amplitudowo-fazowych układu otwartego.
Metoda ta pozwala stwierdzić już na etapie projektu i budowy układu regulacji,
czy po zamknięciu obwodu regulacyjnego układ będzie

stabilny. Ważnym elementem kryterium Nyąuista jest oparcie się na
charakterystykach częstotliwościowych, które mogą być wyznaczane
doświadczalnie, a niekoniecznie metodą anali�tyczną.
W myśl kryterium pierwiastków równania charakterystycz�nego układ regulacji
jest stabilny, jeżeli wszystkie pier�wiastki tego równania mają części
rzeczywiste ujemne, to znaczy znajdują się w lewej części płaszczyzny zmiennej
zespolonej "s". Istota tego kryterium polega więc na wyzna�czeniu rozkładu
pierwiastków równania na płasz�czyźnie "s". Kryterium Nyąuista opiera się na
kontroli poło�żenia pierwiastków równania charakterystycznego na płasz�czyźnie
"s" poprzez odwzorowanie tej płaszczyzny na płasz�czyznę zmiennej zespolonej .
Aby odnaleźć na płasz�czyźnie punkt odpowiadający danemu punktowi na
płaszczyźnie "s", należy dokonać podstawienia:

a z otrzymanego rezultatu wyodrębnić część rzeczywistą i urojoną, czyli:

Wartości są współrzędnymi punktu
odpowiadającego na płaszczyźniepunktowi na płasz�czyźnie "ś". Jeżeli jest
jednym z pierwiastków równania czyli jeżeli (lub w innym zapisie:
Ko(3 G>)=-l+jO), to takiemu punktowi na płaszczyźnie "s" odpowiada na
płaszczyźnie punkt o współrzędnych (-l,jO).
Po dokonaniu transformacji wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego
przejdą w punkt (-l,jO) na płaszczyźnie W celu sprawdzenia stabilności układu
regulacji wystarczy skontrolować, czy na płaszczyźnie punkt (-l,jO) znajduje
się w obszarze odpowiadającym lewej pół-płaszczyźnie zmiennej s lub (co jest
równoznaczne) , czy znajduje się poza obszarem odpowiadającym prawej
półpłasz-czyźnie zmiennej s. Dokonuje się w tym celu odwzorowania brzegów
prawej półpłaszczyzny zmiennej s. Odwzorowanie

płaszczyzny zmiennej zespolonej "s" na płaszczyznę przedstawiono na rysunku
9.2.




Rys.9.2. Odwzorowanie płaszczyzny zmiennej zespolonej "s" na płaszczyznę
W przypadku więc stabilnego zamkniętego układu regulacji wykres charakterystyki
amplitudowo-fazowej układu otwartegc nie może obejmować punktu o współrzędnych
(-l,jO) dla częstotliwości zmieniających się od Jest te
równoznaczne z faktem, że posuwając się po tej charakte�rystyce w kierunku
rosnących częstotliwości mija się punkt (-1/jO) w ten sposób, że znajduje się
on po lewej stronie wykresu. Dla większości przypadków wystarczająca jest
analiza przebiegu charakterystyki amplitudowo-fazowej dla częstotliwości
zmieniających się od 0 do oo. Jeśli charakterystyka amplitudowo-fazowa przecina
się z ujemna częścią osi rzeczywistej w i (i=l,2..n) punktach, wówczas należy
określić częstotliwościdla których:




a następnie sprawdzić czy spełnione są zależności:

Przykłady zastosowań kryterium Nyąuista do oceny sta�bilności przedstawia
rysunek 9.3.


Rys.9.3. Przykłady zastosowania kryterium Nyquista do oceny stabilności
Pewne niejasności mogą pojawić się przy układach zawiera�jących elementy
całkujące (charakterystyki dążące do nie�skończoności dla. Należy wtedy
narysować pełną charak�terystykę dla częstotliwości lub uzupełnić Śwykres o
krzywą zaczynającą się na dodatniej części osi rzeczywistej - rysunek 9.4.

?ys.9.4. Przykłady zastosowania kryterium Nyquista do oceny stabilności w
przypadkach układów z elementami całkującymi
Jeżeli dla niektórychwaruneknie jest
jrełniony, to układ nie musi być niestabilny. Może to być rzadko spotykany
przypadek, taki jak pokazany na rysunku *.5.