Rys.9.5. Przykłady zastosowania kryterium Nyąuista do oceny stabilności w
szczególnych przypadkach układów
Korzystając z kryterium Nyąuista, można określić warunki stabilności układu
regulacji analitycznie, bez konieczności sporządzania wykresu charakterystyki
amplitudowo-fazowej układu otwartego. Zakłada się, że moduł transmitancji
widmowej jest funkcjÄ… monotonicznie malejÄ…cÄ… dla et zmieniajÄ…cej siÄ™ od zera do
nieskończoności. Jest to praktycznie dość często występujący przypadek -
rysunek 9.6.

Rys.9.6. Typowa charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego
Określenia warunków stabilności układu regulacji można w tej sytuacji dokonać
trojako:

I sposób:
1. Wyznaczyć częstotliwośćz warunku:

2. Układ regulacji będzie stabilny, jeżeli:

II sposób:
1. Wyznaczyć częstotliwośćz warunku:

2. Układ regulacji będzie stabilny, jeżeli:

III sposób:
1. Wyznaczyć częstotliwośćz warunku:

2. Układ regulacji będzie stabilny, jeżeli:

W praktyce samo stwierdzenie, że układ regulacji jest stabilny, bywa
niewystarczajÄ…ce. Ważne jest również okreÅ›­lenie, jak duży jest tak zwany
"zapas stabilności", czy też jak daleko od "granicy stabilności" znajduje się
ukÅ‚ad regu­lacji. OczywiÅ›cie, im bliżej tej granicy bÄ™dzie znajdowaÅ‚ siÄ™ ukÅ‚ad,
tym mniejszy bÄ™dzie zapas stabilnoÅ›ci, a w przy­padku, gdy któryÅ› z
pierwiastków równania charakterys­tycznego bÄ™dzie miaÅ‚ część rzeczywistÄ… równÄ…
zeru, to układ taki będzie znajdował się na granicy stabilności.
0 zapasie stabilności decyduje odległość od osi na płaszczyźnie "s" najbliżej
tej osi położonego pierwiastka (lub pierwiastków). Im ta odległość będzie
mniejsza, tym mniejszy będzie zapas stabilności układu. Miarą zapasu
stabilności jest więc minimalna co do wartości bezwzględnej część rzeczywista
pierwiastków równania charakterystycznego, odpowiadającego układowi
stabilnemu:


Podobnie z kryterium NyÄ…uista wynika, że ukÅ‚ad jest ^«b granicy stabilnoÅ›ci,
jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego przechodzi przez
punrt o współrzędnych (-l,jO). Stąd o zapasie stabilności decyó odległość
punktu (-l,jO) od charakterystyki amplitudowe -fazowej układu otwartego. Im ta
odległość będzie mniejsza tym mniejszy zapas stabilności Am będzie posiadał
układ. M. jest tak zwanym amplitudowym zapasem stabilności. Przez jego miarę
można rozumieć odwrotność modułu wartości częśc-rzeczywistej transmitancji
widmowej układu otwartego dla częstotliwościdla której charakterystyka
amplitudowo-fazowa przecina ujemną oś części rzeczywistych:

Podobnie przez miarę fazowego zapasu stabilności rozumie się wartość
kątaokreślanego jako różnica argumentów transmitancji widmowej dla
częstotliwości dla której charakterystyka amplitudowo-fazowa przecina okrąg
jednost­kowy, majÄ…cy Å›rodek w poczÄ…tku ukÅ‚adu współrzÄ™dnych, i dla
częstotliwości

Częstotliwośćnazywana jest częstotliwością graniczną fazy (częstotliwość
odcięcia fazy):

Częstotliwośćnazywana jest częstotliwością graniczną modułu (częstotliwość
odcięcia modułu):

Pojęcia amplitudowego i fazowego zapasu stabilności ilustruje rysunek 9.7.


Rys.9.7. Ilustracja pojęć amplitudowegoi fazowego zapasu stabilności
Zapas amplitudy określa więc, ile razy można zwiększyć moduł transmitancji,
zanim osiągnie on wartość 1, a zapas fazy określa, o ile można zwiększyć
przesuniÄ™cie fazowe, zanim osiÄ…gnie ono wartość OkreÅ›lanie zapasu stabil­noÅ›ci
dotyczy oczywiście tylko układów stabilnych. Układy niestabilne nie mają zapasu
stabilności, choć czasami określa się dla nich ujemne wartości zapasu w celu
wyzna­czenia parametrów korygujÄ…cych, stabilizujÄ…cych ukÅ‚ad.
Zapewnienie odpowiedniego zapasu stabilnoÅ›ci dla projek­towanych ukÅ‚adów
regulacji jest zagadnieniem istotnie ważnym w teorii układów automatycznej
regulacji. Zaleca się na ogół, aby:
amplitudowy zapas stabilności:
fazowy zapas stabilności:
Dokładność statyczna układów automatyki
Z punktu widzenia analizy właściwości układów regulacji istotną sprawą jest
ocena wartości ustalonego uchybu (błędu) regulacji.
Schemat blokowy prostego układu regulacji przedstawia rysunek 9.8.


X(s) - wielkość zadana Y(s) - wielkość regulowana Z(s) - zakłócenia E(s) -
uchyb (błąd) regulacji W(s) - wielkość nastawiająca (sterująca) Rys.9.8.
Schemat blokowy układu regulacji
Miarą dokładności statycznej układu regulacji są uchyby w stanie ustalonym,
które definiuje się następująco:

Dla układu regulacji z rysunku 9.8 uchyb regulacji E(sj można opisać równaniem:

(szczegółowe wyprowadzenie tego równania można znaleźć w rozdziale 10) , przy
czym określić można uchyb nadążania i uchyb zakłóceniowy


Uchyby te w stanie ustalonym określa się następująco:


Przy czym, ponieważ: więc:
Jak widać, ocena błędu ustalonego polega na ocenie uchybu nadążania i uchybu
zakłóceniowego. Dopuszczalne wartości tych błędów określa się oddzielnie w
procentach wartości maksymalnych wielkości zadanej lub wielkości regulowanej.
W przypadku analizy właściwości układów regulacji istotny ]est podział tych
układów na statyczne i astatyczne układy regulacji automatycznej.
Celem ukÅ‚adu regulacji automatycznej jest takie stero­wanie obiektem, aby
przebieg sygnaÅ‚u regulowanego jak naj­mniej różniÅ‚ siÄ™ od przebiegu sygnaÅ‚u
zadanego, to znaczy, oy uchyb regulacji był jak najmniejszy, a w idealnym
-kładzie regulacji dążył do zera.
Układ regulacji jest układem statycznym, jeśli uchyb regulacji w stanie
ustalonym dla skokowego sygnału x(t) jest różny od zera i równy Wielkość
nazywana jest -ichybem statycznym.
Układem astatycznym nazywany jest układ, w którym uchyb -stalony jest równy
zeru. Aby zamknięty układ regulacji był -icładem astatycznym, układ otwarty
musi mieć właściwości całkujące.
Przy wymuszeniu liniowo narastającym statyczny układ regulacji (statyczny przy
wymuszeniu w postaci skoku jed­nostkowego) nie może dziaÅ‚ać prawidÅ‚owo,
ponieważ uchyb -stalony jest nieskończony, natomiast układ astatyczny przy
takim wymuszeniu wykazuje różny od zera, tak zwany uchyb rrędkościowy. Aby
uchyb prędkościowy był równy zero, układ

musi być układem astatycznym drugiego stopnia (musi zawiera: dwa elementy
całkujące). Aby układ astatyczny drugiec: stopnia mógł wykazywać uchyb
ustalony, wymuszenie musi t paraboliczne. Uchyb ustalony przy wymuszeniu
parabolicznym nazywa się uchybem przyspieszeniowym. Oczywiście, uk; astatyczny
wyższego rzÄ™du ma zerowe uchyby ustalone wszys­tkich niższych stopni.
Aby przybliżyć zagadnienia statycznych i astatycznycr układów regulacji,
rozważone bÄ™dÄ… ukÅ‚ady o schematach bloko­wych podanych na rysunku 9.9. Dla
układów tych transmitancje układu otwartego wynoszą odpowiednio:



Uchyb ustalony dla skokowego wymuszenia x(t)=a 11 (t), czylidla tych układów
wynosi:



Rys.9.9. Przykłady układów statycznych i astatycznych


Z obliczeń wynika więc, że układ z rys. 9.9a jest układem statycznym, a
pozostałe dwa są układami astatycznymi. Dla układu z rys. 9.9b błąd ustalony
różny od zera otrzymuje się dla wymuszenia liniowo narastającego w czasie:

Jest to więc układ astatyczny pierwszego rzędu. Natomiast dla układu z rys.
9.9c błąd ustalony różny od zera występu:^ dopiero dla wymuszenia parabolicznie
narastajÄ…cego:









Jest to więc układ astatyczny drugiego rzędu.
Rozważania dotyczące statyzmu lub astatyzmu układu można prowadzić tylko wtedy,
gdy układ jest stabilny, gdyż tylko wtedy wartość uchybu e(t) może ustalić się
po odpowiednim czasie jakoNiestety, wymagania dużego zapasu stabil­noÅ›ci i
dużej dokÅ‚adnoÅ›ci (maÅ‚ej wartoÅ›ci sÄ… wymaga­niami wzajemnie sprzecznymi.
Projektując układ regulacji trzeba się liczyć z pewnym kompromisem między tymi
wymaga­niami, a mianowicie należy okreÅ›lić niezbÄ™dny zapas stabil­noÅ›ci i
zgodzić siÄ™ na uzyskanÄ… dokÅ‚adność statycznÄ…. Waru­nek stabilnoÅ›ci jest
warunkiem pierwszorzędnym.
Inne wskaźniki jakości regulacji
Kolejnym parametrem charakteryzującym jakość regulacji jest tak zwany
czÄ™stotliwoÅ›ciowy wskaźnik regulacji. Poka­zuje on, jak silnie tÅ‚umione sÄ…
zakłócenia w zamkniętym układzie regulacji w stosunku do układu otwartego. Tor
zakłóceń Z(s) w układzie bez regulatora (czyli w układzie otwartym) ma
następującą funkcję przejścia (rys. 9.8):

Natomiast w układzie zamkniętym funkcja przejścia zakłóceń ma postać:




Stosunek funkcji przejścia zakłóceń w układzie zamkniętym do funkcji przejścia
zakłóceń w układzie otwartym nazywany jest wskaźnikiem regulacji:

Częściej operuje siÄ™ pojÄ™ciem czÄ™stotliwoÅ›ciowego wskaź­nika regulacji, który
jest określany przez stosunek wartości bezwzględnych odpowiednich transmitancji
widmowych:

Charakterystyka częstotliwościowego wskaźnika regulacji jest przedstawiona na
rysunku 9.10.




Rys.9.10. Charakterystyka częstotliwościowego wskaźnika regulacji
Na charakterystyce wskaźnika regulacji można wyróżnić: - pasmo tłumienia
zakłóceń dla którego
W paśmie tym wpływ zakłóceń jest mniejszy w układzie ze sprzężeniem zwrotnym
niż dla obiektu regulacji bez sprzężenia. W przypadku większości układów
największe tłumienie jest dla kiedy to:


- pasmo krytyczne - rezonansowe dla któresr
Zakłócenia o częstotliwościach z tego pasma sa wzmacniane w układzie ze
sprzężeniem zwrotnym w stosur. do układu otwartego. Najsilniej zjawisko to
występuje dl; częstotliwości rezonansowej dla której:

Dla częstotliwości i zakłóceni:
oddziałują w ten sam sposób w układzie zamkniętym, jaic i w układzie otwartym;
- pasmo nadrezonansowe dla którego
W paśmie tym nie ma tłumienia zakłóceń, co wynika ze zmniejszania się
transmitancji widmowej do zera dla ty:: częstotliwości co oznacza "otwarcie"
pętli
sprzężenia zwrotnego).
Tak więc, aby tłumienie zakłóceń w zamkniętym układzie regulacji było bardziej
skuteczne niż w układzie otwartym, częstotliwości zakłóceń muszą leżeć w paśmie
tłumienia. W praktyce ogranicza się pasmo regulacji dla
którego wpływ zakłóceń w zamkniętym układzie regulacji jest słabszy aniżeli w
układzie otwartym (rys.9.10).
Duży wpÅ‚yw na przebieg charakterystyki czÄ™stotliwoÅ›­ciowego wskaźnika regulacji
ma współczynnik wzmocnienia układu otwartego - rys. 9.11. Ze wzrostem tego
współczynnika poprawia się tłumienie, ale następuje pogorszenie się własności
układu w paśmie rezonansowym.


Rys.9.11. Wpływ współczynnika wzmocnienia układu otwartego na częstotliwościowy
wskaźnik regulacji
O jakoÅ›ci regulacji, oprócz zapasu stabilnoÅ›ci, dokÅ‚a­dnoÅ›ci statycznej i
wskaźnika regulacji decydują jeszcze następujące wskaźniki (rys. 9.12):
czas regulacji tr - czas liczony od chwili wprowadzenia
wymuszenia do chwili, po której uchyb regulacji zmaleje
poniżej 5% swojej wartości maksymalnej,
przeregulowanie- stosunek największej wartości błędu
regulacji o znaku przeciwnym niż błąd maksymalny do
wartości tego maksymalnego błędu.

Rys.9.12. Ilustracja wskaźników reulacji: czasu regulacji tr i przeregulowania
c