Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Wykonujemy rzuty symetryczną kością do gry do chwili uzyskania drugiej  szóstki .
Niech Y oznacza zmienną losową równą liczbie rzutów, w których uzyskaliśmy inne
wyniki niż  szóstka , a X zmienną losową równą liczbie rzutów, w których
uzyskaliśmy  jedynkę . Oblicz E(Y - X | X = 4) .
(A) 12
(B) 14
(C) 16
(D) 18
(E) 20
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech X1, X , X , X będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym X1 ma
2 3 4
rozkład Pareto(1,1) a X , X , X mają jednakowy rozkład Pareto (1,2). Oblicz
2 3 4
P(min(X , X , X ) < X1 < max(X , X , X )) .
2 3 4 2 3 4
RozkÅ‚ad Pareto (,¸ ) jest rozkÅ‚adem o gÄ™stoÅ›ci
Å„Å‚
¸¸
ôÅ‚ gdy x > 0
f (x) =
òÅ‚
( + x)¸ +1
ôÅ‚
0 gdy x d" 0.
ół
2
(A)
5
1
(B)
3
1
(C)
2
2
(D)
3
3
(E)
5
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech (X ,Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
4
Å„Å‚
ôÅ‚
gdy x > 0 i y > 0 i x2 + y2 < 1
f (x, y) =
òÅ‚
Ä„
ôÅ‚
0 w przeciwnym przypadku.
ół
Y
2 2
Niech Z = i V = X + Y . Wtedy łączny rozkład zmiennych Z, V jest taki, że
X
(A) EZ = 1
(B) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej Z wyraża się wzorem
2
g(z) = dla z " (0,+")
Ä„ (1+ z2 )
(C) mediana rozkładu brzegowego zmiennej Z jest równa 3
(D) zmienne Z i V są zależne
(E) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej V wyraża się wzorem
gV (v) = 4v3 dla v " (0,1)
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
2
Niech X1, X ,K, X bÄ™dÄ… zmiennymi losowymi o rozkÅ‚adzie normalnym N(µ1,à )
2 m
2
każda i Y1,Y2 ,K,Yn zmiennymi losowymi o rozkÅ‚adzie normalnym N(µ2 ,à ) każda.
Wszystkie zmienne sÄ… niezależne. HipotezÄ™ H0 : µ1 = µ2 przy alternatywie
H1 : µ1 > µ2 weryfikujemy w nastÄ™pujÄ…cy sposób. Zliczamy liczbÄ™ S elementów w
próbce X1, X ,K, X większych od wszystkich elementów próbki Y1,Y2 ,K,Yn .
2 m
Hipotezę H0 odrzucamy, gdy S e" s , gdzie s jest wartością krytyczną. Przypuśćmy,
że m=7 i n=8. Podaj rozmiar testu, gdy s=2.
(A) 0,15
(B) 0,10
(C) 0,20
(D) 0,05
(E) 0,25
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech X1, X ,K, X będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
2 n
2x gdy x " (0;1)
Å„Å‚
f¸ (x) =
òÅ‚
0 gdy x " (0;1).
ół
1
n
n
Niech Tn = X .
" i
i=1
Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe?
(A) lim P{(Tn - e-0,5 ) n > 2e-0,5} = 0,023
n"
(B) lim P{| Tn - e0,5 | n > 2e0,5} = 0,023
n"
(C) lim P{Tn < e-0,5} = 1
n"
(D) lim P{| Tn - e-0,5 | n > e-0,5} = 0,046
n"
(E) lim P{Tn > e0,5} = 1
n"
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Ustawiamy w ciąg 6 elementów typu a i 9 elementów typu b. Wszystkie ciągi są
jednakowo prawdopodobne. Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za
którym występuje element drugiego typu, na przykład w ciągu : aaabbbbaabbbbba
jest 5 serii (3 serie elementów typu a i 2 serie elementów typu b). Oblicz
prawdopodobieństwo, że w ciągu będzie 6 serii.
8
(A)
143
96
(B)
143
16
(C)
143
48
(D)
143
24
(E)
143
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Niech X1, X ,K, X będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym zmienne
2 m+n
losowe X i = 1,2,Km mają rozkład Weibulla o gęstości
i
¸
Å„Å‚
ôÅ‚ e-¸ x gdy x > 0
f¸ (x) =
òÅ‚
2 x
ôÅ‚
0 gdy x d" 0
ół
a X , i = m +1, m + 2,K, m + n są zmiennymi losowymi o rozkładzie Weibulla o
i
gęstości
¸
Å„Å‚
ôÅ‚ e-2¸ x gdy x > 0
g¸ (x) = ,
òÅ‚
x
ôÅ‚
0 gdy x d" 0
ół
gdzie ¸ > 0 jest nieznanym parametrem. JeÅ›li m = n = 5 , to bÅ‚Ä…d Å›redniokwadratowy
estymatora największej wiarogodności wyznaczonego na podstawie próby
X1, X ,K, X jest równy
2 m+n
2
2
(A) ¸
3
1
2
(B) ¸
3
2
(C) ¸
1
2
(D) ¸
9
1
2
(E) ¸
6
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Niech X1, X ,K, X będą zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto (1, a1) a
2 n
Y1,Y2 ,K,Ym będą zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto (1, a2 ) , gdzie a1, a2 > 0 są
nieznanymi parametrami. Wszystkie zmienne są niezależne. Na poziomie ufności
a1
1-ą budujemy przedział ufności [dT,cT ] dla ilorazu parametrów na podstawie
a2
estymatora największej wiarogodności T tego ilorazu w ten sposób, że
a1 a1 Ä…
Pa ,a2 (cT < ) = Pa ,a2 (dT > ) = .
1 1
a2 a2 2
Jeśli ą = 0,1 i m=4 i n=5, to przedział ufności ma długość
(A) 3,02T
(B) 2,77T
(C) 6,06T
(D) 5,03T
(E) 4,42T
Uwaga: RozkÅ‚ad Pareto (,¸ ) jest rozkÅ‚adem o gÄ™stoÅ›ci
Å„Å‚
¸¸
ôÅ‚ gdy x > 0
f (x) =
òÅ‚
( + x)¸ +1
ôÅ‚
0 gdy x d" 0
ół
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Zmienne losowe X1, X ,K, X majÄ… jednakowÄ… wartość oczekiwanÄ… µ , jednakowÄ…
2 n
2
wariancjÄ™ Ã i współczynnik korelacji Corr(X , X ) = Á dla i `" j . Zmienne losowe
i j
Z1, Z2 ,K, Zn są nawzajem niezależne oraz niezależne od zmiennych losowych
1
X1, X ,K, X i mają rozkłady postaci P(Zi = 0) = P(Zi = 1) = . Oblicz wariancję
2 n
2
n
zmiennej losowej X .
"Zi i
i=1
2
à n(n -1)
2 2
(A) n + (ÁÃ - µ )
2 4
2 2
µ Ã n -1
ëÅ‚1+ Á öÅ‚
(B) n + n
ìÅ‚ ÷Å‚
4 2 4
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
µ + 2Ã
(C) n
4
2 2
µ Ã n -1
ëÅ‚1+ Á öÅ‚
(D) n + n
ìÅ‚ ÷Å‚
4 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
à n(n -1)
2 2
(E) n + (ÁÃ + µ )
2 4
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Niech N, X1, X ,K,Y1,Y2, ,K będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Zmienne
2
X , i = 1,2,K mają rozkłady wykładnicze o wartości oczekiwanej 1, zmienne losowe
i
Yi , i = 1,2,K mają rozkłady wykładnicze o wartości oczekiwanej 2. Warunkowy
rozkÅ‚ad zmiennej losowej N przy danym › =  jest rozkÅ‚adem Poissona o wartoÅ›ci
oczekiwanej  . RozkÅ‚ad brzegowy zmiennej › jest rozkÅ‚adem gamma o gÄ™stoÅ›ci
Å„Å‚
16e-4 gdy  > 0
f () = .
òÅ‚
0 gdy  d" 0
ół
Niech
N N
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚ X gdy N > 0 i T = ôÅ‚ gdy N > 0
" i "Yi
S =
òÅ‚ òÅ‚
i=1 i=1
ôÅ‚ ôÅ‚
0 gdy N = 0 0 gdy N = 0
ół
ół
Oblicz współczynnik korelacji Corr(S,T ) .
(A) 0
2
(B)
15
1
(C)
2
4
(D)
9
5
(E)
9
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi*
ImiÄ™ i nazwisko : ........................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ...........................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacjaf&
1 A
2 A
3 B
4 C
5 D
6 C
7 E
8 A
9 D
10 E
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
f&
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11