Podstawowe modele ciał w mechanice:
z
" Ciało (bryła) idealnie sztywne
v
z
oz (nieodkształcalne)
y
oy " Układ punktów materialnych
x
" Punkt materialny
A ox
Bryła sztywna jest modelem ciała,
w którym odległości pomiędzy
środek poszczególnymi punktami są niezmienne
ciężkości
dm
 ciało jest nieodkształcalne.
r
x
Uwaga: Ciało modelujemy przy pomocy
bryły sztywnej jeżeli nie do pominięcia
są efekty związane z obrotami ciała
(natomiast nieistotne są jego
odkształcenia wytrzymałość
materiałów)
y
Masowym momentem bezwładności
z
nazywamy iloczyn masy ciała przez
v
z
oz kwadrat odległości od punktu, prostej
y
oy lub płaszczyzny.
x
A ox
Przykład: masowy moment bezwładności
względem początku układu współrzędnych
środek
ciężkości
dm
r
x
II prawo Newtona:
W ruchu obrotowym:
y
I0 - biegunowy moment bezwładności (względem punktu);
Ix, Iy, Iz - moment bezwładności względem osi;
Ixy, Iyz, Izx - moment bezwładności względem płaszczyzny.
z
rz
dm
ry
r
z
y
rx
x
y
x
I0 - biegunowy moment bezwładności (względem punktu);
Ix, Iy, Iz - moment bezwładności względem osi;
Ixy, Iyz, Izx - moment bezwładności względem płaszczyzny.
z
rz
dm
ry
r
z
y
rx
x
y
x
Moment bezwładności ciała materialnego względem dowolnej osi jest równy
sumie momentu bezwładności względem osi równoległej przechodzącej
przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości pomiędzy
tymi osiami.
y
y
b
93
x
środek
a
m asy
x
9
6
y
y
b
93
x
środek
a
m asy
Ponieważ:
x
9
6
Oprócz zdefiniowanych wyżej momentów bezwładności względem punktu,
płaszczyzn i osi w dynamice ważną rolę (np. wyważanie) odgrywają
wielkości, które nazywamy momentami dewiacyjnymi (albo momentami
mieszanymi lub odśrodkowymi) :
Momentami dewiacyjnymi Dxy Dyz
z
Dzx ciała materialnego nazywamy
iloczyn masy ciała przez iloczyn
odległości od dwóch prostopadłych
płaszczyzn yz i zx, zy i xy, xy i yz.
rz
dm
ry
r
z
y
rx
x
y
x
" Momenty dewiacyjne mogą przyjmować wartości zarówno
dodatnie, jak i ujemne.
" Jeżeli jedna z dwóch płaszczyzn, względem których obliczamy
momenty dewiacyjne, jest płaszczyzną symetrii rozpatrywanego
układu materialnego (bryły), to odpowiednie momenty dewiacyjne
są równe zeru.
" Jeżeli układ materialny ma dwie płaszczyzny symetrii, to wszystkie
momenty dewiacyjne względem tych płaszczyzn będą równe zeru.
" Momenty bezwładności zmieniają się wraz z transformacją układu
współrzędnych; Dla każdego ciała można znalez
ć taki układ
współrzędnych aby wszystkie momenty dewiacyjne były równe
zeru; osie takiego układu nazywamy osiami głównymi ciała, a
momenty bezwładności momentami głównymi bezwładności.
" Jeżeli układ osi głównych ma początek w środku ciężkości ciała to
mamy do czynienie z głównymi centralnymi osiami
bezwładności.
jeżeli: to:
Geometryczne
momenty
bezwładności
Zadanie: Obliczyć moment bezwładności cienkiego pręta o długości L
i masie m względem osi do niego prostopadłej i przechodzącej przez środek
ciężkości pręta. Zakładamy, że wymiary poprzeczne pręta są b. małe w
porównaniu z jego długością.
y
x
C
dx
x
40 10
L
150
y
x
C
x dx
40 10
L
150
Zadanie: Obliczyć moment bezwładności walca o promieniu R
i wysokości H oraz masie m względem osi obrotu Oz i przechodzącej przez
środek ciężkości walca.
z
dr
r
R
H y
C
x
1
2
0
1
7
2
5
1
5
z
dr
r
R
H y
C
x
1
2
0
1
7
2
5
1
5
" Moment bezwładności pręta względem osi prostopadłej do jego
osi i przechodzącej przez jego początek.
" Moment bezwładności walca względem osi prostopadłej do jego
osi i przechodzącej przez jego środek ciężkości.
" Moment bezwładności cienkiej płyty prostokątnej względem osi
przechodzącej przez jej środek ciężkości i równoległej do
jednego z boków.
" Moment bezwładności stożka względem jego osi.
" Moment bezwładności stożka względem osi prostopadłej do jego
osi i przechodzącej przez jego wierzchołek.
" Biegunowy moment bezwładności kuli względem jej środka
ciężkości.