IS3 wyklad4


Twierdzenia graniczne:
Tw. nierównośd Markowa
1
Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX < Ą, to "5X > 0: 5C 5K e" 5X d" 585K .
5X
Tw. nierównośd Czebyszewa
1
Jeżeli EX = m i 0 < 52 = 5725K < ", to "5a > 0: 5C(|5K - 5Z| e" 5a5) d" .
5a2
Np.
1. Z partii towaru o wadliwości 2% wylosowano bez zwracania 400 elementów. Oszacuj
prawdopodobieostwo, że wśród wylosowanych elementów liczba wadliwych nie przekracza 5%.
X  liczba wylosowanych wadliwych elementów
X ma rozkład dwumianowy z prawdopodobieostwem sukcesu p = 0,02 i n = 400
szacujemy P(X Ł 20) = 1  P(X > 20) = 1  P(X ł 21)
1 8
z nierówności Markowa P(X ł 21) Ł 21 " 400 " 0,02 =
21
8
P(X Ł 20) ł 1 - 21 = 13
21
2. Zmienne losowe 5K1, 5K2, 5K3, 5K4 są niezależne o tym samym rozkładzie jednostajnym na odcinku
[0,1]. Oszacuj P(5K1 + 5K2 + 5K3 + 5K4 < 3).
P(5K1 + 5K2 + 5K3 + 5K4 < 3) = 1 - P(5K1 + 5K2 + 5K3 + 5K4 ł 3) ł 1 - 1E(5K1 + 5K2 + 5K3 + 5K4) =
3
1
= 1 - 1 " 4 " = 1
3 2 3
3. Niech X będzie sumą 10 niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z
parametrem l = 2. Oszacuj prawdopodobieostwo P(3 < X < 7).
EX = 101 = 5, 52 = 5725K = 101 = 5
2 4 2
P(3 < X < 7) = P(|X  5|< 2) = P(|X - 5|< 2 2 5) = 1  P(|X  5|ł 2 2 5) ł 1 - 5 = 3
5 5 8 8
4. Z nierówności Czebyszewa oszacowano, że prawdopodobieostwo tego, że liczba N orłów w
serii rzutów symetryczną monetą różni się od swojej wartości oczekiwanej o więcej niż 25% tej
wartości oczekiwanej jest nie większe niż 1/160. Z ilu co najmniej rzutów składa się ta seria?
EX = 5[, 5725K = 5[
2 4
5[ 1 5[ 1 1 16
P(|X - 5[| ł 1 " ) Ł 160 P(|X - 5[| ł " 5) Ł 160 = n = 16160 = 2560
2 4 2 2 4 160 5[
Tw. słabe prawo wielkich liczb
Jeżeli 5K1, 5K2, 5K3, & jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, o
wartości oczekiwanej m i wariancji 52 " 0, " , to
5K1 + 5K2 + " + 5K5[
"5 > 0: lim 5C(| - 5Z| < 5) = 1
5["
5[
Wniosek: Jeżeli 5K1, 5K2, 5K3, & jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym
rozkładzie zero-jedynkowym dla P(5K5V = 1) = p, to
5K1 + 5K2 + " + 5K5[
"5 > 0: lim 5C(| - 5]| < 5) = 1
5["
5[
Np.
Niech 5K5V będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie normalnym
N(m,s). Jak duże musi byd n, aby w słabym prawie wielkich liczb granicę można było zastąpid
liczbą z błędem nie większym niż 0,001.
5K1+5K2+"+5K5[
Błędem w zastąpieniu granicy liczbą 5C(| - 5Z| < 5 ) jest
5[
5K1+5K2+"+5K5[ 5K1+5K2+"+5K5[
1 - 5C - 5Z < 5 = 5C(| - 5Z| e" 5)
5[ 5[
5Z 52 52
E(5K1+5K2,+ "+5K5[) = 5[ " , 572 5K1+5K2,+ "+5K5[ = 5[ " =
5[ 5[ 5[ 5[2 5[
2
5K1+5K2+"+5K5[ 5 5[ 5 52
5C - 5Z e" " d" d" 0,001 5[ e" 5 " 1000
5[ 5 5[ 5[52 52
Tw. mocne prawo wielkich liczb
Jeżeli 5K1, 5K2, 5K3, & jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie,
o wartości oczekiwanej m i wariancji 52 " 0, " , to
5K1 + 5K2 + " + 5K5[
5C( lim = 5Z) = 1
5["
5[
Centralne twierdzenie graniczne:
Tw. Lindeberga-Levy ego
Jeżeli 5K1, 5K2, 5K3, & jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie,
wartości oczekiwanej m i wariancji 52 " 0, " , to
5K1 + 5K2 + " + 5K5[ - 5[5Z
lim 5C( < 5e) = Ś 5e ,
5["
5 5[
gdzie Ś 5e jest dystrybuantą standaryzowanego rozkładu normalnego N(0,1)
Tw. Moivre a-Laplace a
Jeżeli 5L1, 5L2, 5L3, & jest ciągiem zmiennych losowych i 5L5[ ma rozkład dwumianowy z parametrami
n i p, to
5L5[ - 5[5]
lim 5C( < 5e) = Ś(5e)
5["
5[5]5^
Mówimy, że zmienna 5L5[ ma rozkład asymptotycznie normalny z parametrami np i 5[5]5^.
Np.
2 2 2
1. Niech zmienna 55[ ma rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody 5855[ = 5[, 57255[ = 25[
2
z tw. Lindeberga-Levy ego lim 5C(55[-5[ < 5e) = Ś(5e)
25[
5["
2
czyli 55[ ma rozkład asymptotycznie normalny z parametrami n i 25[
Niech 5K1, 5K2, 5K3, & będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o różnych rozkładach,
585K5V = 5Z5V, 5725K5V = 55V2
3 3 3 2 2 2
Oznaczmy przez 5J5V3 = 58( 5K5V - 5Z5V 3), 5J3 = 5J1 + 5J2 + " + 5J5[ , 52 = 51 + 52 + " + 55[
Tw. Lapunowa
Jeżeli 5K1, 5K2, 5K3, & jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o różnych rozkładach oraz
5J
lim = 0 , to
5
5["
5K1 + 5K2 + " + 5K5[ - (5Z1 + 5Z2 + " + 5Z5[)
lim 5C( < 5e) = Ś 5e
5["
5
5J
Jeżeli liczba zmiennych losowych nieograniczenie wzrasta, to przy spełnieniu założenia lim = 0
5
5["
rozkład średniej arytmetycznej tych zmiennych dąży do rozkładu normalnego
Def. Mówimy, że funkcja Z: W C jest zespoloną zmienną losową Z(w) = X(w) + iY(w), gdzie
X,Y są rzeczywistymi zmiennymi losowymi oraz 5V2 = -1.
Def. Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X nazywamy funkcję j: R ! określoną jako
"
5 5a = 58 5R5V5a5K = 5R5V5a5e5Q59(5e)
-"
Uwaga: 5 5a = 58 5P5\5`5a5K + 5V58(5`5V5[5a5K)
Tw. własności funkcji charakterystycznej
1. j jest jednostajnie ciągła
2. j(0) = 1
3. "t R: |j(t)| Ł 1
4. "5a " !: 5 -5a = 5(5a)
Tw.
Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to funkcja charakterystyczna sumy zmiennych X i Y
równa jest iloczynowi funkcji charakterystycznych X i Y
55K+5L = 55K " 55L
Wniosek:
1. Dla zmiennej X typu skokowego P(X = 5e5X) = 5]5X funkcja charakterystyczna 5 5a = 5]5X 5R5V5a5e5X
5X
2. "5N " !: 55N5K 5a = 55K(5N5a)
3. "5N " !: 55K+5N 5a = 5R5V5a5N55K(5a)
Tw.
Istnienie k-tego momentu zmiennej losowej X jest równoważne istnieniu k-tej pochodnej funkcji
charakterystycznej, przy czym
5X
5 (0)
5Z5X = 585K5X =
5V5X
Np. Funkcja charakterystyczna zmiennej X:
1. X ma rozkład zero-jedynkowy 5 5a = 5]5R5V5a + 5^
2. X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p 5 5a = (5]5R5V5a + 5^)5[
5V5a
3. X ma rozkład Poissona z parametrem l 5 5a = 5R5(5R -1)
5R5V5a5O-5R5V5a5N
4. X ma rozkład jednostajny na przedziale *a,b] 5 5a =
5O-5N 5V5a
5
5. X ma rozkład wykładniczy z parametrem l 5 5a =
5-5V5a
5a2
2
6. X ma rozkład normalny standaryzowany N(0,1) 5 5a = 5R-
1
7. X ma rozkład gamma z parametrami a i b 5 5a = (1-5V5ż5a)5
Np.
1. Oblicz momenty rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1).
25[+1
0, 5X = 25[ + 1
5a2 5 0 = 0
(-1)5[5a25[
"
2
5 5a = 5R- Ć 5a = 5Z5X = 25[ !
(-1)5[ 25[ !
5[=0
25[
25[5[!
, 5X = 25[
5 0 =
25[5[!
25[5[!
2. Niech 5K1, 5K2, & , 5K5[ będą niezależnymi zmiennymi o rozkładach N(5Z5V, 55V). Wyznacz rozkład
zmiennej 5L = 5K1 + 5K2 + " + 5K5[
5a2
5K5V-5Z5V
2
jeżeli 5K5V ma rozkład N(5Z5V, 55V) to zmienna 5K5V = ma rozkład N(0,1) 55K5V 5a = 5R-
55V
(55V5a)2
2
czyli 55K5V 5a = 555V5K5V+5Z5V 5a = 5R5V5a5Z5V55K5V 55V5a = 5R5V5a5Z5V5R-
2 2 2
(51 +52 +"+55[)5a2
2
55L 5a = 55K1 5a " 55K2 5a " " " 55K5[ 5a = 5R5V5a(5Z1+5Z2+"+5Z5[)5R-
2 2 2
zmienna Y ma rozkład normalny N(5Z1 + 5Z2 + " + 5Z5[, 51 + 52 + " + 55[)
3. Oblicz funkcję charakterystyczną zmiennej X o gęstości
0, 5e d" -1
1 + 5e, -1 < 5e d" 0
5S 5e =
1 - 5e, 0 < 5e d" 1
0, 5e > 1
" 0 1
5R5V5a5e 5R5V5a5e 0
5 5a = 5R5V5a5e5S(5e)5Q5e = 1 + 5e 5R5V5a5e5Q5e + (1 - 5e)5R5V5a5e5Q5e = [ 1 + 5e - ] +
2
5V5a 5V5a -1
-" -1 0
5R5V5a5e 5R5V5a5e 1 5R-5V5a + 5R5V5a - 2 2(1 - 5P5\5`5a)
+[ 1 - 5e + ] = =
2
5V5a 5V5a 0 -5a2 5a2
Wniosek: Jeżeli j(t) jest funkcją charakterystyczną zmiennej X, to
1 5
1. 5]5X = 5C 5K = 5e5X = 5R-5V5a5e5X5 5a 5Q5a dla zmiennej typu skokowego
-5
25
1 "
2. 5S 5e = 5R-5V5a5e5 5a 5Q5a dla zmiennej typu ciągłego
-"
25


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
IS3 wyklad7
IS3 wyklad9
IS3 wyklad10
IS3 wyklad1
IS3 wyklad5
IS3 wyklad8
IS3 wyklad6
Sieci komputerowe wyklady dr Furtak
Wykład 05 Opadanie i fluidyzacja
WYKŁAD 1 Wprowadzenie do biotechnologii farmaceutycznej
mo3 wykladyJJ
ZARZĄDZANIE WARTOŚCIĄ PRZEDSIĘBIORSTWA Z DNIA 26 MARZEC 2011 WYKŁAD NR 3
Wyklad 2 PNOP 08 9 zaoczne

więcej podobnych podstron