Laboratorium identyfikacji procesów technologicznych
|
Wykonali :
|
Kierunek :
|
Numer wiczenia :
|
Temat : Identyfikacja parametryczna rekurencyjn metod najmniejszych kwadratów.
|
Data wykonania :
|
Data oddania :
|
Ocena :
|
|
Celem wiczenia byo przeprowadzenie procesu identyfikacji parametrycznej danego obiektu dynamicznego rekurencyjn metod najmniejszych kwadratów (RMNK), opierajc si na modelu typu ARX. W tym celu naley wykorzysta odpowiednie funkcje dostpne w bibliotece Identification Toolbox Matlaba.
1. Wstp teoretyczny.
Wiadomoci dotyczce struktury modeli typu ARX oraz ich identyfikacji metod parametryczn, a dokadniej jedn z jej odmian, czyli metod najmniejszych kwadratów - zostay zamieszczone w wiczeniu nr 5.
Rozpatrujemy obiekt SISO. Po wykonaniu eksperymentu pomiarowego otrzymujemy zestaw danych pomiarowych, który przedstawiamy w postaci macierzy :
gdzie N oznacza ilo wykonanych pomiarów.
Na podstawie tych danych dymy do znalezienia modelu badanego ukadu. Zakadamy typ poszukiwanego model jako ARX. Celem identyfikacji jest wic wyznaczenie parametrów równania rónicowego :
Przyjmujemy take struktur modelu poprzez okrelenie wartoci wspóczynników m i n. Moemy zatem utworzy nastpujcy ukad równa :
Stosujc zapis macierzowy powyszego ukadu, otrzymujemy :
przy czym :
; 
; 
Poniewa zazwyczaj ilo pomiarów N >> n+m (w celu zmniejszenia wpywu zakóce), a wic otrzymany ukad równa jest ukadem nadokrelonym. Aby rozwizanie tego ukadu byo moliwe, stosujemy przeksztacenie sprowadzajc go do normalnego ukadu równa, dziki czemu uzyskujemy :
Równanie to jest wynikiem zastosowania MNK. Na jego podstawie funkcja arx oszacowuje parametry modelu. Zakadamy jednak, e po otrzymaniu N wyników pomiarowych, dochodzi jeszcze jeden (nowy) pomiar. Pomiar ten uwzgldniamy w naszym procesie identyfikacji, gdy moe on mie wpyw na wynik procesu. Tak wic okrelamy aktualny wektor parametrów modelu N+1. Wtedy :
; 
przy czym : 
Posugujc si w dalszym cigu `zwyk' MNK, otrzymamy :
Wida wic, e naley ponownie wykona operacji odwracania i mnoenia macierzy, których wymiary w tym przypadku ulegy ju powikszeniu o jeden. Pojawianie si nastpnych pomiarów spowoduje dalsze rozbudowywanie macierzy, w efekcie czego czas potrzebny na przeprowadzenie odpowiednich dziaa matematycznych ulega wydueniu (nawet przy wykorzystaniu nowoczesnych rodków obliczeniowych). Dymy zatem do rozwizania tego problemu w sposób pozwalajcy oszacowa nowe parametry modelu po kadorazowym otrzymaniu kolejnego pomiaru, bez koniecznoci ponownego rozwizywania powyszego skomplikowanego równania macierzowego, czyli :
Taki zapis rozpatrywanego problemu wskazuje na moliwo wykorzystania oblicze dokonanych wczeniej - na podstawie poprzednich pomiarów - oraz wyeliminowania operacji odwracania macierzy. Aby móc skorzysta z tego zapisu naley przeprowadzi nastpujce transformacje :
oznaczmy 
; czyli 
; 
; 
;
std 
aby wydzieli z tego równania macierz PN+1 , naley skorzysta z nastpujcej tosamoci macierzowej algebry :
W wyniku tego uzyskujemy :
oznaczajc : 
mamy :
Poniewa :
std :
skd po przeksztaceniach otrzymamy :
przy czym :
- rzeczywista (zmierzona) warto sygnau wyjciowego w chwili N+1;
- warto sygnau wyjciowego w chwili N+1 oszacowana w oparciu o model;
Równanie to stanowi istot rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów, która reprezentowana jest w pakiecie Matlab poprzez funkcj rarx. Wynika z niego take, e RMNK umoliwia cig aktualizacj parametrów modelu w czasie, kiedy dokonywane s pomiary sygnau wejciowego i wyjciowego obiektu. Oznacza to moliwo stosowania tej metody w celach identyfikacji modeli obiektów których parametry s zmienne w czasie, czyli obiektów niestacjonarnych.
2. Przebieg wiczenia.
2.1. Obiekt I .
2.1.1. Zebranie i przygotowanie danych pomiarowych.
Rys.1 Schemat blokowy badanego obiektu.
Rys.2. Schemat blokowy ukadu pomiarowego.
Zebrane dane umieszczane s w przestrzeni roboczej Matlaba w postaci macierzy z1 o strukturze :
gdzie N=300 - ilo wykonanych pomiarów.
Usuwamy z nich warto redni :
z11 = dtrend(z1)
Funkcja :
plot(z11)
daje nam moliwo zaobserwowania danych pomiarowych w postaci graficznej :
Rys.3.
2.1.2. Przyjcie struktury modelu.
W naszym wiczeniu przyjmujemy struktur modelu ARX, okrelon jako wektor nn=[2 2 1]. Ogólna posta modelu ARX dla zaoonej struktury :
gdzie k = 1..N.
2.1.3. Szacowanie (estymacja) parametrów modelu.
2.1.3.1. Metoda najmniejszych kwadratów (MNK).
W pierwszym kroku tego punktu wiczenia w celu oszacowania parametrów modelu o okrelonej wyej strukturze, zastosujemy `zwyk' metod najmniejszych kwadratów, wywoujc funkcj :
th = arx(z11,nn);
Wynikiem zastosowania tej funkcji jest utworzenie specjalnie skonstruowanej macierzy THETA, z której moemy uzyska potrzebne informacje korzystajc z nastpujcych funkcji :
[num,den] = th2tf(th)
printsys(num,den,'z')
W ten sposób otrzymalimy transmitancj dyskretn :
a pena posta modelu:
2.1.3.2. Rekurencyjna metoda najmniejszych kwadratów (RMNK).
W celu identyfikacji modelu ARX rekurencyjn metod najmniejszych kwadratów wywoujemy funkcj :
thm = rarx(z11,nn,adm,adg)
przy czym :
adm - oznacza mechanizm adaptacji (u nas jest on oparty na wspóczynniku `zapominania', czyli `ff')
adg - oznacza wspóczynnika `zapominania' (w naszym przypadku ``), którego warto okrela w jakim stopniu pomiary wykonane w stosunkowo odlegych chwilach czasu, wpywaj na warto aktualnie szacowanych parametrów modelu, i tak dla `` = 1 wszystkie wykonane pomiary posiadaj jednakowe znaczenie, a wic w tym przypadku polecenie rarx funkcjonuje tak samo jak polecenie arx, natomiast `` < 1 oznacza zmniejszony wpyw `starych' pomiarów na proces identyfikacji. Taka waciwo jest szczególnie cenna kiedy analizowany obiekt jest niestacjonarny.
Wywoujemy wic funkcj rarx dla `` = 1 :
thm = rarx(z11,nn,'ff',1);
Funkcja ta zwraca macierz thm o wymiarach N×4 (poniewa kada kolumna oznacza jeden z parametrów modelu, a w nasz przypadku model posiada cztery parametry : a1, a2, b1, b2). Wygenerowaa ona zatem zestaw parametrów modelu po kadorazowym pojawieniu si nowego pomiaru, korzystajc z oblicze wykonanych dla wczeniejszych pomiarów. Ostatni wiersz otrzymanej macierzy thm zawiera parametry modelu wyznaczone na podstawie N=300 pomiarów i przedstawia si on w sposób nastpujcy :
a1 a2 b1 b2
-1,4105 0,4412 0,0038 0,0184
Aby móc obserwowa rozkad zmiennoci parametrów modelu w zalenoci od liczby dokonywanych pomiarów, wykonujemy funkcj :
plot(thm)
Rys.4.
Podobnie postpujemy dla :
- `` = 0,99, czyli
thm = rarx(z11,nn,'ff',0.99);
Ostatni wiersz otrzymanej macierzy thm :
a1 a2 b1 b2
-1.3493 0.3846 0.0005 0.0242
Wykonujemy funkcj :
plot(thm)
Rys.5.
- `` = 0,95, czyli
thm = rarx(z11,nn,'ff',0.95);
Ostatni wiersz otrzymanej macierzy thm :
a1 a2 b1 b2
-1.3455 0.3881 -0.0110 0.0393
Wykonujemy funkcj :
plot(thm) 
Rys.6.
- `` = 0,93, czyli
thm = rarx(z11,nn,'ff',0.93);
Ostatni wiersz otrzymanej macierzy thm :
a1 a2 b1 b2
-1.3438 0.3854 -0.0132 0.0408
Wykonujemy funkcj :
plot(thm)
Rys.7.
2.2. Obiekt II .
2.2.1. Zebranie i przygotowanie danych pomiarowych.
Rys.8 Schemat blokowy badanego obiektu.
Rys.9. Schemat blokowy ukadu pomiarowego.
Zebrane dane umieszczane s w przestrzeni roboczej Matlaba w postaci macierzy z1 o strukturze :
gdzie N=1000 - ilo wykonanych pomiarów.
Usuwamy z nich warto redni :
z11 = dtrend(z1)
Funkcja :
plot(z11)
daje nam moliwo zaobserwowania danych pomiarowych w postaci graficznej :
Rys.10.
2.2.2. Przyjcie struktury modelu.
Przyjmujemy - podobnie jak wczeniej - struktur modelu ARX, okrelon jako wektor nn=[2 2 1]. Ogólna posta modelu ARX dla zaoonej struktury :
gdzie k = 1..N.
2.2.3. Szacowanie (estymacja) parametrów modelu RMNK.
Wywoujemy wic funkcj rarx (tym razem) dla `` = 0,99 :
thm = rarx(z11,nn,'ff',0.99);
Funkcja ta zwraca macierz thm o wymiarach N×4. Ostatni wiersz otrzymanej macierzy thm zawiera parametry modelu wyznaczone na podstawie N=1000 pomiarów i przedstawia si on w sposób nastpujcy :
a1 a2 b1 b2
-1.6255 0.8089 0.0495 0.1272
Stosujemy funkcj aby otrzyma posta `graficzn' macierzy thm :
plot(thm)
Rys.11.
2.3. Obiekt II .
2.3.1. Zebranie i przygotowanie danych pomiarowych.
Schemat ukadu pomiarowego jest w tym przypadku identyczny jak w poprzednim punkcie (Rys.9.)
Rys.12. Schemat blokowy badanego obiektu.
Zebrane dane umieszczane s w przestrzeni roboczej Matlaba w postaci macierzy z1 o strukturze :
gdzie N=1000 - ilo wykonanych pomiarów.
Usuwamy z nich warto redni :
z11 = dtrend(z1)
Funkcja :
plot(z11)
powoduje :
Rys.13.
2.3.2. Przyjcie struktury modelu.
Przyjmujemy - ponownie - struktur modelu ARX, okrelon jako wektor nn=[2 2 1]. Ogólna posta modelu ARX dla zaoonej struktury :
gdzie k = 1..N.
2.3.3. Szacowanie (estymacja) parametrów modelu RMNK.
Wywoujemy wic funkcj rarx (tym razem) dla `` = 1 :
thm = rarx(z11,nn,'ff',1);
Funkcja ta zwraca macierz thm o wymiarach N×4. Ostatni wiersz otrzymanej macierzy thm zawiera parametry modelu wyznaczone na podstawie N=1000 pomiarów i przedstawia si on w sposób nastpujcy :
a1 a2 b1 b2
-1.6143 0.8169 0.0582 0.1331
Stosujemy funkcj aby otrzyma posta `graficzn' macierzy thm :
plot(thm)
Rys.14.
3. Tre m-pliku.
z11 = dtrend(z1);
nn = [2 2 1];
th = arx(z11,nn);
[num,den] = th2tf(th);
printsys(num,den,'z')
%thm = rarx(z11,nn,'ff',1)
%thm = rarx(z11,nn,'ff',0.99)
%thm = rarx(z11,nn,'ff',0.95)
thm = rarx(z11,nn,'ff',0.93)
plot(thm)
4. Uwagi i wnioski.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
6 własności estymatora parametrów klasycznego modelu liniowego uzyskanego metodą najmniejszych kwadr
Identyfikacja Procesów Technologicznych, Identyfikacja charakterystyki statycznej obiektu dynamiczne
3 ćwiczenia szacowanie parametrów modeli liniowych klasyczną metodą najmniejszych kwadratów
metoda najmniejszych kwadratów wzory
Spawanie to jeden z najbardziej znanych i rozpowszechnionych procesów technologicznych, Mechanika, S
Nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów, Ekonometria
METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRA, Inne
SPRAWKO Metoda Najmniejszych Kwadratów- SVD, Automatyka i robotyka air pwr, VI SEMESTR, Metody numer
Metoda najmniejszych kwadratów
16 opracowanie rzutowanie metoda najmniejszych kwadratow
klasyczna metoda najmniejszych kwadratów, statystyka
Podstawy Metrologii metoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów
Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów
metoda najmniejszych kwadratów
więcej podobnych podstron