Opracowanie tematów teoretycznych z Mechaniki I

Każdy układ sił ma dwa niezmienniki (wielkości niezależne od położenia środka redukcji), którymi są: wektor główny oraz rzut momentu głównego na kierunek wektora głównego

1. Reguły Pappusa-Guldina

I twierdzenie Pappusa-Guldina - powierzchnia zakreślona przez obrót odcinka linii płaskiej około osi leżącej na płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej równa jest iloczynowi długości jej przez drogę, jaką opisuje przy obrocie środek masy tej linii
gdzie x_C - odległość środka masy linii od osi Oy

II twierdzenie Pappusa-Guldina - objętość bryły zatoczonej przez obrót figury płaskiej dookoła osi leżącej na płaszczyźnie figury i nie przecinającej go, równa się iloczynowi powierzchni figury przez długość drogi, jaką opisuje środek masy figury

2. Podać określenie skrętnika i osi centralnej

Skrętnik - jest to płaszczyzna zawierająca parę sił, która jest prostopadła (płaszczyzna z parą sił) do siły równej wektorowi głównemu R. Linia działania siły R wchodzącej w skład skrętnika nazywa się osią centralną.

3. Metody wyznaczania sił w prętach kratownic płaskich.

Najprostszą kratownicą sztywną jest kratownica trójkątna, w której znajdują się trzy pręty i trzy węzły. Dowolną kratownicę sztywną możemy otrzymać z trójkątnej, dołączając do istniejących węzłów nowe prętu w ten sposób, że każde dwa nowe pręty tworzą jeden nowy węzeł.

Jeżeli chcemy z „n” prętów utworzyć kratownicę sztywną, to będzie ona miała „w=1/2(n+3)” węzłów. Związek ten jest warunkiem koniecznym sztywności kratownicy. Kratownica sztywna jest jednocześnie kratownicą statycznie wyznaczalną.

Metody wyznaczania sił w prętach kratownicy to:

• metoda wykreślna, która polega na wykreślaniu wieloboków sił z każdego wierzchołka. Można to zrobić osobno dla poszczególnych wierzchołków jak i dla wszystkich jednocześnie. Wykreślenie wszystkich sił jednocześnie nazywa się planem Cremony.

• metoda Rittera - stosowana tylko wtedy gdy w kratownicy da się poprowadzić taki przekrój, aby przeciąć tylko 3 pręty nie schodzące się w jednym węźle.

• Wykreślny sposób Culmana.

4. Statyczna niewyznaczalność kratownic płaskich

Jeżeli liczba prętów w kratownicy będzie większa od tej, która wynika z warunków sztywności to taką kratownicę nazywać będziemy przesztywnioną, ponieważ gdy usuniemy jeden z jej prętów pozostanie ona nadal układem niezmiennym. Kratownice tego rodzaju są układami statycznie niewyznaczalnymi, jeżeli idzie o wyznaczenie sił wewnętrznych w ich prętach.

5. Zjawiska związane z występowaniem tarcia w układach mechanicznych.

Tarcie zwiększa na ogół możliwość utrzymania ciała w równowadze. Zwiększa liczbę możliwych położeń równowagi.

Jeśli uwzględnimy tarcie to będziemy mieli do czynienia już nie z nierównościami a z układami równań co prowadzi do łatwiejszego rozwiązania zadań. Podobnie jak z tarciem poślizgowym „F_T=μN=Ntgϕ” przedstawia się również sprawa z oporem tocznym. Do układu równań dodajemy nierówność M_T≤fN, względnie w przypadku granicznym równość M_T=fN

Jeśli w układzie występuje tarcie to układ będzie poruszał się ruchem jednostajnie opóźnionym.

6. Prawo zmienności energii punktu materialnego

Energia kinetyczna właściwa jest każdemu stanowi mechanicznemu punktu i zależy od jego prędkości. Punkt materialny, który w danej chwili ma pewną prędkość, ma też pewną określoną energię kinetyczną. Zmianie prędkości towarzyszy zmiana energii kinetycznej. Jeżeli prędkość punktu nie zmienia się, to i energia kinetyczna tego punktu jest stała.

Przyrost energii kinetycznej poruszającego się punktu równy jest pracy siły działającej na ten punkt na drodze jaką ten punkt przebył. E_kB-E_kA=L_AB

Praca siły pola potencjalnego wykonana przy przemieszczeniu punktu materialnego z jednego położenia w inne, równa jest różnicy potencjałów w punkcie początkowym i końcowym i nie zależy od toru, po którym przemieszcza się punkt przyłożenia siły L_AB=V_A-V_B

7. Zadanie tekstowe

8. Redukcja płaskiego układu sił metodą wieloboku sznurowego

Bierzemy dowolny płaski układ sił, który nie jest równoważny zeru. Zamykająca tego wieloboku jest sumą sił „S”. Przedstawia ona wypadkową jako wektor, nie określa natomiast położenia wypadkowej. Obieramy dowolny punkt „O” na płaszczyźnie wieloboku sił. Łączymy początki i końce wektorów sił z biegunem „O”, są to promienie. Następnie, zaczynając z dowolnego pkt., kreślimy równoległą do odcinka OA aż do przecięcia się z pierwszą siłą F1, z pkt. przecięcia się tych prostych kreślimy równoległą do następnego promienia OB. Do przecięcia się z drugą siłą itd. Powstała w ten sposób figura jest wielobokiem sznurowym.

9. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił.

Sprowadza się ona do tego iż zastępujemy dany układ wektorów, równoważnym układem prostszym. Warunkiem równoważności jest, aby wektor główny i moment główny porównywanych układów były jednakowe. Toteż redukcję przeprowadzamy w ten sposób, że obieramy dowolny biegun i wyznaczamy wektor główny i moment główny układu. Z danym układem porównujemy układ złożony z dwóch najprostszych układów podstawowych: jednego wektora i pary wektorów. Układ ten jest równoważny danemu, jeżeli wspomniany wektor jest równy wektorowi głównemu układu, a moment pary wektorów jest równy momentowi głównemu układu. Tak więc każdy układ wektorów może być zastąpiony przez trzy wektory S, a -a. Redukcja może być przeprowadzona na nie skończenie wiele sposobów, zależnie od obioru bieguna redukcji. Jeżeli za biegun redukcji obierzemy punkt osi centralnej, to w wyniku redukcji układ zastąpiony zostaje skrętnikiem.

10. Prędkość i przyspieszenie punktu we współrzędnych biegunowych

Zakładamy iż pkt. A porusza się w płaszczyźnie O_XY i że jego położenie określamy, za pomocą współrzędnych biegunowych „r” i „ϕ”. Prędkość „v” tego punktu rozłożymy na dwie składowe „v_r” i „v_ϕ”. Pierwsza z tych składowych skierowana jest wzdłuż promienia „r”, a druga w kierunku prostopadłym do tego promienia, w stronę odpowiadającą wzrostowi kąta „ϕ”. Tak więc:
. Natomiast przyspieszenie wyraża się jako:

11. Równania ruchu punktu w naturalnym układzie współrzędnych.

Równanie ruchu po torze

Prędkość pkt. jest pochodną wektora promienia wodzącego względem czasu

Przyspieszenie pkt. jest pochodną wektora prędkości punktu i drugą pochodną wektora promienia wodzącego względem czasu.

12. Tarcie opasania

Jest to tarcie występujące w czasie opasania bębna przez cięgno. Kąt opasania jest to kąt odpowiadający łukowi, wzdłuż którego cięgno przylega do bębna. Tarcie to zmienia stosunek między siłami przyłożonymi do obu końców cięgna. Stosunek siły przyłożonej do cięgna i ciężaru zawieszonego na drugim jej końcu wyraża się wzorem: Q/P=e^μϕ gdzie ϕ - kąt opasania, μ - współczynnik tarcia.

13. Prawo zmienności krętu punktu materialnego względem punktu ruchomego.

Rozważamy punkt materialny o masie m, który porusza się z prędkością równą „v”. Kręt K_O równy jest iloczynowi wektorowemu promienia-wektora r poprowadzonego z bieguna O do rozpatrywanego punktu materialnego i pędu mv. Zgodnie z tym otrzymujemy: K_O=r x mv. Momentem pędu lub krętem względem osi nazwiemy moment rzutu pędu mv na dowolną płaszczyznę prostopadłą do osi względem punktu O, w którym oś ta przebija wspomnianą wyżej płaszczyznę.

Gdy moment względem pewnego nieruchomego bieguna wypadkowej sił działających na punkt materialny jest równy zeru, wówczas kręt punktu materialnego wyznaczony względem tegoż bieguna jest stały.

14. Równania ruchu punktu są: x(t)=cost, y(t)=sint, z(t)=2t. Jaki jest promień krzywizny toru?

Promień krzywizny toru wyznaczamy ze wzoru na przyspieszenie normalne. W tym celu należy najpierw wyznaczyć prędkość punktu, przyspieszenie styczne i przyspieszenie całkowite. Ponieważ prędkość jest stała, więc przyspieszenie styczne jest równe zeru, zaś przyspieszenie całkowite równe jest przyspieszeniu normalnemu. Przyspieszenie to jest stałe. Tor punktu ma więc stałą krzywiznę.

15. Zjawisko zakleszczenia. Opisać i podać przykłady.

16. Prawo zmienności energii w potencjalnym polu sił.

Pracę jaką siły pola wykonują przy przemieszczeniu się punktu materialnego z dowolnego położenia do pewnego obranego położenia zerowego nazywamy energią potencjalną.

Zakładamy iż pkt. materialny przemieści się w polu potencjalnym z położenia A do położenia B. Na pkt. ten działa tylko siła pola potencjalnego. Praca siły równa jest: L_AB=E_pA-E_pB. Na podstawie prawa zmienności energii kinetycznej możemy napisać: L_AB=E_kB-E_kA. Po przyrównaniu stronami otrzymujemy warunek: E=E_k+E_p=const, oznacza to iż sumę energii kinetycznej i potencjalnej punktu materialnego nazywamy energią mechaniczną pkt. i oznaczamy jako E. Jest to zapis matematyczny prawa zachowania energii mechanicznej. Energia mechaniczna punktu poruszającego się w polu potencjalnym ma wartość stałą.

17. Co to jest elipsoida bezwładności ciała w punkcie. Wyprowadzić równanie.

Elipsoida, będąca miejscem geometrycznym końców odcinków odwrotnie proporcjonalnych do ramion bezwładności ciała względem prostych przechodzących przez dany punkt ciała „O”, nazywamy elipsoidą bezwładności ciała dla punktu „O”. Wyprowadzenie wzoru: książka do mechaniki Osińskiego str. 324 „Mechanika Ogólna cz2” Jerzy Lejko str. 170

18. Sformułować i udowodnić twierdzenie Steinera dla momentów bezwładności.

Moment bezwładności ciała materialnego względem dowolnej osi równy jest sumie momentu bezwładności względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między tymi osiami. Np. I_Z1=I_Z+md² I_Z=∫x²dm dm=(m/l)dx

Wyprowadzenie wzoru „Mechanika Ogólna” Jerzy Leyko str. 161

19. Sformułować i udowodnić twierdzenie Steinera dla momentów dewiacji.

Momentem odśrodkowym (dewiacji, zboczenia) ciała względem dwóch prostokątnych płaszczyzn nazywamy granicę sumy iloczynów mas elementów ciała przez odległości tego elementu od danych płaszczyzn.

20. Podać warunek, przy którym układ sił redukuje się do wypadkowej.

Gdy na ciało sztywne działają dwie siły lub układ sił o nierównoległych i leżących w jednej płaszczyźnie liniach działania, siły te możemy przesunąć do punktu przecięcia się tych linii i zastąpić wypadkową w myśl prawa równoległoboku. Sposób ten zawodzi, gdy linie działania sił są do siebie równoległe.

21. zdefiniować potencjał i energię potencjalną pola sił

Przestrzeń w której na każdy znajdujący się w niej punkt materialny działa siła nazywa się polem sił. Potencjał pola jest to funkcja odwrotna do funkcji sił. Zarówno funkcja sił jak i potencjał są określone z dokładnością do stałej.

22. Ruch punktu pod wpływem siły zależnej od położenia, prędkości i czasu

Ruch pod działaniem siły zależnej od czasu: x=∫[∫(1/m)F(t)dt]dt+V_OXt+X_O

Ruch pod działaniem siły zależnej od prędkości t=∫dx/(±√((2/m)/∫F(x)dx+C₁))+C₂

23. podać definicję centroid - stałej i ruchomej.

Miejscem geometrycznym kolejnych położeń środków chwilowych bryły poruszającej się ruchem płaskim na płaszczyźnie nieruchomej jest krzywa płaska, którą nazywamy stałą linią środków chwilowych lub centroidą stałą.

Miejscem geometrycznym kolejnych położeń środków chwilowych na płaszczyźnie ruchomej, poruszającej się wraz z bryłą, jest krzywa płaska zwana ruchomą linią środków chwilowych lub centroidą ruchomą.

W każdej chwili centroidy mają jeden pkt. wspólny, ten pkt. jest w danej chwili chwilowym środkiem obrotu bryły.

24. Aksoidy bryły w ruchu płaskim

Środkom obrotów chwilowych figury płaskiej odpowiadają osie obrotów chwilowych bryły, które są prostopadłe do ruchomej figury płaskiej. Osie te w układzie ruchomym utworzą powierzchnię walcową, którą nazywamy aksoidą ruchomą. Podobnie proste prostopadłe do płaszczyzny kierującej (nieruchomej) utworzą w przestrzeni nieruchomej również powierzchnię walcową, zwaną aksoidą stałą. W każdej chwili jedna z tworzących aksoidy ruchomej układu sztywnego, poruszającego się ruchem płaskim, pokrywa się z odpowiednią tworzącą aksoidy stałej. W ruchu płaskim układu sztywnego aksoida ruchoma toczy się bez poślizgu po aksoidzie stałej.

25. Koło o promieniu „r” toczy się bez poślizgu po poziomym torze. Określić centroidę.

Centroida stała w ruchu okręgu bez poślizgu po poziomym torze to oś pozioma („x”), natomiast centroida ruchoma jest to zewnętrzna tworząca okręgu.

26. Centroidy koła toczącego się z poślizgiem

Ruch względny dwóch krzywych, mających wspólny pkt. może być toczeniem się po sobie, ślizganiem się po sobie, lub toczeniem się po sobie z poślizgiem. Krzywa α toczy się z poślizgiem po krzywej β, jeżeli ruch układu związanego z nią jest w danej chwili złożony z ruchu obrotowego wokół punktu styczności i ruchu postępowego z prędkością punktu styczności V_P.

27. Przy jakich warunkach środki: geometryczny, masy i ciężkości bryły pokrywają się.

Środki mas figur, mających środek symetrii będący jednocześnie środkiem geometrycznym tych figur, leżą właśnie w tym środku. Do figur takich należą: odcinek linii prostej, obwody i powierzchnie kwadratu, równoległoboku, rombu, wieloboku foremnego, kuli, elipsoidy.

28. Warunek statycznej wyznaczalności kratownic płaskich

Aby kratownica była statycznie wyznaczalna, to musi mieć (2*ilość węzłów-3) prętów.

29. Metoda Cremony wyznaczania sił w kratownicach płaskich.

Cech charakterystyczne:

• każdemu prętowi kratownicy odpowiada w planie sił Cremony równoległy odcinek, określający wartość napięcia w odpowiednim pręcie.

• Dla każdego węzła kratownicy w planie sił Cremony odpowiednikiem jest wielobok, którego boki są równoległe do sił schodzących się w tym węźle.

• Każdemu wierzchołkowi wieloboku sił odpowiada na rysunku kratownicy pewna część płaszczyzny ograniczona siłami schodzącymi się w tym wierzchołku.

Budujemy wielobok, w którym przenosimy z rysunku właściwego długości prętów łączących odpowiednie wierzchołki ze sobą. Następnie mierzymy interesujące nas boki i przyrównujemy do np. zadanej siły.

30. Metoda Rittera wyznaczania sił w kratownicach płaskich.

Metoda ta pozwala na bezpośrednie określenie napięcia w dowolnym pręcie kratownicy, niezależnie od obciążenia pozostałej części. Jeśli kratownica daje się przeciąć przez trzy pręty nie wychodzące z jednego węzła tak, aby rozpadła się na dwie części. Wyłączamy z naszych rozważań jedną z odciętych części. Aby pozostała część została w równowadze, musimy zastąpić oddziaływanie strony wyciętej odpowiednimi siłami. Będą to napięcia występujące w przeciętych prętach i będą siłami zewnętrznymi. Tworzą one wraz z reakcjami podpory i siłą działającą układ równoważny. Suma ich momentów względem dowolnego punktu musi być równa zeru. Punkt przecięcia się dwóch przeciętych prętów przyjmujemy za biegun, względem którego będziemy obliczać sumę momentów wymienionych sił. Punkty względem których liczymy momenty sił, często nazywają się punktami Rittera.

31. Metoda Culmana wyznaczania sił w kratownicach płaskich.

Sposób Culmana polega na wykreślaniu sił zastępczych po odcięciu części kratownicy. Siły działające na jedną część powinny przeciąć się w jednym pkt. budując na tych siłach wielobok otrzymujemy długości sił nieznanych, które po pomierzeniu i przyrównaniu do znanej siły dadzą nam miary sił w prętach przeciętych.

32. Co to jest stożek tarcia? Jak wygląda dla powierzchni anizotropowych?

Jest to stożek powstały z obrotu wektora R wokół prostej działania reakcji normalnej N, którego tworząca zawiera z osią kąt ϕ. Dla powierzchni anizotropowych stożek ten nie jest stożkiem kołowym. W przypadku równowagi ciał chropowatych, reakcja całkowita R jednego ciała na drugie musi leżeć wewnątrz stożka tarcia, a w przypadku tarcia całkowicie rozwiniętego - na powierzchni stożka tarcia.

33. Co rozumiemy pod pojęciem ciała kulistego?

Ciało kuliste jest to ciało którego środek jest równooddalony od każdego punktu znajdującego się na obwodzie.

34. Co to jest promień bezwładności ciała? Ile wynosi on dla kuli o promieniu r względem średnicy?

Jest to stosunek momentu bezwładności danego ciała względem osi lub płaszczyzny i masy tegoż ciała k=I/m.

Znając moment bezwładności kuli względem jej środka, możemy obliczyć moment bezwładności kuli względem płaszczyzny przechodzącej przez jej środek. Moment bezwładności względem środka kuli wyraża się wzorem: I_C=(4/5)μπr⁵=(m3r²)/5. Natomiast moment bezwładności względem średnicy wyraża się wzorem I_X=(2/3)I_C

35. Co to jest macierz bezwładności ciała w punkcie? Podać jej dowolną postać dla sześcianu o masie m i krawędzi a.

36. Kierunki główne i główne momenty bezwładności bryły w punkcie.

37. wyznaczyć moment dewiacji jednorodnego prostokąta o bokach a i b w układzie współrzędnych, którego osie pokrywają się z bokami prostokąta.

Momentem odśrodkowym (dewiacji, zboczenia) ciała względem dwóch prostokątnych płaszczyzn nazywamy granicę sumy iloczynów mas elementów ciała przez odległości tego elementu od danych płaszczyzn.

38. Podać aksjomaty mechaniki klasycznej.

Aksjomaty mechaniki klasycznej to trzy prawa Newtona:

I prawo - punkt materialny, na który nie działa żadna siła lub działają siły równoważące się, pozostaje w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym.

II prawo - przyspieszenie punktu materialnego ma wartość proporcjonalną do wartości siły działającej na ten punkt i ma kierunek tej siły.

III prawo - siły, które wywierają na siebie dwa punkty materialne są równe co do wartości, są skierowane wzdłuż prostej łączącej te punkty oraz zwrócone przeciwnie.

39. Prawo zmienności pędu punktu materialnego i jego zastosowanie.

Iloczyn wektora prędkości i masy nazywamy pędem punktu materialnego. B=mv. Prawo pędu w postaci różniczkowej
może służyć do układania różniczkowych równań ruchu na równi z drugim prawem Newtona. W przypadku siły stałej prawo pędu pozwala na szybkie rozwiązanie szczególnych zadań dynamiki bez konieczności pełnego rozwiązywania równań ruchu.

40. Porównać składowe prędkości i przyspieszenia punktu w układach: biegunowym i naturalnym.

Zakładamy iż pkt. A porusza się w płaszczyźnie O_XY i że jego położenie określamy, za pomocą współrzędnych biegunowych „r” i „ϕ”. Prędkość „v” tego punktu rozłożymy na dwie składowe „v_r” i „v_ϕ”. Pierwsza z tych składowych skierowana jest wzdłuż promienia „r”, a druga w kierunku prostopadłym do tego promienia, w stronę odpowiadającą wzrostowi kąta „ϕ”. Tak więc:
. Natomiast przyspieszenie wyraża się jako:

Przyspieszenie punktu we w układzie naturalnym możemy rozłożyć na dwie składowe: styczną do toru oraz skierowaną wzdłuż normalnej (promienia) do środka. Przyspieszenie normalne liczymy: p_N=v²/r - gdzie r - promień krzywizny, przyspieszenie styczne wyraża się jako:
. Znając dwie składowe można określić wartość przyspieszenia: p=√(p_T²+p_N²), oraz kąt jaki tworzy ono z torem: tgα=p_N/p_T

Ruch obrotowy

prędkość w ruchu obrotowym

41. Kula o promieniu „r” toczy się bez poślizgu wewnątrz cylindrycznego naczynia o promieniu „3r” stykając się z powierzchnią boczną naczynia i jego dnem. Pokazać aksoidy kuli.

Powierzchnia boczna i dno cylindra tworzą aksoidy stałe, natomiast zewnętrzny obwód kuli tworzy aksoidę ruchomą.

42. Co to są kąty Eulera

Dla ułatwienia opisu ruchu ciała sztywnego przyjmujemy współrzędne kątowe zwane kątami Eulera. Kąty te są następujące:

• kąt obrotu właściwego ϕ - utworzony przez linię węzłów γ i oś ξ liczony od γ do ξ. Obrót określony tym kątem odbywa się wokół osi ξ i nazywa się obrotem właściwym, a oś ta osią obrotu właściwego.

• kąt precesji - ψ - utworzony przez oś X i linię węzłów γ liczony od X do γ. Obrót określony tym kątem odbywa się wokół osi Z i nazywany jest precesją, a oś ta nazywana jest osią precesji.

• kąt nutacji - υ - utworzony przez osie Z i ζ liczony od Z do ζ. Obrót określony tym kątem odbywa się wokół osi γ i nazywa się nutacją, a oś ta nazywa się osią nutacji.

43. Określić aksoidę stałą i ruchomą stożka toczącego się z poślizgiem po płaszczyźnie tak, że wierzchołek pozostaje nieruchomy, a prędkość precesji (wektor skierowany w od środka O pokrywa się z osią OZ) i obrotu własnego(wektor skierowany od środka O pokrywający się z osią oddaloną od osi OZ o kąt nutacji) wynoszą odpowiednio ω1 i ω2.

44. Wyznaczyć przyspieszenie kątowe z zad 43

Dla tego stożka przyspieszenie kątowe będzie równe: ε=ω1 x ω2

45. Podać interpretację geometryczną składowych przyspieszenia w ruchu kulistym.

46. Stożek toczący się z poślizgiem po płaszczyźnie z wierzchołkiem w pkt. O ma prędkość precesji (wektor skierowany od środka O pokrywa się z osią OZ) i obrotu własnego(wektor skierowany od środka O pokrywający się z osią oddaloną od osi OZ o kąt nutacji) wyn. odpowiednio ω1 i ω2. Ma przyspieszenie kątowe precesji ε1. Jaki jest kierunek wektora przyspieszenia kątowego stożka?

Ponieważ jako początek wektora ε przyjmujemy środek ruchu kulistego O, dlatego wektor ten jako prostopadły do ω1 i ω2 jest skierowany na płaszczyźnie „xy”

47. Zdefiniować ruchy bryły: płaski, kulisty, postępowy, śrubowy.

Ruch płaski jest to taki ruch bryły, w którym odległości wszystkich punktów ciała od pewnej nieruchomej płaszczyzny są stale jednakowe. Wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do danej płaszczyzny nieruchomej.

Ruch kulisty jest to taki ruch bryły, przy którym jeden z punktów układu ruchomego związanego z bryłą jest nieruchomy. Punkt ten nazywamy środkiem ruchu kulistego.

Ruch śrubowy jest to ruch przy którym obraca się ona wokół nieruchomej prostej i jednocześnie przemieszcza postępowo wzdłuż tej prostej.

Ruch postępowy jest to ruch w którym dowolna prosta należąca do tego ciała pozostaje stale równoległa do swego położenia, które zajmowała w pewnej dowolnie obranej chwili, np. w chwili początkowej.

48. Prędkość i przyspieszenie bryły w ruchu śrubowym.

Stosunek prędkości postępowej do prędkości kątowej nazywamy parametrem ruchu śrubowego λ=u/ω=ds/dϕ

Skok ruchu śrubowego jest to przemieszczenie bryły w czasie pełnego obrotu h=2πλ

Prędkość w ruchu śrubowym wyraża się wzorem v=√(u²+r²ω²)

Rzuty prędkości wszystkich punktów bryły poruszającej się ruchem śrubowym na oś ruchu śrubowego są sobie równe.

49. Określenie precesji regularnej. Przykłady

Jest to szczególny przypadek ruchu kulistego ciała sztywnego, który charakteryzuje się tym, że kąt nutacji jest stały, a prędkość kątowa obrotu własnego i prędkość kątowa precesji mają stałe wartości.

Zgodnie z tym:
ponieważ
dlatego prędkość kątowa nutacji jest równa zeru i chwilowa prędkość kątowa ciała ω równa jest sumie geometrycznej prędkości kątowej obrotu własnego i prędkości kątowej precesji, czyli ω=ω1+ω2

50. Koło toczy się po płaszczyźnie ze stałą prędkością środka geometrycznego „v” i stałą prędkością kątową ω. Jakie jest przyspieszenie środka prędkości?

Dynamika punktu materialnego: ς - promień krzywizny toru w danym pkt.

równanie ruchu pkt. Materialnego nieswobodnego

przyrost pędu pkt. materialnego równy jest elementarnemu impulsowi siły działającej na ten pkt.

w przypadku, gdy na pkt. materialny nie działa żadna siła, pęd jego zachowuje wartość stałą.

Pracą siły F na przesunięciu elementarnym dr lub inaczej pracą elementarną siły F będziemy nazywać iloczyn skalarowy wektora siły i wektora dr.

Prawo zmienności energii kinetycznej
przyrost energii kinetycznej poruszającego się pkt. równy jest pracy siły działającej na ten pkt. na drodze jaką ten pkt. przebył.

Elipsoida bezwładności równanie:

Gdzie I_X, I_Y, I_Z - momenty bezwładności względem poszczególnych osi, I_XY, I_YZ, I_ZX - momenty odśrodkowe względem poszczególnych płaszczyzn

Jeżeli ciało ma oś symetrii, to moment odśrodkowy względem płaszczyzny przechodzącej przez oś symetrii i płaszczyzny do niej prostopadłej, jest równy zeru.

Momenty bezwładności niektórych figur względem osi x, y, z (śrdek układu w środku figury:

Prostopadłościan o masie m i bokach a,b,c - I_X=(m/12)(b²+c²), I_Y=(m/12)(a²+c²), I_Z=(m/12)(a²+b²)

Walec kołowy o promieniu R i wysokości H - I_Z=(mR²)/2, I_X=I_Y=m(R²/2+H²/12)

Cienka tarcza kołowa o promieniu R (grubośc b. mała) - I_Z=(mR²)/2, I_X=I_Y=(mR²)/4

Kula o promieniu R - I_X=I_Y=I_Z=(2mR²)/5

Zjawiska związane z występowaniem tarcia w układach mechanicznych. Tarcie zwiększa na ogół możliwość utrzymania ciała w równowadze. Zwiększa liczbę możliwych położeń równowagi. Jeśli uwzględnimy tarcie to będziemy mieli do czynienia już nie z nierównościami a z układami równań, co prowadzi do łatwiejszego rozwiązania zadań. Podobnie jak z tarciem poślizgowym „FT=μN=Ntgϕ” przedstawia się również sprawa z oporem tocznym. Do układu równań dodajemy nierówność MT≤fN, względnie w przypadku granicznym równość MT=fN Jeśli w układzie występuje tarcie to układ będzie poruszał się ruchem jednostajnie opóźnionym. Tarcie opasania Jest to tarcie występujące w czasie opasania bębna przez cięgno. Kąt opasania jest to kąt odpowiadający łukowi, wzdłuż którego cięgno przylega do bębna. Tarcie to zmienia stosunek między siłami przyłożonymi do obu końców cięgna. Stosunek siły przyłożonej do cięgna i ciężaru zawieszonego na drugim jej końcu wyraża się wzorem: Q/P=e^μ^ϕ gdzie ϕ - kąt opasania, μ - współczynnik tarcia. Co to jest stożek tarcia? Jak wygląda dla powierzchni anizotropowych? Jest to stożek powstały z obrotu wektora R wokół prostej działania reakcji normalnej N, którego tworząca zawiera z osią kąt ϕ. Dla powierzchni anizotropowych stożek ten nie jest stożkiem kołowym. W przypadku równowagi ciał chropowatych, reakcja całkowita R jednego ciała na drugie musi leżeć wewnątrz stożka tarcia, a w przypadku tarcia całkowicie rozwiniętego - na powierzchni stożka tarcia. Określenie precesji regularnej. Przykłady Jest to szczególny przypadek ruchu kulistego ciała sztywnego, który charakteryzuje się tym, że kąt nutacji jest stały, a prędkość kątowa obrotu własnego i prędkość kątowa precesji mają stałe wartości. Zgodnie z tym: ponieważ dlatego prędkość kątowa nutacji jest równa zeru i chwilowa prędkość kątowa ciała ω równa jest sumie geometrycznej prędkości kątowej obrotu własnego i prędkości kątowej precesji, czyli ω=ω1+ω2 Równania ruchu punktu są: x(t)=cost, y(t)=sint, z(t)=2t. Jaki jest promień krzywizny toru? Promień krzywizny toru wyznaczamy ze wzoru na przyspieszenie normalne. W tym celu należy najpierw wyznaczyć prędkość punktu, przyspieszenie styczne i przyspieszenie całkowite. Ponieważ prędkość jest stała, więc przyspieszenie styczne jest równe zeru, zaś przyspieszenie całkowite równe jest przyspieszeniu normalnemu. Przyspieszenie to jest stałe. Tor punktu ma więc stałą krzywiznę.	podać definicję centroid - stałej i ruchomej. Miejscem geometrycznym kolejnych położeń środków chwilowych bryły poruszającej się ruchem płaskim na płaszczyźnie nieruchomej jest krzywa płaska, którą nazywamy stałą linią środków chwilowych lub centroidą stałą. Miejscem geometrycznym kolejnych położeń środków chwilowych na płaszczyźnie ruchomej, poruszającej się wraz z bryłą, jest krzywa płaska zwana ruchomą linią środków chwilowych lub centroidą ruchomą. W każdej chwili centroidy mają jeden pkt. wspólny, ten pkt. jest w danej chwili chwilowym środkiem obrotu bryły. Aksoidy bryły w ruchu płaskim Środkom obrotów chwilowych figury płaskiej odpowiadają osie obrotów chwilowych bryły, które są prostopadłe do ruchomej figury płaskiej. Osie te w układzie ruchomym utworzą powierzchnię walcową, którą nazywamy aksoidą ruchomą. Podobnie proste prostopadłe do płaszczyzny kierującej (nieruchomej) utworzą w przestrzeni nieruchomej również powierzchnię walcową, zwaną aksoidą stałą. W każdej chwili jedna z tworzących aksoidy ruchomej układu sztywnego, poruszającego się ruchem płaskim, pokrywa się z odpowiednią tworzącą aksoidy stałej. W ruchu płaskim układu sztywnego aksoida ruchoma toczy się bez poślizgu po aksoidzie stałej. Koło o promieniu „r” toczy się bez poślizgu po poziomym torze. Określić centroidę. Centroida stała w ruchu okręgu bez poślizgu po poziomym torze to oś pozioma („x”), natomiast centroida ruchoma jest to zewnętrzna tworząca okręgu. Centroidy koła toczącego się z poślizgiem Ruch względny dwóch krzywych, mających wspólny pkt. może być toczeniem się po sobie, ślizganiem się po sobie, lub toczeniem się po sobie z poślizgiem. Krzywa α toczy się z poślizgiem po krzywej β, jeżeli ruch układu związanego z nią jest w danej chwili złożony z ruchu obrotowego wokół punktu styczności i ruchu postępowego z prędkością punktu styczności VP. Kula o promieniu „r” toczy się bez poślizgu wewnątrz cylindrycznego naczynia o promieniu „3r” stykając się z powierzchnią boczną naczynia i jego dnem. Pokazać aksoidy kuli. Powierzchnia boczna i dno cylindra tworzą aksoidy stałe, natomiast zewnętrzny obwód kuli tworzy aksoidę ruchomą. Stożek toczący się z poślizgiem po płaszczyźnie z wierzchołkiem w pkt. O ma prędkość precesji (wektor skierowany od środka O pokrywa się z osią OZ) i obrotu własnego(wektor skierowany od środka O pokrywający się z osią oddaloną od osi OZ o kąt nutacji) wyn. odpowiednio ω1 i ω2. Ma przyspieszenie kątowe precesji ε1. Jaki jest kierunek wektora przyspieszenia kątowego stożka? Ponieważ jako początek wektora ε przyjmujemy środek ruchu kulistego O, dlatego wektor ten jako prostopadły do ω1 i ω2 jest skierowany na płaszczyźnie „xy”	Prędkość i przyspieszenie punktu we współrzędnych biegunowych Zakładamy iż pkt. A porusza się w płaszczyźnie OXY i że jego położenie określamy, za pomocą współrzędnych biegunowych „r” i „ϕ”. Prędkość „v” tego punktu rozłożymy na dwie składowe „vr” i „vϕ”. Pierwsza z tych składowych skierowana jest wzdłuż promienia „r”, a druga w kierunku prostopadłym do tego promienia, w stronę odpowiadającą wzrostowi kąta „ϕ”. Tak więc: . Natomiast przyspieszenie wyraża się jako: Porównać składowe prędkości i przyspieszenia punktu w układach: biegunowym i naturalnym. Zakładamy iż pkt. A porusza się w płaszczyźnie OXY i że jego położenie określamy, za pomocą współrzędnych biegunowych „r” i „ϕ”. Prędkość „v” tego punktu rozłożymy na dwie składowe „vr” i „vϕ”. Pierwsza z tych składowych skierowana jest wzdłuż promienia „r”, a druga w kierunku prostopadłym do tego promienia, w stronę odpowiadającą wzrostowi kąta „ϕ”. Tak więc: . Natomiast przyspieszenie wyraża się jako: Przyspieszenie punktu we w układzie naturalnym możemy rozłożyć na dwie składowe: styczną do toru oraz skierowaną wzdłuż normalnej (promienia) do środka. Przyspieszenie normalne liczymy: pN=v^2/r - gdzie r - promień krzywizny, przyspieszenie styczne wyraża się jako: . Znając dwie składowe można określić wartość przyspieszenia: p=√(pT^2+pN^2), oraz kąt jaki tworzy ono z torem: tgα=pN/pT Ruch obrotowy prędkość w ruchu obrotowym Prędkość i przyspieszenie bryły w ruchu śrubowym. Stosunek prędkości postępowej do prędkości kątowej nazywamy parametrem ruchu śrubowego λ=u/ω=ds/dϕ Skok ruchu śrubowego jest to przemieszczenie bryły w czasie pełnego obrotu h=2πλ Prędkość w ruchu śrubowym wyraża się wzorem v=√(u^2+r^2ω^2) Rzuty prędkości wszystkich punktów bryły poruszającej się ruchem śrubowym na oś ruchu śrubowego są sobie równe. Koło toczy się po płaszczyźnie ze stałą prędkością środka geometrycznego „v” i stałą prędkością kątową ω. Jakie jest przyspieszenie środka prędkości? Dynamika punktu materialnego: ς - promień krzywizny toru w danym pkt. równanie ruchu pkt. Materialnego nieswobodnego przyrost pędu pkt. materialnego równy jest elementarnemu impulsowi siły działającej na ten pkt. w przypadku, gdy na pkt. materialny nie działa żadna siła, pęd jego zachowuje wartość stałą. Pracą siły F na przesunięciu elementarnym dr lub inaczej pracą elementarną siły F będziemy nazywać iloczyn skalarowy wektora siły i wektora dr. Prawo zmienności energii kinetycznej przyrost energii kinetycznej poruszającego się pkt. równy jest pracy siły działającej na ten pkt. na drodze jaką ten pkt. przebył.	Przy jakich warunkach środki: geometryczny, masy i ciężkości bryły pokrywają się. Środki mas figur, mających środek symetrii będący jednocześnie środkiem geometrycznym tych figur, leżą właśnie w tym środku. Do figur takich należą: odcinek linii prostej, obwody i powierzchnie kwadratu, równoległoboku, rombu, wieloboku foremnego, kuli, elipsoidy. Co rozumiemy pod pojęciem ciała kulistego? Ciało kuliste jest to ciało którego środek jest równooddalony od każdego punktu znajdującego się na obwodzie. Podać aksjomaty mechaniki klasycznej. Aksjomaty mechaniki klasycznej to trzy prawa Newtona: I prawo - punkt materialny, na który nie działa żadna siła lub działają siły równoważące się, pozostaje w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym. II prawo - przyspieszenie punktu materialnego ma wartość proporcjonalną do wartości siły działającej na ten punkt i ma kierunek tej siły. III prawo - siły, które wywierają na siebie dwa punkty materialne są równe co do wartości, są skierowane wzdłuż prostej łączącej te punkty oraz zwrócone przeciwnie. Co to są kąty Eulera Dla ułatwienia opisu ruchu ciała sztywnego przyjmujemy współrzędne kątowe zwane kątami Eulera. Kąty te są następujące: kąt obrotu właściwego ϕ - utworzony przez linię węzłów γ i oś ξ liczony od γ do ξ. Obrót określony tym kątem odbywa się wokół osi ξ i nazywa się obrotem właściwym, a oś ta osią obrotu właściwego. kąt precesji - ψ - utworzony przez oś X i linię węzłów γ liczony od X do γ. Obrót określony tym kątem odbywa się wokół osi Z i nazywany jest precesją, a oś ta nazywana jest osią precesji. kąt nutacji - υ - utworzony przez osie Z i ζ liczony od Z do ζ. Obrót określony tym kątem odbywa się wokół osi γ i nazywa się nutacją, a oś ta nazywa się osią nutacji. Podać interpretację geometryczną składowych przyspieszenia w ruchu kulistym. Łączymy pkt. A ze środkiem układu współrzędnych. Linia łącząca to „r” . Prowadzimy prostą przez pkt. „O” (oznaczamy jako „l”). Prowadzimy prostą prostopadłą do „l” przez pkt. „A”. Odległość pkt. „A” od „l” oznaczamy jako „h”. Dlatego wartość przyspieszenia doosiowego (leży na prostej „h”) wynosi p2=ωxv=ω^2h. Wektor p2 jest prostopadły do prędkości v pkt. A. Wektor p1 - określający przyspieszenie obrotowe pkt. A nie leży na jednej prostej z prędkością v pkt. A, i nie przedstawia przyspieszenia stycznego tego pkt. wartość jego wynosi: p1=εxr. W ruchu kulistym wektor przyspieszenia kątowego ε ma kierunek dowolny. W ruchu kulistym przyspieszenie dowolnego punktu ciała jest sumą geometryczną przyspieszenia obrotowego i doosiowego. Wektory p1 i p2 nie są do siebie prostopadłe. (wektory p1 i p2 wychodzą z pkt. A) Zdefiniować ruchy bryły: płaski, kulisty, postępowy, śrubowy. Ruch płaski jest to taki ruch bryły, w którym odległości wszystkich punktów ciała od pewnej nieruchomej płaszczyzny są stale jednakowe. Wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do danej płaszczyzny nieruchomej. Ruch kulisty jest to taki ruch bryły, przy którym jeden z punktów układu ruchomego związanego z bryłą jest nieruchomy. Punkt ten nazywamy środkiem ruchu kulistego. Ruch śrubowy jest to ruch przy którym obraca się ona wokół nieruchomej prostej i jednocześnie przemieszcza postępowo wzdłuż tej prostej. Ruch postępowy jest to ruch w którym dowolna prosta należąca do tego ciała pozostaje stale równoległa do swego położenia, które zajmowała w pewnej dowolnie obranej chwili, np. w chwili początkowej. Prawo zmienności krętu punktu materialnego względem punktu ruchomego. Rozważamy punkt materialny o masie m, który porusza się z prędkością równą „v”. Kręt KO równy jest iloczynowi wektorowemu promienia-wektora r poprowadzonego z bieguna O do rozpatrywanego punktu materialnego i pędu mv. Zgodnie z tym otrzymujemy: KO=r x mv. Momentem pędu lub krętem względem osi nazwiemy moment rzutu pędu mv na dowolną płaszczyznę prostopadłą do osi względem punktu O, w którym oś ta przebija wspomnianą wyżej płaszczyznę. Gdy moment względem pewnego nieruchomego bieguna wypadkowej sił działających na punkt materialny jest równy zeru, wówczas kręt punktu materialnego wyznaczony względem tegoż bieguna jest stały. Prawo zmienności pędu punktu materialnego i jego zastosowanie. Iloczyn wektora prędkości i masy nazywamy pędem punktu materialnego. B=mv. Prawo pędu w postaci różniczkowej może służyć do układania różniczkowych równań ruchu na równi z II prawem Newtona. W przyp. siły stałej prawo pędu pozwala na szybkie rozwiązanie szczególnych zadań dynamiki bez konieczności pełnego rozwiązywania równań ruchu.
				Podać określenie skrętnika i osi centralnej Skrętnik - jest to płaszczyzna zawierająca parę sił, która jest prostopadła (płaszczyzna z parą sił) do siły równej wektorowi głównemu R. Linia działania siły R wchodzącej w skład skrętnika nazywa się osią centralną. Prawo zmienności energii punktu materialnego Energia kinetyczna właściwa jest każdemu stanowi mechanicznemu punktu i zależy od jego prędkości. Punkt materialny, który w danej chwili ma pewną prędkość, ma też pewną określoną energię kinetyczną. Zmianie prędkości towarzyszy zmiana energii kinetycznej. Jeżeli prędkość punktu nie zmienia się, to i energia kinetyczna tego punktu jest stała. Przyrost energii kinetycznej poruszającego się punktu równy jest pracy siły działającej na ten punkt na drodze jaką ten punkt przebył. EkB-EkA=LAB Praca siły pola potencjalnego wykonana przy przemieszczeniu punktu materialnego z jednego położenia w inne, równa jest różnicy potencjałów w punkcie początkowym i końcowym i nie zależy od toru, po którym przemieszcza się punkt przyłożenia siły LAB=VA-VB Prawo zmienności energii w potencjalnym polu sił. Pracę jaką siły pola wykonują przy przemieszczeniu się punktu materialnego z dowolnego położenia do pewnego obranego położenia zerowego nazywamy energią potencjalną. Zakładamy iż pkt. materialny przemieści się w polu potencjalnym z położenia A do położenia B. Na pkt. ten działa tylko siła pola potencjalnego. Praca siły równa jest: LAB=EpA-EpB. Na podstawie prawa zmienności energii kinetycznej możemy napisać: LAB=EkB-EkA. Po przyrównaniu stronami otrzymujemy warunek: E=Ek+Ep=const, oznacza to iż sumę energii kinetycznej i potencjalnej punktu materialnego nazywamy energią mechaniczną pkt. i oznaczamy jako E. Jest to zapis matematyczny prawa zachowania energii mechanicznej. Energia mechaniczna punktu poruszającego się w polu potencjalnym ma wartość stałą. zdefiniować potencjał i energię potencjalną pola sił Przestrzeń w której na każdy znajdujący się w niej punkt materialny działa siła nazywa się polem sił. Potencjał pola jest to funkcja odwrotna do funkcji sił. Zarówno funkcja sił jak i potencjał są określone z dokładnością do stałej.
	Sformułować i udowodnić twierdzenie Steinera dla momentów bezwładności. Moment bezwładności ciała materialnego względem dowolnej osi równy jest sumie momentu bezwładności względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między tymi osiami. Np. IZ1=IZ+md^2 IZ=∫x^2dm dm=(m/l)dx Sformułować i udowodnić twierdzenie Steinera dla momentów dewiacji. Momentem odśrodkowym (dewiacji, zboczenia) ciała względem dwóch prostokątnych płaszczyzn nazywamy granicę sumy iloczynów mas elementów ciała przez odległości tego elementu od danych płaszczyzn. Co to jest promień bezwładności ciała? Ile wynosi on dla kuli o promieniu r względem średnicy? Jest to stosunek momentu bezwładności danego ciała względem osi lub płaszczyzny i masy tegoż ciała k=I/m. Znając moment bezwładności kuli względem jej środka, możemy obliczyć moment bezwładności kuli względem płaszczyzny przechodzącej przez jej środek. Moment bezwładności względem środka kuli wyraża się wzorem: IC=(4/5)μπr^5=(m3r^2)/5. Natomiast moment bezwładności względem średnicy wyraża się wzorem IX=(2/3)IC wyznaczyć moment dewiacji jednorodnego prostokąta o bokach a i b w układzie współrzędnych, którego osie pokrywają się z bokami prostokąta. Momentem odśrodkowym (dewiacji, zboczenia) ciała względem dwóch prostokątnych płaszczyzn nazywamy granicę sumy iloczynów mas elementów ciała przez odległości tego elementu od danych płaszczyzn. Co to jest elipsoida bezwładności ciała w punkcie. Wyprowadzić równanie. Elipsoida, będąca miejscem geometrycznym końców odcinków odwrotnie proporcjonalnych do ramion bezwładności ciała względem prostych przechodzących przez dany punkt ciała „O”, nazywamy elipsoidą bezwładności ciała dla punktu „O”. Elipsoida bezwładności równanie: Gdzie IX, IY, IZ - momenty bezwładności względem poszczególnych osi, IXY, IYZ, IZX - momenty odśrodkowe względem poszczególnych płaszczyzn Jeżeli ciało ma oś symetrii, to moment odśrodkowy względem płaszczyzny przechodzącej przez oś symetrii i płaszczyzny do niej prostopadłej, jest równy zeru. Momenty bezwładności niektórych figur względem osi x, y, z (środek układu w środku figury: Prostopadłościan o masie m i bokach a,b,c IX=(m/12)(b^2+c^2), IY=(m/12)(a^2+c^2), IZ=(m/12)(a^2+b^2) Walec kołowy o promieniu R i wysokości H IZ=(mR^2)/2, IX=IY=m(R^2/2+H^2/12), Cienka tarcza kołowa o promieniu R (grubość b. mała) IZ=(mR^2)/2, IX=IY=(mR^2)/4 Kula o promieniu R IX=IY=IZ=(2mR^2)/5
					Ruch punktu pod wpływem siły zależnej od położenia, prędkości i czasu Ruch pod działaniem siły zależnej od czasu: x=∫[∫(1/m)F(t)dt]dt+VOXt+XO Ruch pod działaniem siły zależnej od prędkości t=∫dx/(±√((2/m)/∫F(x)dx+C1))+C2 Równania ruchu punktu w naturalnym układzie współrzędnych. Równanie ruchu po torze Prędkość pkt. jest pochodną wektora promienia wodzącego względem czasu Przyspieszenie pkt. jest pochodną wektora prędkości punktu i drugą pochodną wektora promienia wodzącego względem czasu.

9

---