Matura 144 (rozszerzony)

Zad.1.(5pkt).

Dane sa dwie funkcje kwadratowe: f(x) = x² + bx + 1 oraz g(x) = bx² + cx - 4, gdzie b ≠ 0. Wyznacz wszystkie wartości parametrów b i c tak, aby funkcja f miała jedno miejsce zerowe i jednocześnie funkcja przyjmowała wartości ujemne dla każdego x ∈ R.

Zad.2.(8pkt).

Wyznacz wszystkie wartości
, dla których trzy liczby
(w podaje kolejności) tworzą ciąg geometryczny.

Zad.3.(5pkt).

W trójkąt AB, w którym |∠BAC| = α oraz |∠ABC| = β, wpisano okrąg. Punkty K, L, m są punktami styczności okręgu odpowiednio z bokami AB, BC i AC. Wykaż, że

Zad.4.(8pkt).

Punkty A=(0; 0) oraz C=(2; 8) są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD o boku długości
. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

Zad.5.(5pkt).

Firma zatrudniła w tym samym czasie małżeństwo na następujących warunkach: mąż otrzyma za pierwszy przepracowany miesiąc 1200zł, a żona 1600zł. Pensja męża będzie wzrastać co miesiąc o 100zł, a zony - o 40zł.

1. Po przepracowaniu którego miesiąca, żona odbierze pensją w wysokości 2680zł?

2. Ile miesięcy muszą pracować małżonkowie, aby suma zarobków męża stanowiła 150% sumy zarobków żony (licząc od początku zatrudnienia)?

Zad.6.(6pkt).

W trapezie ABCD ramiona mają długości |AD| = 10 oraz |BC| = 17, zaś tangens kąta nachylenia ramienia AD do dłuższej podstawy wynosi
. Oblicz pole trójkąta DBC, jeśli wiadomo, że w dany trapez można wpisać okrąg.

Zad.7.(3pkt).

Dany jest zbiór X = {1, 2,1 3, …, n}, n ≥ 3, n ∈ N. ze zbioru X losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwsza z wylosowanych liczb jest większa od drugiej.

Zad.8.(5pkt).

Uporządkuj rosnąco trzy liczby:
.

Zad.9.(5pkt).

Podstawą ostrosłupa jest równoramienny trójkąt prostokątny. Każda krawędź boczna ma długość d i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Oblicz objętość ostrosłupa.

---