Zagadnienia teoretyczne:

Ruch obrotowy bryły sztywnej opisuje II zasada dynamiki:
. Jeśli układ odniesienia zostanie związany z środkiem masy bryły, to moment siły M. zapisać można:
, a moment pędu:
. Można skorzystać z następującej tożsamości wektorowej:
co daje:
. Uwzględniając, że wektory to sumy iloczynów składowych kierunkowych i odpowiednich wektorów jednostkowych oraz tożsamości:
, dla odpowiednich składowych momentu pędu otrzymamy:
;

;

.

Odpowiednio oznaczając otrzymamy układ równań, który można zapisać w postaci macierzowej w następujący sposób:
. Moment pędu związany jest z prędkością kątową za pomocą dziewięciu wartości (współczynników). Macierz, która zawiera te współczynniki to tensor bezwładności (tensor drugiego rzędu). Dla dowolnej bryły (z wyjątkiem kuli) wektor momentu pędu nie pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości kątowej, co prowadzi do złożonego charakteru ruchu takiej bryły. Suma współczynników bezwładności nie zależy od orientacji ciała względem układu współrzędnych. Główne momenty bezwładności odpowiadają głównym osiom bezwładności (dla których momenty zboczenia, charakteryzujące asymetrię bryły, zerują się).

Celem scharakteryzowania rozkładu momentów bezwładności dla dowolnych osi przechodzących przez środek masy ciała wprowadza się pojęcie elipsoidy bezwładności. Elipsoida jest powierzchnią, której dowolny punkt jest końcem odcinka poprowadzonego ze środka masy ciała, a którego długość jest równa:
, gdzie
jest momentem bezwładności danej bryły względem osi pokrywającej się z tym odcinkiem. Jeśli osie współrzędnych będą się pokrywać z osiami głównymi, to równanie elipsoidy ma postać:
. Znając główne momenty bezwładności można obliczyć momenty bezwładności względem dowolnej osi. Do obliczenia momentu bezwładności gdy oś obrotu nie przechodzi przez środek masy ciała stosuje się twierdzenie Steinera:
, gdzie
jest momentem bezwładności dla osi przechodzącej przez środek masy (równoległej do osi badanej), d jest przesunięciem między daną osią a osią środkową, natomiast m jest masą ciała.

Do wyznaczenia momentu bezwładności skorzystamy z wahadła torsyjnego. W pręcie skręcanym o kąt
powstają naprężenia, które są przyczyną powstania momentu sił, który przeciwdziała momentowi sił zewnętrznych:
, korzystając z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego:
, gdzie I jest momentem bezwładności pręta z tarczą względem osi symetrii. Biorąc pod uwagę obydwa powyższe wzory można napisać równanie różniczkowe:
- jest to równanie ruchu drgającego harmonicznego. Częstość tego ruchu spełnia następujący warunek:
. Stąd okres drgania wahadła torsyjnego:
, gdzie D jest parametrem danego wahadła (moment kierujący).

W celu wyznaczenia momentu bezwładności należy zmierzyć okres drgań wahadła skrętnego bez obciążenia i obciążonego bryłą:
. Korzystając z tych zależności otrzymujemy:
, gdzie
- moment bezwładności walca.

Celem ćwiczenia jest sprawdzenie w jakim stopniu elipsoida bezwładności pozwala wyznaczyć moment bezwładności bryły względem dowolnej osi. Znając momenty bezwładności dla trzech osi możemy obliczyć moment dla dowolnej zadanej. Na przykład dla przekątnej prostopadłościanu:
, gdzie
(analogicznie dla
i
), a
to wymiary prostopadłościanu.

---