AKADEMIA GÓRNICZO - HUTNICZA W KRAKOWIE				Ćwiczenie wykonał : Naziemiec Mirosław
TEORIA STEROWANIA I TECHNIKA REGULACJI LABORATORIUM
Wydział : EAIiE	Rok : 1998/99			Rok studiów : IIB	Kierunek : Elektrotechnika			Czwartek godz. 12.30 Grupa : 4.1
Temat ćwiczenia : Analityczne i graficzne kryteria stabilności liniowych UAR
Data wykonania : 1999-04-29			Data zaliczenia :				Ocena :

1. Cel ćwiczenia :

Zapoznanie z analitycznymi i graficznymi kryteriami stabilności.

2. Wyznaczenie pierwiastków oraz tabeli Routha dla układu o równaniu charakterystycznym :

1. pierwiastki równania :

0.3090 + 0.9511i

0.3090 - 0.9511i

- 0.8090 + 0.5878i

- 0.8090 - 0.5878i

Liczba pierwiastkow o ujemnej cześci rzeczywistej : 2

Liczba pierwiastkow o dodatniej cześci rzeczywistej : 2

2. tabela Routha :

| 1 1 1

| 1 1

| 0,00001 1

| -99999

| 1

Liczba zmian znaków tabeli Routha rowna 2

3. umiejscowienie biegunówn na płaszczyźnie liczb zespolonych oraz odpowiedz obiektu
   na skok jednostkowy.

4. Wnioski :

Badany układ jest niestabilny, świadczy o tym zarówno występowanie dwóch pierwiastków o dodatniej części rzeczywistej, dwukrotna zmiana znaku w tabeli Routcha jak i przebieg odpowiedzi układu na skok jednostkowy. Wraz ze wzrostem czasu nastepuje bardzo szybki wzrost oscylacji. W rzeczywistości układ taki uległby samozniszczeniu.

3. 
   Wyznaczenie wzmocnienia K dla którego układ zamkniety zawierający obiekt o transmitancji

jest stabilny

1. 
   transmitancja układu zamkniętego

2. macierz Hurwitza :

det(H) = K * det(H₃₃) = K * (8-K)

det(H) > 0, det(H₃₃) > 0, det(H₂₂) > 0

K > 0, (8-K)>0

0 < K < 8

4. Badanie stabilności układu opisanego w przestrzeni stanu macierzą :

1. 
   równanie charakterystyczne :
   s³ - 6s² - 7s - 52 = 0

2. bieguny :

- 0.8821 + 2.4330i

- 0.8821 - 2.4330i

7.7642

3. wnioski :

Badany układ jest nie stabilny, ponieważ jego równanie charakterystyczne zawiera jeden pierwiastek o wartości rzeczywistej dodatniej. Po krótkim okresie stabilności następuje gwałtowny wzrost ampliyudy.

5. Okreslenie za pomocą metody Nyquista satabilności układu z rys 1.

1. Układ jest marginalnie stabilny dla K = 8 poniżej tej wartości układ jest stabilny a powyżej nie stabilny. Dla K = 8 zapas amplitudy i fazy jest równy 0 przy w = 2 Hz. Odpowidzią układu jest sinusoida o ustalonej ampltudzie.

2. układ jest marginalnie stabilny dla Ti = 0,91 dla wartości mniejszych jest nie stabilny a dla większych stabilny. Dla stałej czasowej Ti = 0,91 odpowiedzią układu zamkniętego na skok jednostkowy jest sinusoida o stałej amplitudzie. Ustabilzowanie układu wymaga doboru dużej stałej czasowej Ti ~ 10.

6. Dobór wzmocnienia K kompensatora:

1. transmitancja układu otwartego :

2. 
   

3. wykres zależności położenia zer i biegunów w funkcji wzmocnienia :

c) dla tego kompensatora nie jest możliwe dobranie wzmocnienia tak aby układ był stabilny.

7. Wnioski :

Istnieje wiele możliwości sprawdzenia stabilności układu. W zależności od dostępnych informacji możemy do tego wykorzystać kryterium Routha-Hurwitza lub bezpośredni obliczyć pierwiastki. Wymaga to jednak znajomości równania charakterystycznego układu zamkniętego.Obliczanie pierwiastków metodami tradycyjnymi jest o wiele trudniejsze niż wykożystanie kryteriów analitycznych, nie stanowi to jednak większego problemu przy wykorzystaniu komputerów. Mając do dyspozycji charakterystykę amplituowo-fazową lub amplituową i fazową możemy wnioskować o stabilności układu na podstawie kryterium Nyquista. Nie dla każdego układu regulator(kompensator) - obiekt możliwe jest dobranie nastaw, można to sprawdzić badająć przebieg zmieności położenia biegunów w funkcji nastaw (funkcja rlocus()). W przypadku układów marginalnie stabilnych w odpowiedzi na skok jednostkowy pojawia się przebieg sinusoidalny o stałej amplitudzie. Układ taki mogłby czasem mieć zastosowanie jednakże byłby bardzo wrażliwy na zewnętrzne zakłucenia.

---