Akademia Górniczo - Hutnicza W Krakowie						Wykonał: Dariusz Krakowski
KATEDRA AUTOMATYKI , NAPĘDU I URZĄDZEŃ PRZEMYSŁOWYCH AGH
Wydział: EAIiE		Rok akad.: 1998 / 99		Rok studiów: II	Kierunek: Elektrotechnika			Grupa: 3
Temat ćwiczenia: Analityczne i graficzne kryteria stabilności liniowych UAR.
Data wykonania:			Data zaliczenia:			Ocena:

A. Cel ćwiczenia:

Zapoznanie się istniejącymi kryteriami stabilności układów liniowych oraz ich praktycznym wykorzystaniem przy badaniu stabilności obiektów.

B. Przebieg ćwiczenia:

1. Kryterium Routha - Hurwitza.

1. opis transmitancyjny - funkcja roots(), routh(), pzmap():

Równanie charakterystyczne badanego obiektu:

s⁴ + s³ + s² + s +1 = 0

• przy użyciu programu Matlab

pierwiastki równania charakterystycznego:

0.3090 + 0.9511i -0.8090 + 0.5878i

0.3090 - 0.9511i -0.8090 - 0.5878i

odpowiedź układu bieguny układu

na skok jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej

• ręczne przeliczenie kryterium Hurwitza dokonane w celu sprawdzenia poprawności:

Wszystkie współczynniki są jednakowego znaku, więc pierwszy warunek jest spełniony.

Następnie sprawdzamy znaki poszczególnych podwyznaczników:

Jak widać wyznacznik całej macierzy wyszedł ujemny, więc z tego wynika wg kryterium Hurwiztza, że układ jest niestabilny.

• ręczne przeliczenie kryterium Routha dokonane w celu sprawdzenia poprawności:

Jak łatwo zauważyć nastąpiła podwójna zmiana znaku w pierwszym wierszu macierzy a więc układ wg kryterium Rutha powinien posiadać 2 pierwiastki charakterystyczne w dodatniej półpłaszczyźnie.

Układ z takim równaniem charakterystycznym jest układem niestabilnym. Przemawia za tym kryterium Hurwitza jak i Routha.

2. wyznaczenie „K” dla którego układ ten jest układem stabilnym:

Równanie charakterystyczne układu:

s³ + 2s² + 4s + K = 0 dla K∈(0,20)

• przy użyciu Matlaba:

Macierz wzmocnień i biegunów dla K zmieniającego się od 0 do 20:

wzmocnienie K: pierwiastki równania charakterystycznego:

0 0 -1.0000 - 1.7321i -1.0000 + 1.7321i

1.0000 -0.8576 - 1.6661i -0.8576 + 1.6661i -0.2848

2.0000 -0.6806 - 1.6332i -0.6806 + 1.6332i -0.6389

3.0000 -0.5000 - 1.6583i -0.5000 + 1.6583i -1.0000

4.0000 -0.3522 - 1.7214i -0.3522 + 1.7214i -1.2956

5.0000 -0.2370 - 1.7946i -0.2370 + 1.7946i -1.5260

6.0000 -0.1443 - 1.8669i -0.1443 + 1.8669i -1.7113

7.0000 -1.8664 -0.0668 - 1.9355i -0.0668 + 1.9355i

8.0000 -2.0000 0.0000 - 2.0000i 0.0000 + 2.0000i

9.0000 -2.1179 0.0589 - 2.0606i 0.0589 + 2.0606i

10.0000 -2.2236 0.1118 - 2.1177i 0.1118 + 2.1177i

11.0000 -2.3198 0.1599 - 2.1717i 0.1599 + 2.1717i

12.0000 -2.4082 0.2041 - 2.2229i 0.2041 + 2.2229i

13.0000 -2.4902 0.2451 - 2.2717i 0.2451 + 2.2717i

14.0000 -2.5667 0.2833 - 2.3182i 0.2833 + 2.3182i

15.0000 -2.6386 0.3193 - 2.3628i 0.3193 + 2.3628i

16.0000 -2.7064 0.3532 - 2.4056i 0.3532 + 2.4056i

17.0000 -2.7707 0.3854 - 2.4468i 0.3854 + 2.4468i

18.0000 -2.8320 0.4160 - 2.4866i 0.4160 + 2.4866i

19.0000 -2.8904 0.4452 - 2.5249i 0.4452 + 2.5249i

20.0000 -2.9463 0.4732 - 2.5621i 0.4732 + 2.5621i

Aby badany przez nas układ należał do układów stabilnych musi on mieć ujemne części rzeczywiste pierwiastków charakterystycznych. Jak z tego wynika i widać z powyższych danych układ jest stabilny dla 1 ≤ K ≤ 7, dla K=8 układ jest na granicy stabilności a dla K>8 układ się rozbiega i staje się niestabilny.

Położenie biegunów układu dla K ∈(0,20):

• przeliczenie ręczne dokonane w celu sprawdzenia poprawności:

s³ + 2s² + 4s + K = 0 dla

wg kryterium Hurwitza:

- wszystkie współczynniki muszą istnieć i być tego samego znaku stąd K musi być dodatnie,

- wyznacznik główny macierzy i podwyznaczniki muszą być także dodatnie,

więc jak widać z powyższych przeliczeń K musi należeć do przedziału (0,7), aby układ był stabilny.

wg kryterium Routha:

• wyrazy w pierwszej kolumnie muszą być mniejsze od 0 bądź mu równe:

Jak widać z powyższych obliczeń, aby układ był stabilny to wzmocnienie K musi należeć do przedziału < 0,8 > .

Stąd nasuwa się następujący wniosek, że kryterium Routha inaczej traktuje granice stabilności bowiem przyjmuje za układ stabilny układ na granicy stabilności.

Położenie biegunów układu stabilnego czyli dla K∈(0,7)

c) opis w przestrzeni stanu - funkcje Matlaba poly() oraz eig()

Równanie charakterystyczne powyższej macierzy stanu ma następującą postać (funkcja poly):

s³ - 6s² - 7s - 52 = 0

pierwiastki równania charakterystycznego:

-0.8821 + 2.4330i

-0.8821 - 2.4330i

7.7642

bieguny układu odpowiedź układu na płaszczyźnie zespolonej na skok jednostkowy

Jak także widać z tej metody układ jest niestabilny. Zarówno widać to z położenia pierwiastków równania charakterystycznego jak i z odpowiedzi na skok jednostkowy (układ się nam rozbiega do nieskończoności).

2. Kryterium Nyquista.

Określenie kiedy (dla jakiego K) poniższy układ (opisany poniższą transmitancją) jest stabilny, niestabilny oraz marginalnie stabilny:

Jeżeli układ otwarty jest stabilny, a jego charakterystyka amplitudowo-fazowa nie obejmuje punktu (-1, j0) przy zmianie pulsacji ω od minus nieskończoności do plus nieskończoności, to układ zamknięty także będzie stabilny. W przeciwnym przypadku układ zamknięty będzie układem niestabilnym. Jeśli charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego przechodzi przez punkt (-1, j0), to układ zamknięty jest na granicy stabilności.

W naszym przypadku układ otwarty znajduje się na granicy stabilności, więc można by przyjąć, że jest prawie stabilny.

Wybrane charakterystyki:

Na podstawie powyższych charakterystyk można wywnioskować, że układ jest stabilny dla K∈(1,7), dla K=8 układ znajduje się na granicy stabilności, natomiast dla K > 8 układ staje się układem niestabilnym. Stabilność układu można ocenić także po rozmieszczeniu pierwiastków charakterystycznych. Jak widać układ otwarty jest na granicy stabilności, natomiast układ zamknięty jest stabilny dla K < 8 , a niestabilny dla K > 8 (obejmuje zasięgiem punkt (-1+j0) ).

Inną metodą stabilność układu można określić przy pomocy charakterystyk Bodego. Jeśli układ otwarty jest stabilny, a jego charakterystyka amplitudowa logarytmiczna przecina oś 0 dB przy pulsacji mniejszej od pulsacji przecięcia osi -π przez charakterystykę fazową, to układ zamknięty jest stabilny. W przeciwnym przypadku układ zamknięty jest niestabilny.

dla K=5 dla K=8

dla K=13

Na podstawie charakterystyk Bodego można stwierdzić, że badany układ jest stabilny dla K<8, niestabilny dla K>8 a natomiast dla K=8 układ jest na granicy stabilności.

1. zbadanie stabilności układu:

W powyższym układzie: T₁ = 1 [s] T₂ = 10 [s] k = 1

Odpowiedź na skok jednostkowy Charakterystyka amplitudowa i fazowa

Rozmieszczenie biegunów i zer badanego układu:

Układ znajduje się na graniacy stabilności dla T_i = 0,91 [s]. Jak widać na wykresie odpowiedzi układu na skok jednostkowy na wyjściu układu pojawiają się stałe oscylacje. Także można to odczytać z położenia pierwiastków równania charakterystycznego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej (widzimy, że układ posiada pierwiastki na osi urojonej). Przy zmniejszeniu T_i pojniżej 0,91 [s] układ staje się niestabilny, a jeżeli T_i będzie większe niż 0,91 [s] to ten układ będzie stabilny.

3. Stabilizacja układu niestabilnego.

Transmitancja obiektu G(s):

Jest to układ niestabilny, gdyz posiada 2 sprzężone pierwiastki zespolone w prawej półpłaszczyźnie. Do jego kompensacji użyto kompensatora o transmitancji:

Na podstawie poniższego wykresu można ocenić czy układ z takim kompensatorem będzie kiedykolwiek stabilny.

Jak widać z wykresu nie ma możliwości wprowadzenia takiego wzmocnienia kompensatora, aby układ stał się stabilny. Więc możemy łatwo wywnioskować, że układ z takim kompensatorem nigdy nie będzie stabilny, ponieważ nigdy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego nie będą leżeć w lewej półpłaszczyźnie.

Wnioski:

Bardzo ważnym problemem w układach automatycznej regulacji jest stabilność badanego układu. Jest to podstawowe wymaganie stawiane układowi. Aby zbadać stabilność układu wcześniej musieliśmy jego pierwiastki równania charakterystycznego. Lecz gdy układ opisuje równanie wyższego rzędu wyliczenie pierwiastków może stać się prawie że niemożliwe. I tutaj nam z pomocą przychodzą poznane na ćwiczeniu kryteria stabilności. W ćwiczeniu tym poznaliśmy i porównaliśmy najczęściej stosowane kryteria stabilności takie jak kryterium Routha-Hurwitza czy Nyquista. Dzięki nim nie musimy znać wartości pierwiastków równania charakterystycznego, tylko wystarczy nam poznać ich położenie na wykresie zmiennej zespolonej. Kryteria określaja nam czy badany przez nas układ jest stabilny oraz co trzeba zrobić, aby stał się on stabilny. Przekonaliśmy się również, że poprzez właściwy dobór odpowiedniego kompensatora możliwe staje się ustabilizowanie układu niestabilnego.

- 2 -

---