Ekonomia matematyczna jest dyscyplina naukową obejmującą różne zastosowania pojęć i technik matematycznych w ekonomii, a w szczególności w teorii ekonomii.

METODY BADAŃ to sposoby postępowania, reguły prowadzenia działań i samo działanie zmierzające do osiągnięcia określonego celu badawczego. Pojęcie to jest zamiennie używane z terminem „techniki badawcze”.

Metody badawcze w warunkach empirycznych to przede wszystkim typowe i powtarzalne sposoby zbierania, opracowywania, analizy i interpretacji danych empirycznych, służących do uzyskania maksymalnie lub optymalnie uzasadnionych odpowiedzi na stawiane w nich pytaniach.

Wnioskowanie - rozumowanie polegające na wyprowadzaniu, zgodnie z prawami logiki, ze zdań uznanych za prawdziwe (przesłanek) — nowych twierdzeń (wniosków); wnioskowanie dzieli się na:

• Indukcja (od szczegółu do ogółu - formułowanie twierdzeń (np. praw nauk.) na podstawie poszczególnych przesłanek dotyczących faktów jednostkowych; stanowi często podstawę metod badawczych w naukach empirycznych.

• Dedukcja (od ogółu do szczegółu) - wnioskowanie na podstawie pewnej ogólnej przesłanki, która jest oczywista i nie wymaga głębszego dowodzenia (np. przesłanka, iż człowiek jest z natury chciwy, woli więcej niż mniej)

• Redukcja - dobieranie do zdania uznanego za prawdziwe takiego zdania, z którego to pierwsze logicznie wynika.

W dziedzinie ekonomii duże znaczenie ma dedukcja, gdyż jest oparta na ogólnych przesłankach. Indukcja nie ma większego znaczenia, gdyż jest oparta na szczegółach (dużo czasu zajęłaby analiza zachowań wszystkich jednostek).

ETAPY PROCESU MYŚLOWEGO:

• Obserwacja - gromadzenie informacji w sensownym porządku

• Selekcja (abstrakcja)- uogólnienie, czyli pomijanie pewnych mniej istotnych elementów, które uznamy za nieważne i wyodrębnienie tylko elementów istotnych

Prawo wielkich liczb - przy dużej liczbie doświadczeń odrzucamy wyjątki

• Konkretyzacja - stopniowe uszczegółowienie informacji i konstruowanie modelu ekonomicznego

• Weryfikacja - odniesienie teorii do rzeczywistości

NARZĘDZIA ANALIZY EKONOMICZNEJ:

1. Dane ekonomiczne

• Źródła danych (umieszczone pod tablicą lub rysunkiem)

• Tablice i wykresy

• Szeregi czasowe danych (zawierają kolejne wartości przyjmowane przez daną zmienną w różnych momentach)

• Dane przekrojowe (pokazują jakie wartości przyjmuje analizowana zmienna u poszczególnych osób lub też grup w określonym momencie

Wskaźniki - wyrażają względną wartość danej zmiennej odniesioną do jej wartości w okresie podstawowym (bazowym)

Wykres punktowy - przedstawia pary wartości zaobserwowane równocześnie dla dwu róznych zmiennych

Prawa ekonomiczne - zależności między kategoriami gospodarki, które zmierzają do formułowania teorii, np. teoria wyboru konsumenta.

Model - zbiór założeń określający prawdziwość danej teorii.

Zbiór - uporządkowany zestaw określonych elementów.

MODEL EKONOMICZNY - składa się z równań, wyrażających zależności między elementami.

Elementy modelu ekonomicznego:

1. Zmienne - elementy dynamiczne, które podlegają zmianom w czasie

• Endogeniczne - zmienne , których wartość określamy na podstawie modelu (są generowane od wewnątrz)

• Egzogeniczne - zmienne, określone przez siły zewnętrzne w stosunku do modelu, czyli takie zmienne, których wartości są znane i ustalone (są generowane od zewnątrz)

Stałe - wielkości, które się nie zmieniają

Parametry - współczynniki stojące przy zmiennych egzogenicznych

RODZAJE RÓWNAŃ:

• Definicyjne - ustanawiają tożsamość dwu wyrażeń, które mają dokładnie ten sam sens.

• Behawioralne - określają sposób w jaki zachowuje się zmienna w reakcji na przyrost innych zmiennych

• Równania III typu tzn. warunek równowagi - występują tylko wtedy, gdy model dotyczy pojęcia równowagi. Warunek równowagi jest mianowicie równaniem, opisującym niezbędne warunki osiągnięcia równowagi.

PARA UPORZĄDKOWANA - para dowolnych elementów „a” i „b”, w której wyróżniono jeden z elementów jako pierwszy, a więc istotna jest kolejność tych elementów. Symbol (a, b) oznacza parę uporządkowana, w której pierwszym elementem jest „a”.

Iloczyn kartezjański dwu zbiorów A i B (produkt kartezjański) - to zbiór wszystkich par uporządkowanych (a, b), utworzonych z elementu „a” zbioru A i elementu „b” zbioru B.

Relacja dwuargumentowa (binarna) - zbiór, którego wszystkie elementy są parami uporządkowanymi

RODZAJE FUNKCJI:

• F. wielomianowa (wieloskładnikowa) - każdy składnik tej funkcji jest iloczynem stałej i zmiennej

Równowaga - jest pewną konstelacją wybranych powiązań zmiennych, tak dostosowanych do siebie, że w modelu, który stanowią, nie przeważa żadna tendencja do zmiany.

Równowaga rynkowa - jest to stan stabilności sił stojących po stronie popytu i podaży. Jeśli warunki zewnętrzne (tzn. Determinanty popytu i podaży) nie zmieniają się, stan ten będzie wykazywał tendencję do trwania.

Równowaga dotyczy zmiennych wybranych, które są ze sobą ściśle powiązane.

Konsument zawsze dąży do maksymalizacji satysfakcji.

U - użyteczność całkowita

u = f(x,y)

u = max

TP - zysk

TR - utarg całkowity

TC - koszt całkowity

TP=TR-TC

TP

TR f(Q)

TC

TP = max- maksymalizacja zysku

Procedura wyznaczania ekstremum (maksimum zysku)

Równowaga rynkowa

gdzie

Rynek wyizolowany - rynek gdzie na konsumenta i dostawcę nie oddziałuje szereg innych czynników

- cena dobra wyznaczająca koszt stały producenta, czyli wynagrodzenie pracowników, koszty dzierżawy ziemi i budynków itp. Producent dopiero powyżej tej ceny dobra decyduje się na jego dostarczanie na rynek.

Ponieważ na nocy warunku równowagi:

zatem

w rezultacie mamy:

Ilość równowagi wyniesie:

Ponieważ:

Więc warunkiem, aby:
jest

Równowaga cykliczna przytłumiona:

Przy wzroście popytu z
do
stan przeszedł do stanu nierównowagi (występuje niedobór towarów na rynku). Rynek jednak samodzielnie dąży do uzyskania stanu stabilności poprzez tzw. pajęczynę popytowo-podażową.

Równowaga cykliczna periodyczna

Równowaga cykliczna wybuchowa

Krzywa popytu dana jest równaniem:
zaś krzywa podaży:
.

Warunek równowagi jest spełniony, gdy:
, czyli
.

Załóżmy, że
stąd

Wzór na cenę równowagi cyklicznej ma postać:
.

Załóżmy, że odchylenia ceny od ceny równowagi oznaczymy przez:
to
, ale
, czyli:
, stąd
, co daje po przekształceniu
, czyli
, co jest tożsame z zapisem
. Ponieważ
mamy
. A ponieważ
ostatecznie mamy
.

Ponieważ parametry kierunkowe
, to kolejne odchylenia są analogiczne. Dla kolejnych odchyleń mamy następujący ciąg wartości:

Ogólnie ścieżkę odchyleń cen równowagi cyklicznej od równowagi określamy wzorem:

Jeżeli

• 
  - ma miejsce oscylacja przytłumiona

• 
  - ma miejsce oscylacja wybuchowa

• 
  - ma miejsce oscylacja periodyczna

Analiza statyki porównawczej - polega na porównaniu wielu stanów równowagi jednego modelu. Wiąże się przede wszystkim z wyznaczeniem zmian jakościowych (zmian kierunku równowagi). Efektem analizy statyki porównawczej jest ustalenie wielkości stopy zmian.

Stopa zmian - relacja zmiennej endogenicznej do zmiennej egzogenicznej (parametru a, b, ...)

Stopa zmian

Ostatecznie mamy:

- pochodna

Pochodna funkcji - mówi nam do czego zdąża wartość funkcji (y), jeśli argument (x) zdąża do jakiejś konkretnej wartości. Stanowi natychmiastową stopę zmiany.

Przykład równowagi:

TR - utarg całkowity

AR - utarg przeciętny

MR - utarg krańcowy (marginalny)

Utarg całkowity rośnie osiąga ekstremum maksimum i zaczyna opadać

AR oznacza cenę jednego dobra (wykres AR może być utożsamiany z wykresem popytu)

Popyt przy wysokiej cenie jest bardziej elastyczny niż przy cenie niższej. Poniżej ceny P₁ popyt jest nieelastyczny, natomiast powyżej - elastyczny

MR - utarg krańcowy oznaczający, utarg ze sprzedaży ostatniej dodatkowej jednostki dobra

- pochodna mierzy nachylenie funkcji w punkcie

- nachylenie prostej KG

gdzie:

, oraz

co oznacza, że

Granica funkcji:

Liczba L oznacza granicę funkcji
przy z dążącym do liczby N, jeśli dla każdego dowolnie małego, ustalonego otoczenia liczby L można dobrać otoczenie liczby N (zawarte w dziedzinie funkcji) w taki sposób, że dla każdej wartości z należącej do tego otoczenia N i różnej od N obraz jej należy do wybranego otoczenia L.

Otoczeniem L nazywamy przedział określany wzorem:

Jeśli granica prawostronna jest równa granicy lewostronnej to funkcja ma granicę.

Funkcja jest różniczkowalna, jeśli da się przeprowadzić styczna do funkcji w jednym punkcie.

(dla
)

(dla
)

TWIERDZENIA O GRANICY:

• Dotyczące pojedynczej funkcji:

Twierdzenie I

Jeśli

Twierdzenie II

Jeśli

Twierdzenie III

Jeśli

• Dotyczące dwu funkcji

Jeśli mamy dwie funkcje
oraz
, których argumentem jest
, takie że
i
, to można zastosować twierdzenia:

Twierdzenie IV

Twierdzenie V

Twierdzenie VI

L jest granicą funkcji przy Z dążącym do N.

Różniczkowalność funkcji - oznacza, że w każdym jej punkcie można jednoznacznie wyznaczyć nachylenie funkcji.

Warunki ciągłości funkcji:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

- dla każdego

- istnieje

Pochodna a ciągłość funkcji:

Twierdzenie

Jeśli funkcja ma pochodną dla jakiejkolwiek wartości zmiennej niezależnej
, to jest dla tej wartości ciągła.

Przypuśćmy, że:

1. Dla
   

2. Istnieje
   

3. 
   

co oznacza, ze spełnione są warunki ciągłości funkcji dla
.

Jeśli
jest różniczkowalna dla
tzn., że:

Uprościmy zapis w ten sposób, że:

oznacza

W rezultacie mamy

ponieważ
więc pewne jest, że
,

co oznacza, że mamy:

Ponieważ
, czyli
jest stałe, co daje

oraz ostatecznie mamy:

Z tej ostatniej równości wynika, że:

co nie byłoby możliwe, gdyby nie był spełniony warunek różniczkowalności.

CIĄGŁOŚĆ A RÓŻNICZKOWALNOŚĆ FUNKCJI:

Twierdzenie

Ciągłość funkcji jest warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym jej różniczkowalności.

Przypuśćmy, że mamy funkcję
.

Sprawdzimy, czy jest różniczkowalna w punkcie
.

Warunkiem różniczkowalności jest ciągłość funkcji:

1. 
   

2. Istnieje granica
   

3. 
   

Czy dla
funkcja
jest różniczkowalna?

• gdy rozważamy granicę prawostronną,
  zdążając do 0 będzie zawsze większe od 0, czyli na mocy definicji modułu:

, wówczas

• z kolei gdy rozważamy granicę lewostronną,
  zdążając do 0 będzie zawsze mniejsze od 0

, wówczas

Rachunek marginalny - rozwiązywanie problemów ekonomicznych za pomocą pochodnej (natychmiastowej stopy zmian)

Reguły różniczkowania dotyczące jednej funkcji:

*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)

*)

Reguły różniczkowania dotyczące dwóch funkcji:

*)

*)
*)
*)
*)
;

Wyprowadzanie wzoru na pochodna ilorazu dwóch funkcji

Ostatnie równanie, będące wzorem na pochodną ilorazu dwu funkcji, jest wynikiem założenia o ciągłości funkcji (którą de facto jest ów iloraz), ponieważ tylko funkcja ciągła ma pochodną w
. W związku z tym funkcje odpowiednio
i
(które sa składowymi ilorazu) są również ciągłe stąd:

• 
  

• 
  

• 
  

Utarg całkowity, przeciętny krańcowy:

Utarg całkowity (TR) - utarg uzyskany ze sprzedaży wszystkich wyprodukowanych jednostek

Utarg przeciętny (AR) - utarg przypadający na jednostkę sprzedanego dobra (cena dobra)

Utarg krańcowy (MR) - zmiana utargu całkowitego spowodowana zmiana produkcji o jednostkę

gdzie

tak więc

Ponieważ:

to
, gdzie
mierzy nachylenie
.

Ponieważ:

w rezultacie w konkurencji:

• doskonałej
  ponieważ
  , a więc
  , krzywe pokrywają się.

• niedoskonałej:
  , dla każdego Q>0, co oznacza, że MR leży w tej dziedzinie pod AR

Wzór na funkcję przeciętnego kosztu całkowitego ATC

Ponieważ

a więc

Natychmiastowa stopa zmian ATC, czyli miernik informujący zarazem o tym, kiedy ten koszt maleje, rośnie i kulminacje będzie opisany wzorem:

1) gdy funkcja ATC rośnie to znajduje się pod funkcją MC

2) jeśli funkcja ATC jest stała to przecina się z funkcją MC

3) jeśli funkcja ATC maleje to znajduje się nad funkcją MC

Funkcja złożona:

- funkcja utargu całkowitego

- funkcja produkcji

Twierdzenie:

Jeżeli
jest funkcją złożoną z funkcji
i
ciągłych i różniczkowalnych odpowiednio w punkcie
i
, to:

gdy
.

Zapis powyżej oznacza, że jeżeli y jest funkcją u, a u jest funkcją x, to pochodną y względem
oblcizamy mnożąc pochodną funkcji zewnętrznej przez pochodną funkcji wewnętrznej.

Dowód:

Z uwagi na ciągłość funkcji
mamy:

Ostatecznie mamy:

oznacza, to że

Funkcja odwrotna

Funkcja monotoniczna - to taka funkcja, która na określonym przedziale tylko rośnie albo tylko maleje.

Pochodna funkcji mówi o tym, czy funkcja maleje czy rośnie.

Funkcja odwrotna podobnie jak jej f. pierwotna jest malejąca

Twierdzenie:

Jeżeli funkcja
rosnąca (malejąca) ma w danym punkcie x ma pochodną różną od 0, to funkcja odwrotna
ma pochodną
równą odwrotności pochodnej danej funkcji tzn.:
.

Dowód:

skąd
.

Ponieważ funkcja odwrotna jest również ciągła, zatem:
. W rezultacie:

,

czyli ostatecznie:

Pochodna cząstkowa:

Dana jest funkcja wielu zmiennych:

, gdzie
są niezależne od siebie. Iloraz różnicowy dla tej funkcji wyraża wzór:

Pochodną cząstkową y względem
nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Przykład:

Przykład:

Wzgórze producenta - określa funkcje produkcji przy dwóch argumentach (L - praca i K - kapitał)

---