8.a) Różniczka rzędu 2-go funkcji f:Rⁿ→R w punkcie x⁰ oraz twierdzenie Taylora 2-go. rzędu.

Dana jest funkcja f:Rⁿ⊃U_xo→R. Zakładamy, że

1⁰ f jest różniczkowalna w U_xo

2⁰ przy każdym h∈Rⁿ odwzorowanie w_h:Rⁿ⊃ U_xo→R

x
w_h(x)=df(x⁰)h jest różniczkowalne w x⁰

Wówczas odwzorowanie (h`,h)
dw<sub>h</sub>(x<sup>0</sup>)h` jest 2-liniowe i nazywa się ono różniczką II-go rzędu funkcji f.

Piszemy d²f(x⁰)h`h

Wzór Taylora II-go rzędu:

jeśli f:Rⁿ⊃U_xo→R jest dwukrotnie różniczkowalna w x^o, bo

f(x^o+h) = f(x^o)+df (x^o)h+0,5d²f(x^o)hh`+ w (x<sup>o</sup>,h`) ,

gdzie x^o+h∈ U_xo, w (x^o,h)=llhll²Ψ(H), Ψ:{ h∈Rⁿ: x^o+h∈ U_xo}-R jest ciągła w Θ i ψ(Θ)=0

8.b) Napisać wzór Taylora 2- ego rzędu funkcji
w pkt (0,π/2).

Obieramy
. Wzór Taylora:

---