Praca , energia i moc,

zasada zchowania energii mechanicznej

1. 
   Praca

UWAGA: Praca jest wielkością skalarną (F i s to wektory)

jednostka [W] = 1 dżul ⇒ praca wykonana siłą 1 N na drodze 1 m.

Dla siły zmiennej: W jest powierzchnią pod wykresem z siły F po danej drodze od A do B :

Przykład

Rozciągnie sprężyny

o stałej k o długośc Δx = A

F = k Δx => F(A) = k A

praca => powierzchnia trójkąta

W(A) = ½ A ⋅ F_A = ½ k A²

2. Energia kinetyczna dla ruchu postępowego

Praca ⇒ działanie siły ⇒ przyśpieszenie => zmienia się prędkość ciała.

Jaka jest zależność między wykonaną pracą a zmianą prędkości punktu materialnego (ciała) o masie m ?

m = 1000 kg, v1 = 10 m/s, a = 2 m/s²

Wniosek :

Rozwiązanie dokładne

Niech działa siła F na drodze x na ciało masie m, które miało prędkość początkową v₁. Co zmieniło się po czasie t?

x = v₁ t + ½ a t² = v₂ = v₁ + a t

v₂² = v₁²+ 2 v₁ a t + a² t ² = v₁² + 2 ax

praca W ≡ Fx = m a x = ½ m v₂² - ½ m v₂² = E₂ - E₁

Przykład

Jaka energię kinetyczną ma samochód o masie M = 1400 kg jadący z prędkością v = 72 km/h?

prędkość v w m/s ? v = 72 000 /3600 = 20 m/s

E_k = ½ 1400 ⋅ 400 = 280 kJ !!!!

3. Moc

moc średnia:

moc chwilowa:

Jednostką mocy jest [P] = wat ⇒ 1W = 1J/1s = 1 J/s

Dla celów praktycznych używa się kW (kilowatów) 1 kW = 1000 W

a także KM (koni mechanicznych przy czym 1 KM

1 KM = 751 kG m/s = 736 W kW; (1 kG = 9,81 N)

Przykład

Samochód o mocy silnika P = 90 KM i masie m = 1400 kg osiąga prędkość maksymalną v_m = 170 km/h.

Obliczyć:

a) siły F oporu ruchu przy maksymalnej prędkości oraz

b) szybkość v_p jazdy pod górę przy nachyleniu jezdni α = 30^o.

c) czas t osiągnięcia prędkości v_g = 100 km/h oraz przyspieszenie a_g

Rozwiązanie

UWAGA: Związek między mocą silnika a prędkością jazdy:

jazda po poziomym terenie

W = F s ⇒ P = ΔW/Δt = F ⋅ s /t ⇒

a) P = 90 KM ⇒ P = 9,81⋅ 90 = 66 kW .

siła oporu: F = P / v = 66 000/ (170/3,6) = 1 400 N (140 kG);

jazda pod górę

b) siła zsuwająca Fs = mg sin α = 1400 ⋅ 9,81⋅ 0,5 = 6900 N

prędkość maksymalna: v_p [km/h] = P/ Fs = 3,6⋅ 66 000/6900 = 34 km/h.

c) czas rozpędzania do prędkości 100 km/h

E_k = W = Pt

t = mv_g²/ 2 P = 8,1 s; a_g = v_g /t = 27,8/ 8,1 = 3,4 m/s²

2. 
   Energia potencjalna w polu sił grawitacyjnych

W polu grawitacyjnym praca zużyta na pokonanie grawitacji nie zależy w istocie od kształtu drogi a po drodze zamkniętej jest równa zeru .

Przykład: ruch w polu sił grawitacyjnych

Odległość z punktu A do B ⇒ h a odległość od B do C ⇒ s

Praca na przeniesienie masy m z punktu A do C po drodze ABC:

W_ABC = mg⋅h + 0 ⋅ s = mgh

Praca na pokonanie drogi ADC : W_ADC = 0 ⋅ s + mg⋅h ≡ W_ABC

Praca na pokonanie drogi CAD jest UJEMNA (odzyskujemy energię):

W_CDA = - mg⋅h + 0 ≡ - W_ADC = - W_ABC

⇒ praca na drodze zamkniętej W_ABCD = W_ABC + W_CDA = 0

Zasada zachowania energii mechanicznej

Suma energii kinetycznej Ek i potencjalnej Ep to energia mechaniczna Ec

Ec = Ek + Ep

Przykład: Równia jest nachylona pod kątem α. Wózek o masie m zaczyna ruch z wysokości h

Sprawdź, czy energia kinetyczna na końcu równi równa jest energii potencjalnej.

Rozwiązanie:

Ruch jednostajny przyspieszony po powierzchni równi (oś x)

x - droga przebyta do zatrzymania sinα = h/x

a_x = g sinα; x = ½ a_x ⋅t² => t = (2x/g sinα)

v = a_x⋅t => v² = g sinα ⋅2x sinα = h/x => v² = 2gh

Ek = ½ m v² = mgh ≡ Ep

c.b.d.o

B. Augustyniak Fizyka 0 Wykład B-4

h

Praca W stałej siły F wyrażana jest iloczynem skalarnym siły F i wektora przesunięcia s

W = F ⋅ s = F s cos ϕ

E_k= ½ m v²

Energia kinetyczna E_k jest proporcjonalna do kwadratu prędkości ciała oraz do masy m tego ciała

P = F ⋅ v

praca włożona w zmianę prędkości jest proporcjonalna do kwadratu prędkości ciała

Moc urządzenia (maszyny) to wielkość charakteryzująca zdolność wykonywania pracy w jednostce czasu przez to urządzenie

s

Energia ciała w polu sił grawitacyjnych zależy od położenia tego punktu - jest to energia potencjalna

Energia potencjalna w punkcie A względem punktu B jest to praca, jaką wykonuje siła pola grawitacyjnego przy przemieszczeniu ciała z punktu A do punktu B

E_p = mgh

W układzie odizolowanym wartość energii mechanicznej jest stała

---