Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I


Wykład 16

  1. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I

    1. Prawo gazów doskonałych

Gaz doskonały:

W wyprowadzeniu prawa gazów doskonałych będziemy traktować cząsteczki gazu jako N małych, twardych kulek zamkniętych w pudełku o objętości V. Kulki są twarde tzn. będą zderzały się sprężyście ze ściankami naczynia. Rozważmy jedną cząsteczkę, która zderza się z lewą ścianką naczynia (rysunek). Średnia siła jaką cząsteczka wywiera na ściankę w czasie Δt wynosi

0x08 graphic
0x01 graphic

Zmiana pędu spowodowana zderzeniem ze ścianką wynosi

Δpx = mvx - ( - mvx) = 2mvx

Ponieważ czas pomiędzy kolejnymi zderzeniami z tą ścianką wynosi

Δt = 2l/vx

gdzie l jest odległością między ściankami, to

0x01 graphic

jest średnią siłą działającą na ściankę (na jedną cząstkę).

Dla N cząstek całkowita siła wynosi

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest to 0x01 graphic
uśrednione po wszystkich cząsteczkach (średnia kwadratu). Dzieląc obie strony równania przez pole powierzchni ścianki S otrzymujemy ciśnienie

0x01 graphic

czyli

0x01 graphic
(16.1)

Jak widać iloczyn pV jest stały tak długo jak długo jest stała energia kinetyczna cząstek (prawo Boyle'a - Mariotta).

Zauważmy, że

0x01 graphic

Ponadto, ponieważ cząstki zderzają się w taki sam sposób ze wszystkimi sześcioma ściankami naczynia więc

0x01 graphic

więc

0x01 graphic

Teraz otrzymujemy równanie wyrażone przez v a nie przez vx

0x01 graphic
(16.2)

Ponieważ Nm = M (masa gazu), oraz M/V = ρ więc równanie powyższe można przepisać w postaci

0x01 graphic
(16.3)

    1. Temperatura

Zdefiniujmy temperaturę bezwzględną jako wielkość wprost proporcjonalną do średniej energii kinetycznej cząstek

0x01 graphic
(16.4)

gdzie k jest stałą Boltzmana k = 1.38·10-23 J/K.

Eliminując 0x01 graphic
z równań (16.2) i (16.4) otrzymujemy

pV = NkT

lub

pV = nRT (16.5)

gdzie n jest liczbą moli (R = kNAV). Przypomnijmy, że stała Avogadra NAv = 6.023·1023 1/mol, określa liczbę cząsteczek w jednym molu.

Wyrażenie (16.5) przedstawia równanie stanu gazu doskonałego.

Równanie stanu gazu doskonałego zostało sformułowane w XIX w. przez Clapeyrona na podstawie trzech praw empirycznych odkrytych wcześniej przez innych badaczy: