Testy nieparametryczne

TEST PORÓWNUJĄCY DWIE PRÓBY, KTÓRE NIE SĄ ZGODNE Z ROZKŁADEM NORMALNYM.

tEST U MaNNA-wHITNEY'A

Test ten jest nieparametrycznym testem, który może być użyty zamiast testu t dla prób niezależnych. Przy pomocy tego testu można zweryfikować hipotezę, że dwie próby pochodzą z tej samej populacji (mają jednakowe mediany). Inaczej mówiąc czy obserwacje jednego zbioru są większe od obserwacji drugiego zbioru.

Załóżmy że mamy obserwacje z dwóch prób (x₁, x₂,…,x_n) oraz (y₁,y₂,… y_m) Porównujemy każdą wartość x_i z pierwszej próby z każdą wartością y_j z drugiej próby. Ilość takich porównań wynosi
. Jeżeli obie populacje mają tę sama medianę wówczas każde x_i ma jednakową szansę być większym od y_j.

Stawiamy hipotezę zerową

przy hipotezie alternatywnej

Liczymy ile razy x_i jest większe od y_j i oznaczamy to przez U_X Podobnie ile razy x_i jest mniejsze od y_j i oznaczamy to przez U_Y.

Można to zrobić przy pomocy następującej procedury: Należy wszystkie wartości z obu prób ustawić w rosnący ciąg i każdą podpisać z którego zbioru pochodzi. Następnie pod każdą z wartości podpisać ile wartości z drugiej próby jest poniżej jej. Sumując te wartości otrzymujemy U_X i U_Y. Należy zauważyć, że U_X + U_Y =m•n

Wyznaczamy U=min(U_X , U_Y)

Wartość porównujemy z tablicami U-Manna-Whitneya

Dla dużych prób można skorzystać z przybliżenia rozkładem normalnym o średniej
i odchyleniu

Jeżeli istnieją powtarzające się obserwacje wówczas przypisuje się im rangi będące średnią rang tych obserwacji. Przy stosowaniu rozkładu normalnego w takim przypadku należy przyjąć poprawkę na odchylenie standardowe i obliczyć je wówczas jako
przy czym N=n+m,
g -- ilość węzłów (powtarzających się wartości) t_j - ilość wartości w węźle

dotyczące: zgodności z rozkładem teoretycznym, niezależności, zgodności dwóch rozkładów empirycznych, losowości

Test zgodności z rozkładem teoretycznym

H₀ : F(x)=F₀(x), tzn. rozkład F(x), z którego pochodzi próba pokrywa się z pewnym rozkładem teoretycznym F₀(x),

H₁ : F(x)F₀(x), tzn. rozkład F(x), z którego pochodzi próba jest różny od rozkładu teoretycznego F₀(x),

gdzie:

F(x)-dystrybuanta rozkładu empirycznego badanej cechy,

F₀(x)-określona postać teoretyczna dystrybuanty.

Sprawdzian testu:
,

gdzie:

n_i  - liczebność i-tej klasy, (i=1,2,3,..,r),
,

p_i  - prawdopodobieństwo, że wartość cechy o rozkładzie F₀(x) będzie należała do i-tej klasy,

np_i - liczebność teoretyczna i-tej klasy, tzn. liczebność i-tej klasy przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀.

Jeżeli weryfikowana hipoteza jest prawdziwa, to sprawdzian testu ma przy
n rozkład
 o (r-s-l) stopniach swobody, gdzie s jest liczbą szacowanych parametrów rozkładu z próby.

Obszar odrzucenia
.

Średnia wartość n_i nie powinna być mniejsza od 10 i liczba klas r nie mniejsza od 5.

Test niezależności

Dwie cechy X i Y (niekoniecznie mierzalne).

H₀: obie cechy są niezależne, tzn.: H₀: 
,

H₁: obie cechy są zależne, tzn. H₁: 
,

Sprawdzian testu 
,

gdzie

n_ij - liczebność elementów z i -tej grupy według cechy X (i =1,2,...,r) i  j-tej grupy według cechy Y (j=1,2,...,s),

 - teoretyczna liczebność klasy przy założeniu niezależności cech,

	yj
xi	y1	y2	...	ys
x1	n11	n12	...	n1s	n1.
x2	n21	n22	...	n2s	n2.
...	...	...	...	...	...
xr	nr1	nr2	...	nrs	nr.
	n.1	n.2	...	n.s	n

Obszar odrzucenia
,

gdzie
jest wartością odczytaną dla  i (r-1)(s-1) stopni swobody.

Przykład

Opierając się na przedstawionych poniżej wynikach ankiety przeprowadzonej wśród losowo wybranej 1000-osobowej grupie uczniów szkół licealnych w Łodzi należy sprawdzić, czy fakt sprawiania trudności wychowawczych w szkole przez młodzież jest związany z częstością spożywania alkoholu w domu. Przyjmując poziom istotności 0,05.

	Jak często spożywa się alkohol w domu ucznia? [nij]				Razem
Czy uczeń sprawia trudności wychowawcze?	w ogóle nie	bardzo rzadko	raz w miesiącu	częściej	ni
Tak	110	500	150	40	800
Nie	40	100	50	10	200
Razem   nj	150	600	200	50	1000

H₀: fakt sprawiania trudności wychowawczych przez młodzież nie zależy od częstości spożywania alkoholu w domu;

H₁: fakt sprawiania trudności wychowawczych przez młodzież zależy od częstości spożywania alkoholu w domu.

Czy uczeń sprawia trudności wychowawcze?	Jak często spożywa się alkohol w domu ucznia?				Razem
	w ogóle nie	bardzo rzadko	raz w miesiącu	częściej	ni
Tak	120	480	160	40	800
Nie	30	120	40	10	200
Razem nj	150	600	200	50	1000

 

Warianty cechy X i Y					Razem
	w ogóle nie	bardzo rzadko	raz w miesiącu	częściej	ni
Tak	-10	20	-10	0	0
Nie	10	-20	10	0	0
Razem nj	0	0	0	0	0

 

Warianty cechy X i Y					Razem
	w ogóle nie	bardzo rzadko	raz w miesiącu	częściej	ni
Tak	0,83	0,83	0,63	0,00	2,29
Nie	3,33	3,33	2,50	0,00	9,17
Razem nj	4,17	4,17	3,13	0,00	11,46

Z tablic rozkładu ² odczytujemy wartość krytyczną

dla poziomu istotności
 i (2-1)(4-1)=3 stopni swobody:
. Mamy zatem:
, czyli hipotezę H₀ odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej H₁.

Można sądzić przy prawdopodobieństwie błędu 5%, że fakt sprawiania trudności wychowawczych w szkole przez młodzież jest związany z częstością spożywania alkoholu w domu.

Test zgodności dwóch rozkładów empirycznych (t. serii)

Dane są dwie próby o liczebnościach odpowiednio równych n₁ i n₂, pochodzące z populacji generalnych, co do których nie ma pewności, czy rozkład cechy X jest w nich identyczny.

H₀: dwie próby pochodzą z populacji o jednakowym rozkładzie, tzn. F₁(x)=F₂(x),

H₁: dwie próby różnią się istotnie rozkładem, a więc F₁(x)F₂(x).

Obliczanie sprawdzianu testu k:

wyniki obu prób porządkujemy w jeden ciąg według rosnących wartości,

przyporządkowujemy elementom tego ciągu symbol a, jeśli pochodzą z pierwszej próby lub b, jeśli z drugiej i łączymy kolejne jednakowe znaki w serie, które liczymy i uzyskujemy w ten sposób liczbę serii k - sprawdzian testu.

Obszar odrzucenia jest
, gdzie k - wartość krytyczna z tablic rozkładu serii dla ustalonego poziomu istotności oraz dla odpowiednich n₁ i n₂ (liczebności prób) taka by zachodziła równość
.

Jeżeli ta sama wartość cechy X występuje w obu próbach należy przyjąć takie uporządkowanie symboli a i b, przy którym liczba serii jest mniejsza.

Przykład

Korzystając z Biuletynu Statystycznego z IV`97 otrzymano następujące dane dotyczące spożycia ryb (w kg/osobę) w wylosowanych rodzinach zamieszkujących:

miasta: 4,5; 8,2; 3,2; 6,6; 5,8; 9,4; 9,8; 5,6; 7,2; 7,8; 6,4; 8,4     oraz

tereny wiejskie: 2,2; 0,8; 2,6; 1,4; 1,5; 3,9; 4,6; 3,0.

Sprawdzić na poziomie istotności 0,025, czy spożycie ryb wśród rodzin zamieszkujących miasta i wsie istotnie różni się.

H₀: spożycie ryb wśród rodzin zamieszkujących miasta i wsie nie różni się istotnie,

H₁: spożycie ryb wśród rodzin zamieszkujących miasta  i wsie istotnie różni się.

 Podane wartości porządkujemy w szereg niemalejący i pod każdą daną oznaczamy, z której próby pochodzi (a -miasto, b- wieś):

 

k=6

 Na poziomie istotności =0,025 i dla liczebności prób n₁=12 i n₂=8  wartość odczytana z tablic rozkładu serii wynosi
,
.

, należy zatem odrzucić hipotezę H₀ na rzecz hipotezy alternatywnej H₁. Spożycie ryb wśród rodzin zamieszkujących miasta i wsie różni się istotnie.                                               

Test weryfikujący hipotezę o losowości próby (medianowy)

Próba: n obserwacji
 pobrana w pewien sposób z populacji o dowolnym rozkładzie

H₀:  próba ma charakter losowy,

H₁: próba nie ma charakteru losowego.

Obliczanie sprawdzianu testu k:

   wyznaczenie mediany z próby Me,

   przyporządkowanie każdemu elementowi próby x_i, według kolejności pobierania elementów do badania, symbolu a - jeśli x_i<Me, bądź symbolu b, jeśli x_i>Me, (wyniki x_i=Me można pominąć),

   z ciągu symboli a i b wyznaczamy ogólną liczbę serii k.

Obszar odrzucenia:
, gdzie
.

dla n₁ i n₂ (liczebności odpowiednio symboli a i b)

Przykład

Przeprowadzając badanie pracowników pewnego zakładu produkcyjnego z punktu widzenia stażu pracy, otrzymano następujące wartości tej cechy (w latach) dla kolejno wybranych pracowników: 5, 7, 4, 9, 11, 1, 18, 18, 3, 10, 6, 22, 13, 23, 3, 2, 2, 9, 11, 4, 20, 8, 30. Sprawdzić, czy otrzymana próba jest próbą losową na poziomie istotności 0,05.

H₀: pobrana próba ma charakter losowy,

H₁: pobrana próba nie jest próbą losową.

Wyznaczamy medianę z próby: w tym celu porządkujemy ciąg niemalejąco, czyli

1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 13, 18, 18, 20, 22, 23, 30.

n=23,
.

Wartość cechy x_i=9 pomijamy, zatem mamy próbę n=21-elementową. Każdej wartości próby x_i według kolejności pobierania elementów do badania przyporządkowujemy symbol a - jeśli x_i<Me, bądź symbol b jeśli x_i>Me. Otrzymujemy następujący ciąg:

Liczebność symboli a wynosi n₁=11, natomiast symboli b - n₂=10.

k=14

Odczytane wartości z tablic wynoszą odpowiednio k₁=6, a k₂=16.

, a więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.

Test mediany dla dwóch populacji

Dwie próby o liczebnościach n₁ i n₂ z dwóch populacji generalnych o dowolnych dystrybuantach rozkładów F₁(x) i F₂(x).

Hipoteza o zgodności rozkładów:

H₀: F₁(x)=F₂(x),

H₁: F₁(x)F₂(x).

1.     z wyników obu prób należy wyznaczyć łączną medianę (Me),

2.     wszystkie obserwacje należy zgrupować w tablicę czteropolową:

Obserwacje	Próba I	Próba II	Razem
>Me	n11	n12	n1
<=Me	n21	n22	n2
Razem	n1	n2	n

3.   tablicę tę należy potraktować jak tablicę niezależności i wyznaczyć wartość statystyki
, tak jak miało to miejsce w teście niezależności
; statystyka ta ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ asymptotyczny rozkład
o jednym stopniu swobody,

4.     z tablic rozkładu
 dla ustalonego poziomu istotności i jednego stopnia swobody odczytujemy wartość krytyczną
 taką, że
,

5.    
_.

Test znaków

Dwie populacje generalne o ciągłych rozkładach i dystrybuantach F₁(x) i F₂(x), z których wylosowano n parami odpowiadających sobie elementów.

H₀: dwie próby pochodzą z populacji o jednakowym rozkładzie, tzn. F₁(x)=F₂(x),

H₁: dwie próby różnią się istotnie.

Weryfikacja hipotezy H₀ testem znaków przebiega następująco:

1.     badamy znak różnicy par wyników w obu próbach i znajdujemy liczbę tych znaków, których jest mniej (jeśli są w próbie pary o identycznych wartościach, to nie rozważamy ich w teście), tzn. r = min(r^-,r⁺), gdzie r^- i r⁺ oznaczają odpowiednio liczbę znaków ujemnych i dodatnich różnic rozważanych par wyników,

2.     z tablic rozkładu liczby znaków odczytujemy dla liczby par wyników n oraz przyjętego poziomu istotności taką wartość krytyczną r, że
,

3.     obszar odrzucenia ma postać
,

4.     jeżeli
, to odrzucamy hipotezę H₀ na rzecz hipotezy alternatywnej, w przeciwnym przypadku tzn. gdy
 brak podstaw do odrzucenia hipotezy, że obie próby pochodzą z jednej populacji.

---