EKONOMETRIA I PROGNOZOWANIE PROCESÓW EKONOMICZNYCH - WYKŁADY

Wykład z dnia 17.05.2014 r.

Analityczne wyrównanie

Do drugiej grupy należą metody pod ogólną nazwą analitycznego wygładzania. W podstawie tych metod leży hipoteza, że badamy szereg czasowy y₁ , y₂, … , y_n . Ma pełną regułę czyli trend , który można określić pełną funkcją : y_t = f(t).

Odnotujemy, że czas ten jest tutaj rozpatrywany jak niezależna zmienna a poziomy szeregu czasowego y_i , i = 1,2, …,n są funkcjami tej niezależnej zmiennej. Przy tym w badaniach ekonomicznych uważa się niewykorzystanie dla określenia trendu funkcji z wielką ilością parametrów (wielomian dużego rzędu). Takie funkcje będą określać losowe drgania a nie podstawowe tendencje szeregu czasowego. Przy konstrukcji i modeli prognozy na podstawie y_t = f(t) uważa się, że poziomy szeregów czasowych odzwierciedli oddziaływanie wielu czynników na socjalną ekonomiczną procesu. Ekstrapolacja y_t = f(t) daje możliwość dostać wartość prognozy w konkretnym punkcie tzn. otrzymać punktowy progres. Takie oszacowanie jest szeregiem oszacowania dla prognozowania okresu tak jak faktyczny poziom szeregu czasowego. Prawie nigdy nie są te same co teoretyczne czy normatywne wartości

Określone na podstawie modeli prognozy to warto też określić przedziały ufności prognozy.

Takie przedziały są określone wzorem :

gdzie:

- teoretyczna wartość prognozowanej

- współczynnik prawdopodobieństwa obliczany przy danej wartości α i danej liczby

stopniu wolności (=2) z tablicami t - rozkładu czy tablicami Studenta

n - objętość szeregu czasowego

α - przedział prognozowanej

n + α - średnie kwadratowe odchylenie trendu

Będziemy rozpatrywać najprostsze konstrukcje trendu na podstawie ekstrapolacji liniowej i parabolicznej funkcji.

W jednym z najprostszych podejść do konstrukcji trendu jest metoda najmniejszych kwadratów.

Szereg czasowy

Y₁ , Y₂ , … , Y_n (1)

Y_n - objętość szeregu czasowego

Przypuszczamy, że poziomy szeregu czasowego są dane w jednakowych okresach czasu.

t_i - t_i-1 = t_j - t_j-1

Przypuszczamy dalej, że podstawowa tendencja dynamiki dość dobrze jest opisana przez pewien wielomian p -tego rzędu.

(2)

a_i - parametry wielomianu

t² - czas

Na podstawie metody najmniejszych kwadratów niewiadome parametrów są otrzymywane na podstawie:

Podstawiając równanie 4 pod 3 otrzymujemy :

Z matematyki wiadomo, że funkcja z wieloma zmiennymi 5 będzie przyjmować wartości minimalne w tych punktach w których pochodne cząstkowe po odpowiednich parametrach są równe zero, tzn. że niewiadome parametry a₀ , a₁ , a₂ są rozwiązaniem niewiadomego układu równań:

Po wykonaniu operacji różniczkowania otrzymujemy :

Po prostej transformacji w układzie 7 otrzymujemy :

} (8)

Układy równań 8 nazywa się normalnym układem równań dla znalezienia niewiadomych parametrów a₀ , a₁ , a₂.

Rozpatrzymy wypadki szczególnych układów normalnych (8).

p = 1

tzn. że tendencja trendu ma postać liniową

Dla znalezienia niewiadomych parametrów a₀ , a₁ wypisujemy normalny układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Układy równań 10 i 12 można istotnie uprościć jeśli zamiast zwykłego czasu t_i wziąć uogólniony czas
, który powinien spełnić warunki:

Tzn. że sumy uogólnionych czasów z nieparzystymi potęgami powinny być równe zero. Na podstawie tej zamiany zamiast układu 9, 10 otrzymujemy :

Na podstawie tej samej zamiany wypisujemy otrzymany układ

Rozpatrzymy teraz interpretację ekonomiczną parametru trendu.

Wartość parametru trendu a₁ , przedstawia szybkość zmiany podstawionej tendencji dynamiki czyli szybkości zmiany trendu.

Wartość parametru trendu a₂ przedstawia przyśpieszenie zmiany podstawionej tendencji dynamiki czyli przyśpieszenia zmiany trendu.

Dla wartości parametru trendu a₀ nie ma żadnej interpretacji ekonomicznej. Podobno nie ma interpretacji dla parametru a₃ , a₄ itd.

1. Oceny prognozy przedstawione na podstawie liniowej metody trendu

2. Oceny prognozy przedstawione na podstawie

---