Pochodna właściwa f-cji -

F '(x0)=lim(x->x0)[(f(x)-f(x0))/x-x0]

Równanie stycznej do wykr f-cji w p(x0,f(x0)) -

Y=f(x0)+f '(x0)(x-x0)

Kąt przecięcia wykr f-cji - punkt wpsólny (x0,y0), mają pochodne właściwe w x0

α = arctg|(f `(x0)-g`(x0))/(1+f `(x0)g'(x0))|

War kon istnienia poch właściwej - jeżeli f-cja ma poch właśc.w punkcie to jest ciągła w tym punkcie

War kon i dostateczny ist poch - f `-(x0)=f `+(x0)

Poch niewłaściwa - lim+/-(x->x0)[(f(x)-f(x0))/(x-x0)]= +/- niesko

O poch f-cji złożonej - jeżeli * f-cja f ma poch właśc. X0, *f-cja g ma poch właśc. w (x0)

(g o f)'(x0)= g'(f(x0))f ` (x0)

Wzór Leibniza - jeżeli f-cje f i g mają pochodne właść n-tego rzędu w x0 to:

(f*g)n'(x0)= {n}E{k=0}(n nad k)f(n-k')(x0)*g(n)(x0)

Asymptoty

F-cja może mieć as. pion w skonczonych krancach D, które do niej nie naleza *ukosne w -∞ lub ∞ D jest nieograniczona z dolu lub (odp do ∞) gory. y=Ax+B

A=lim(x->∞) f(x)/x B=lim(x->∞) f(x)-x

TW Rolle'a - jeżeli f-cja f spełnia warunki: * ciągła na [a,b] *ma poch właść lub niewłaść na (a,b)*f(a)=f(b) to istnieje c w (a,b) że f `(c)=0

TW Lagrange'a - jeżeli f-cja f spelnia warunki: *ciągła na [a,b] *ma poch właść lub niewłaść na (a,b) to istnieje c w (a,b) ze: f `(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]

Monotoniczność - *f '(x)=0 stała * f '(x)>0 rosn

*f '(x)=>0 niemale *f '(x)<0 male *f '(x)<=0 nierosn

TW Couchy'ego - jeżeli f-cje f i g speł war: *są ciągłe na [a,b] *mają poch właść/niewłaść na (a,b) to istnieje c (a,b) że [f `(c)/g'(c)]=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]

TW de L'Hospitala dla nieoznacz - jeżeli f-cje fi g spełniaja war: *lim{x->x0}f(x)=lim{x->x0}g(x)=0 lub niesk przy czym g(x)<>0 *istnieje lim{x->x0}[f '(x)/g'(x)] to lim{x->x0}[f(x)/g(x)]=

lim{x->x0}[f `(x)/g'(x)]

Tożsamości zmieniające rodzaj nieoznaczoności

0*∞ f*g=f/(1/g) 0/0 ∞/∞

∞-∞ f-g= [(1/g)-(1/f)]/(1/f*g) 0/0

1^∞, ∞^0, 0^0 f^g=e^glnf 0*∞

Taylor + reszta Lagrange'a

F(x)=f(x0)+…+([f{n-1}(x0)]/(n-1)!)+(x-x0)^{n-1}+R

R= [f{n}(c)]/(n)!)+(x-x0)^{n}

TW Fermata, war konie istnienia ekstr - jeżeli

f-cja f ma: *ekstra lokalne w x0 *pocho f `(x0) to

f `(x0)=0

I warunek wystar istnienia ekstra - jeżeli f-cja f spełnia war: *f `(x0)=0 *1f `(x)>0 dla każdego x S(x0-,b) 2 f `(x)<0 dla każdego x S(x0+,b)

To w x0 ma maksimum lokalne właść

II warunek wystar istnienia ekstra - jeżeli f-cja f spełnia war: *f `(x0)=f `'(x0)=…=f{n-1}(x0)=0 **f{n}(x0)<0 ***n jest liczbą parzystą =>2 to w x0 ma max lok właśc.

Jeżeli ** = f{n}(x0)>0 to f-cja ma min w x0, ***= n jest nieparz a ** f{n}(x0)<>0 to nie ma ekstrem w x0

Punkty przegięcia - niech f będzie określona na otoczeniu x0, ponadto niech f ma tam poch włąść lub niewłaść, punkt (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia wykres f-cji f istnieje d>0 taką, ze f jest ściśle wypukła na S(x0-,d) oraz ściśle wklęsła na S(x0+,d) albo jest odwrotnie

War konieczny istnienia punktu przegięcia - jeżeli f-cja f spełni war: *(x0,f(x0)) jest jej punktem przegięcia *istnieje F `'(x0) to f `'(x0)=0

I warunek wystar istnienia p przegięcia - jeżeli f spełnia warunki *f `'(x)<0 dla każdego x S(x0-,d)

**f `'(x)>0 dla każdego x S(x0+,d) to (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia jej wykresu

II warunek wystar istnienia p przegięcia - jeżeli f spełnia warunki: *f `'(x0)=f `''(x0)=…=f{n-1}(x0)=0

**f{n}(x0)<>0 ***n jest nieparz =>3 to (x0,f(x0)) jest p przegięcia wykresu

jeśli ***= n jest parz to (x0,f(x0)) nie jest p przegięcia

badanie f-cji

* dziedzina *parzystość, nieparz, miejsca zer, ciągłość *granice na krańcach Df *asymptoty *pierwsza pochodna (dziedzina, punkty w których których może mieć ekstra, monoton, ustalenie ekstra f-cji, oblicz granic pochodnej na krańcach dziedziny) *2 pochodna (dziedzina, miejsca w której mogą być p przegięcia, przedziały wklęsłości/wypukłości, punkty przegięcia, oblicz 1 poch w p przegięcia) *wykres

CALKI

Tw Newtona-Leibniza

∫a-b∫f(x)dx=[(F(x)]|a-b|=F(b)-F(a)

Całka oznaczona

∫a-b∫f(x)dx= |n->∞|lim[((b-a) / n) * ∑f *(a+ i((b-a)/n)]

Pole ograniczone wykresami d(x) i g(x)

|D|= ∫a-b∫ ( g(x)-d(x) )dx g-górna,d-dolna

Długośc łuku y=f(x)

|r|=∫a-b∫ sqrt(1+[f``(x)]²)dx

Objetosc bryly, obrot wykresu y=f(x)

|V|=Π ∫a-b∫f ²(x)dx

Ogolne wzory

∫dx / x = ln|x|

∫dx / sin²x = -ctgx

∫-dx / 1+x² = arcctgx

∫(a^x)dx = (a^x) / lna

∫dx / 1+x² = arctgx

∫dx / sqrt(1-x²) = arcsinx

---