Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu

D

c

C₁

d D₁ C

B₁ b

A A₁

a B

Aby w czworokąt można było wpisać okrąg, sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta muszą być równe.

a + c = b + d

Dowód twierdzenia:

Założenie: ABCD - czworokąt opisany na okręgu

Teza: a + c = b + d

Dowód:

a + c = |AB| + |DC|

Podzielmy odcinki |AB| i |DC| punktami A₁ i C₁:

a + c = (|AA₁| + |BA₁|) + (|DC₁| + |CC₁|) (*)

Z twierdzenia o stycznych do okręgu wychodzących z jednego punktu (długości odcinków od punktu, z którego wychodzą styczne do odpowiednich punktów styczności są równe) możemy zapisać następujące warunki:

|AA₁| = |AD₁|

|BA₁| = |BB₁|

|DC₁| = |DD₁|

|CC₁| = |CB₁|

Podstawiając odpowiednie odcinki do równania (*) otrzymamy:

a + c = (|AD₁| + |BB₁|) + (|DD₁| + |CB₁|)

Zamieńmy miejscami odcinki, korzystając z przemienności dodawania:

a + c = (|BB₁| + |CB₁|) + (|AD₁ + |DD₁|)

Zauważmy, że (|BB₁| + |CB₁|) i (|AD₁ + |DD₁|) to odpowiednio |BC| i |AD|:

a + c = |BC| + |AD| = b + d

C.N.D.

---