Twierdzenie cosinusów

C

γ

b

a

α β

A B

c

W trójkącie kwadrat długości boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi:

a² = b² + c² - 2bc·cosα

b² = a² + c² - 2ac·cosβ

c² = a² + b² - 2ab·cosγ

Dowód twierdzenia:

Założenie: ABC - dowolny trójkąt

Teza: a² = b² + c² - 2bc·cosα

b² = a² + c² - 2ac·cosβ

c² = a² + b² - 2ab·cosγ

Dowód:

Zilustrujmy trójkąt ABC przy pomocy wektorów:

C

γ

b

a

α β

A B

c

Możemy tak zrobić, bo długość odcinka |AB| to tak naprawdę długość wektora
, więc zamieniając odcinki na wektory, nie tracimy żadnych informacji.

Dygresja:

Wektory dodajemy, przykładając początek następnego wektora do końca poprzedniego. Wynikiem (wypadkową) dodawania jest wektor łączący początek pierwszego wektora z końcem ostatniego.

Wiedząc, w jaki sposób dodajemy wektory, możemy powiedzieć, że:

jako że wektor
łączy początek wektora
z końcem wektora
.

Przekształćmy powyższe równanie, aby po lewej stronie otrzymać wektor
:

Podnieśmy to równanie do kwadratu:

Z własności iloczynu skalarnego dwóch wektorów wiemy, że kwadrat wektora równa się kwadratowi jego długości, zatem:

Podstawmy to do równania z wektorami:

(*)

Obliczmy teraz (korzystając ze wzoru skróconego mnożenia) prawą stronę równania (*):

Tak jak poprzednio, korzystamy z faktu, kwadrat wektora to kwadrat długości. Stąd:

Z definicji iloczynu skalarnego natomiast:

Wróćmy na chwilę do naszego rysunku.

Przesuńmy wektory
i
tak, aby łączyły się początkami, abyśmy mogli ustalić kąt między nimi:

a

b

γ

C

kąty wierzchołkowe

γ

b

a

α β

A B

c

Z powyższego rysunku widać, że kąt pomiędzy wektorami
i
to γ. Zatem:

Podstawmy to do równania (*):

Ponieważ zaś trójkąt ABC jest trójkątem dowolnym, a my nie korzystaliśmy z długości jego boków (ani z własności np. prostopadłości boków), możemy nasz końcowy warunek zapisać dla każdego innego boku, a zatem:

a² = b² + c² - 2bc·cosα

b² = a² + c² - 2ac·cosβ

c² = a² + b² - 2ab·cosγ

C.N.D.

© Marcin Kordasz IVa

---