Geodezja i Geoinformatyka Grupa IV para VI	Nr ćwiczenia 10
Marta Piotrowska	Temat ćwiczenia: WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ
Piotr Łukaszczuk

1. WPROWADZENIE TEORETYCZNE.

Ciało nazywamy sprężystym, jeżeli odkształcenia, wywołane działającymi na nie siłami, znikają zupełnie po usunięciu tych sił.

Ciała doznają odkształcenia postaci gdy działa na nie ciśnienie styczne. Ciśnienie nazywamy stycznym gdy siły działające na dane ciało są styczne do niego.

Odkształcenie to miara deformacji ciała poddanego siłom zewnętrznym. Aby móc mówić o odkształceniu, należy wyróżnić dwa stany ciała: początkowy i końcowy. Na podstawie różnic w położeniach punktów w tych dwóch stanach można wyznaczać liczbowe wartości odkształcenia. Prawo Hooke'a formułuje zależność między naprężeniem a odkształceniem, przy czym naprężenie to miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych występujących w ośrodku ciągłym. Jeżeli naprężenia w ciele są dostatecznie małe ,to wywołane przez nie odkształcenia względne są do nich wprost proporcjonalne.

Deformacje albo sprężyste odkształcenia ciał wywołane działaniem sił zewnętrznych mogą przejawiać się w różnych postaciach. Deformacja może się sprowadzać do prostego wydłużenia, a może to być np. skręcenie. Z jednym z przykładów odkształcenia spotykamy się wówczas, gdy na element objętościowy sprężystego ciała stałego ( którego przekrój jest prostokątem ) o umówionej podstawie działa siła F przyłożona do górnej powierzchni S tegoż elementu i do niej równoległa. Nastąpi wtedy sprężyste odkształcenie, którego miarą będzie kąt zsunięcia płaszczyzn bocznych α. Zgodnie z prawem Hooke'a ciśnienie jest proporcjonalne do odkształcenia, a więc:

, gdzie:

τ - naprężenie styczne

γ - kąt odkształcenia postaciowego

G -współczynnik stały dla danego materiału charakteryzujący jego sprężystość (siła oporu sprężystego), zwany modułem sztywności lub modułem torsyjnym. Jego odwrotność nosi nazwę liczby poślizgowej materiału. Należy pamiętać, że dane ciało sprężyste może mieć kilka współczynników sprężystości zależne od rodzaju odkształcenia, któremu podlega. Jednostka modułu sztywności, zgodnie z powyższym określeniem jest taka sama jak jednostka ciśnienia tj.
lub
. Moduł sztywności jest to tzw. moduł Kirchhoffa i jest on współczynnikiem sprężystości poprzecznej. Współczynnikiem sprężystości wzdłużnej jest tzw. moduł Younga. W zastosowaniach technicznych i naukowych najczęściej spotykamy współczynnik sztywności wtedy, gdy ciało cylindryczne, np. drut o średnicy 2r i długości l umocowane jest górnym końcem, a na dolnym końcu poddane działaniu sił w płaszczyźnie prostopadłej do osi walca. Siły te działają równolegle do powierzchni przekroju poprzecznego, są rozłożone równomiernie na całej powierzchni, a kierunek ich jest styczny do koła przekroju. Rozłożone na poszczególne elementy przekroju działanie wszystkich tych sił, usiłujących obracać ciało naokoło osi, można zastąpić działaniem pary sił o sumie równej 2F. Ta para sił wywiera ciśnienie styczne do danego przekroju równe:

.

Pod działaniem tego ciśnienia zachodzi w elementach całego pręta odkształcenie polegające na skręcaniu, którego miarą jest kąt Δα. Zatem:

.

Pamiętać tu należy, że nie dla wszystkich elementów pręta odkształcenie jest jednakowe. W środku pręta wzdłuż osi równa się zero, a w miarę zbliżania się ku zewnętrznemu obwodowi przekroju odkształcenie rośnie proporcjonalnie do promienia. Zatem wzór powyższy określa odkształcenie warstw zewnętrznych. Odkształcenie średnie będzie równe połowie odkształcenia zewnętrznego, otrzymujemy więc:

.

Podstawiając wprowadzone oznaczenia do wzoru początkowego możemy zapisać:

,

gdzie G jest to moduł sztywności na skręcanie.

Do wyznaczenia modułu sztywności posługujemy się w tym ćwiczeniu tzw. wahadłem torsyjnym. Jest to umocowana na osi bryła, która skręcana od położenia równowagi, porusza się ruchem wahadłowym harmonicznym, pod wpływem siły sprężystości. Typowym przykładem takiego wahadła może być koło balansowe zegara sprężynowego. Źródłem siły sprężystości jest w nim sprężyna. Koło skręcane od położenia równowagi o kąt ϕ waha się w granicach skrajnych położeń. Można wykazać, że istnieje podobieństwo między ruchem wahadła fizycznego, a wahadła torsyjnego. W jednym i drugim wahadle o okresie drgań T decyduje moment bezwładności bryły oraz siła kierującą, którą w wahadle fizycznym jest siła ciężkości, a w wahadle torsyjnym siła sprężystości. Z tego wynika, że ruchy drgające brył sztywnych mogą być wywołane nie tylko siłą ciężkości. Mogą one powstać pod działaniem innych sił, jak np. sił sprężystości wywołanych odkształceniem, sił magnetycznych lub elektrycznych. My w tym ćwiczeniu wykorzystujemy ruch drgający wywołany siłami sprężystości.

Gdy odkształcenie jest sprężyste, ciało będzie wykonywało drgania obrotowe o okresie:

gdzie:

I - moment bezwładności ciała

D - moment kierujący

Moment kierując D zależny jest od modułu sztywności G i geometrycznych wymiarów ciała:

Ostatecznie otrzymujemy:

Korzystając z powyższego wzoru wyznaczymy moment sztywności G, który jest związany bezpośrednio z okresem drgań T. Wcześniej należy jeszcze wyliczyć moment bezwładności I. W tym celu przeprowadzamy doświadczenie ze wspomnianym wcześniej wahadłem torsyjnym. Drut mocujemy jednym końcem w uchwycie A natomiast drugi koniec w uchwycie krzyżaka B. Skręcając o pewien kąt krzyżak, w wyniku siły sprężystości drutu krzyżak będzie wykonywał drgania w płaszczyźnie poziomej. Mierzymy okresy drgań dla dwóch różnych momentów bezwładności krzyżaka. W tym celu stosujemy cztery ciężarki o jednakowych masach. Umieszczamy je w odległości d₁ od osi obrotu krzyżaka i dokonujemy pomiaru okresu T₁. Potem umieszczamy ciężarki w odległości d₂ i mierzymy okres T₂.

gdzie I_k to moment bezwładności krzyżaka

2. WYKONANIE POMIARU.

T1 [s]	T1śr [s]	T2 [s]	T2śr [s]	m [kg]	l [m]	r [m]	G [N/m^2]

---