ALGEBRA BOOLE'A

    Algebra Boolea' operuje zmiennymi dwuwartościowymi (a,b,c...) o wartościach 0 oraz 1. Wprowadza ona trzy nowe operacje (funkcje), których argumentami i wynikami są zawsze elementy 0 i 1.  Operacje te są zdefiniowane w sposób następujący:

Suma logiczna (alternatywa, dysjunkcja) jest równa jedności, gdy którykolwiek ze składników jest równy jedności. Sumę argumentów a i b oznacza się jako a+b.

Iloczyn logiczny (koniukcja) jest równy jedności, gdy wszystkie czynniki są równe jedności. Iloczyn argumentów a i b oznacza się przez a·b lub krócej ab.

Negacja (dopełnienie) jest działaniem jednoargumentowym i jest równa jedności, gdy argument ma wartość zero. Negację oznacza się jako !a i czyta "nie a" .

Stosowane są także inne operatory działań boolowskich, np suma avb, iloczyn a^b. W technice zazwyczaj stosuje się symbole zwykłej sumy i iloczynu z uprzednim zaznaczeniem, czy chodzi o operacje arytmetyczne czy logiczne.

Podane definicje można również zapisać w postaci tablicy:

a   b	a+b	ab	!a
0   0 0  1 1  0 1  1	0 1 1 1	0 0 0 1	1 1 0 0

Z powyższych zapisów wynikają pewne ogólniejsze prawa, które zapiszemy:

a+b=b+a

a(b+c)=ab+bc

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=a

a+1=1

a+!a=1

ab=ba

a+bc=(a+b)(a+c)

(ab)c=a(bc)

a1=a

a0=0

aa!=0

!!a=a

Prawo de Morgana odgrywa szczególną rolę w operacjach logicznych, gdyż umożliwiają zamianą trudniejszych wyrażeń na te prościej realizowalne

Prawo de Morgana ma postać:

!(a+b)=!a!b

INNE FUNKCJE LOGICZNE

 Oprócz sumy, iloczynu i negacji w zastosowaniach praktycznych duże znaczenie mają również inne funkcje, które wprawdzie można zapisać za pomocą operacji boolowskich, ale dogodniej je nazwać i oznaczyć odrębnie.

Funkcja Pierce'a a↓b ma wartość 1, jeżeli a=0 i b=0. W zapisie boolowskim funkcja ta wyrazi się zależnością:

a↓b=!a!b=!(a+b)

 Funkcja ta w zapisie boolowskim jest "negacją sumy" stąd ona jak i jej funktor (element realizujący funkcję) występuje zwykle pod nazwą NOR (ang. Not-OR).

 Funkcja Scheffera a|b ma wartość 1, jeśli a=0 lub b=0. W zapisie boolowskim funkcja ta wyrazi się zależnością

a|b=!a+!b=!(ab)

Funkcja ta w zapisie boolowskim jest "negacją iloczynu" stąd ona i jej funktor występuje zwykle pod nazwą NAND (ang. Not-AND).

 Suma modulo 2 (różnica symetryczna, nierównoważność) a%b ma wartość 1, gdy tylko jeden argument ma wartość 1.

 Funkcja ta jak i funktor ją realizujący nazywana jest Ex-OR (alternatywa wykluczająca)

---