TEORIA ABBEGO

• Zastosujmy teorię dyfrakcji do opisu sposobu powstawania obrazu w mikroskopie:

• Oświetlacz typu Köhlera tworzy równoległą wiązkę światła, padającą na obserwowany obiekt (płaszczyzna
  );

• Pole widzenia ograniczone jest przez przesłonę
  ;

• Przysłona
  ogranicza rozbieżność kątową wiązki oświetlającej.

TEORIA ABBEGO - c.d.

• Załóżmy, że przedmiot stanowi sinusoidalna siatka o częstości przestrzennej
. Jej transmitancja opisana jest wzorem:

gdzie
.

• Jak już wiemy, płaska fala, padając na tak określoną strukturę, tworzy dwie wiązki ugięte pod kątami zależnymi od częstości przestrzennej przedmiotu:

• W płaszczyźnie ogniskowej obrazowej obiektywu
wiązki te skupiają się, tworząc obraz dyfrakcyjny przedmiotu. Obserwujemy trzy punkty (reprezentujące trzy fale):

• środkowy, reprezentujący „zerową” częstość przestrzenną, czyli tło;

• dwa boczne punkty, reprezentujące częstość przestrzenną
  .

Te trzy fale tworzą następnie obraz „podobny” do przedmiotu w płaszczyźnie
.

TEORIA ABBEGO - c.d.²

• Jeśli nawet przedmiot nie jest sinusoidalną siatką, możemy przyjąć że jest periodyczny z okresem
i zastosować rozkład Fouriera do jego transmitancji:

• Fala świetlna, padająca na taki przedmiot, ulega dyfrakcji i tworzy szereg fal płaskich, ugiętych pod kątami:

• Każda z tych wiązek po przejściu przez obiektyw skupia się w jego tylnej płaszczyźnie ogniskowej w innej odległości
os osi:

W płaszczyźnie tej tworzy się więc obraz dyfrakcyjny przedmiotu - szereg punktów świecących o natężeniach zależnych od współczynników w rozwinięciu Fouriera. Z dodania (interferencji) tych fal powstaje obraz geometryczny (w płaszczyźnie
).

TEORIA ABBEGO - c.d.³

• Nawet w przypadku przedmiotu nieperiodycznego możemy zastosować transformatę Fouriera. Fala płaska, padająca na przedmiot o dowolnej transmitancji amplitudowej
, ulega dyfrakcji i w płaszczyźnie ogniskowej obrazowej soczewki odwzorowującej otrzymujemy rozkład amplitudy świetlnej, opisany transformatą Fouriera:

Przejście światła od płaszczyzny obrazu dyfrakcyjnego do płaszczyzny obrazu geometrycznego opisuje odwrotne przekształcenie Fouriera:

a więc obraz jest podobny do przedmiotu.

TEORIA ABBEGO - c.d.⁴

• Jak dotychczas, otrzymane wyniki (tworzenie obrazu) są analogiczne do tych, osiągniętych za pomocą teorii geometrycznej! Na czym więc polegają różnice (ograniczenia) teorii dyfrakcyjnej?

• Nawet wtedy, gdy apertura obiektywu jest bardzo duża, jest ona zawsze skończona. Nie wszystkie wiązki światła, ugięte na przedmiocie, trafią więc do obiektywu i zostaną skupione w płaszczyźnie obrazu dyfrakcyjnego. Oznacza to, że w drugiej części procesu tworzenia obrazu (transformata odwrotna) weźmie udział tylko skończona liczba fal składowych. Obliczanie odwrotnej transformaty Fouriera odbędzie się w skończonych granicach a więc otrzymany wynik musi się różnić od „idealnego”. Pewna część informacji o przedmiocie, zawarta w składowych harmonicznych o wysokich częstościach przestrzennych nie zostanie odtworzona w obrazie.

TEORIA ABBEGO - c.d.⁵

• W szczególności, gdy przedmiotem będzie siatka periodyczna o jednej częstości przestrzennej
, to wiązki światła ugięte na tej strukturze trafią do obiektywu a następnie wezmą udział w tworzeniu obrazu tylko wtedy, gdy apertura obiektywu będzie równa co najmniej:

Jest to zdolność rozdzielcza obiektywu - często wyraża się ją przez najmniejszą odległość
między dwoma odwzorowanymi punktami:

gdzie
jest połówkowym kątem aperturowym obiektywu.

KRYTERIUM ROZDZIECZOŚCI DWUPUNKTOWEJ

• Tak więc obraz dawany przez obiektyw o skończonych rozmiarach jest zawsze rozmyty. Rozmycie to powstaje jako wynik dyfrakcji światła na ograniczeniu, jakim jest przesłona aperturowa (źrenica wejściowa) tego obiektywu.

• Wyrażając osiągnięty rezultat w formalizmie teorii odwzorowania: obrazem stygmatycznym punktu byłby punkt, gdyby fala kulista, docierająca do układu optycznego, była przez niego transformowana w falę kulistą. Ze względu na dyfrakcję tej fali na brzegach przesłony, nigdy nie będzie ona idealnie kulista.

• Obrazem punktowego przedmiotu jest więc nie punkt, ale plamka o skończonych rozmiarach, zwana punktową funkcją rozmycia. W przypadku istnienia w układzie aberracji, wpływają one również na kształt tej plamki i dlatego nazywamy ją także plamką aberracyjną.

KRYTERIUM ROZDZIECZOŚCI DWUPUNKTOWEJ - c.d.

• Dyfrakcyjna teoria odwzorowania wyjaśnia oczywiście sposób powstawania obrazu nie tylko w mikroskopie. Na przykład obrazem dalekiej gwiazdy (punkt!) w lunecie jest punktowa funkcja rozmycia równa obrazowi dyfrakcyjnemu (dalekiego pola) źrenicy wejściowej:

Przykład: Dla źrenicy kołowej o średnicy
amplitudową punktową funkcją rozmycia jest krążek Airy'ego:

KRYTERIUM ROZDZIECZOŚCI DWUPUNKTOWEJ - c.d.²

• Rozkład natężenia światła w obrazie punktu nazywamy natężeniową punktową funkcją rozmycia, np. (dla kołowego):

• Definicja: Układy optyczne nazywamy izoplanatycznymi, gdy przy niewielkim przesunięciu poprzecznym przedmiotu obraz także jest przesunięty, ale nie zdeformowany.

W praktyce, ze względu na aberracje polowe, układy optyczne nie są izoplanatyczne.

• Dla niewielkich przesunięć możemy jednak z dobrym przybliżeniem przyjąć, że obrazem dwóch punktów leżących w niewielkiej odległości
od siebie jest suma dwóch identycznych punktowych funkcji rozmycia, przesuniętych względem siebie o wielkość zależną od
i od powiększenia poprzecznego układu
.

KRYTERIUM ROZDZIECZOŚCI DWUPUNKTOWEJ - c.d.³

• Jeśli przedmiot jest oświetlony niekoherentnie, to dodają się natężeniowe funkcje rozmycia:

• Gdy odległość między punktami jest zbyt mała, plamki aberracyjne nakładają się, uniemożliwiając rozróżnienie poszczególnych punktów. Kryterium rozdzielczości Rayleigha orzeka, że bezaberracyjny układ optyczny umożliwi rozróżnienie dwóch punktów, jeżeli maksimum punktowej funkcji rozmycia jednego punktu przypadnie na pierwsze minimum dyfrakcyjne punktowej funkcji rozmycia drugiego punktu.

KRYTERIUM ROZDZIECZOŚCI DWUPUNKTOWEJ - c.d.⁴

• Przykład I: dla źrenicy kwadratowej o boku
odległość ta wynosi:

(czemu podawana jest za pomocą miary kątowej?). Zwana jest ona dwupunktową zdolnością rozdzielczą.

• Przykład II: dla źrenicy kołowej o średnicy
odległość ta wynosi:

(liczba 1,22 wynika z warunku na minimum funkcji Bessela).

• W praktyce granicę zdolności rozdzielczej wyznacza się, obserwując testy kreskowe, składające się z pól pokrytych układami równoległych i równoodległych linii.

OPTYCZNA FUNKCJA PRZENOSZENIA

• Dwupunktowa zdolność rozdzielcza jest powszechnie stosowaną miarą jakości układów odwzorowujących (lunety, mikroskopy, obiektywy fotograficzne). Parametr ten opisuje jednak układ tylko lokalnie.

• W przypadku rozciągłych przedmiotów skonstruować należy funkcję, opisującą zdolność rozdzielczą układu w całej przestrzeni obrazowej.

• Dla uproszczenia rozważań, przyjmiemy następujące założenia:

• przedmiot jest oświetlony niekoherentnie (istotne są więc wartości natężeniowe);

• problem uprościmy do przypadku zagadnienia jednowymiarowego.

OPTYCZNA FUNKCJA PRZENOSZENIA - c.d.

• Rozciągły przedmiot potraktujemy jako zbiór nieskończenie wielu punktów:

gdzie
oznacza tzw. funkcję (dystrybucję) delta Diraca. Taką całkę nazywamy splotem funkcji delta Diraca i transmisji (natężeniowej) przedmiotu
.

• Izoplanatyczny układ optyczny zachowuje się jak stacjonarny układ liniowy - obraz sumy punktów świecących jest sumą obrazów poszczególnych punktów. Obrazem przedmiotu jest więc suma (poprzesuwanych) punktowych funkcji rozmycia:

(dla uproszczenia założono, że powiększenie wynosi 1).

OPTYCZNA FUNKCJA PRZENOSZENIA - c.d.¹

• Załóżmy, że rozkład natężenia światła w przedmiocie
, natężeniową funkcję rozmycia
i rozkład natężenia światła w obrazie
można przedstawić w postaci transformat Fouriera:

Możemy wtedy (korzystając z własności transformaty Fouriera - twierdzenia o splocie) otrzymać następującą zależność:

Funkcja
nazywa się funkcją przenoszenia kontrastu (FPK).

FUNKCJA PRZENOSZENIA KONTRASTU

• Aby zrozumieć sens fizyczny FPK, rozpatrzmy następujący przykład:

• odwzorowywany przedmiot jest sinusoidalną siatką o częstości przestrzennej
  i kontraście
  :

Transformata Fouriera takiej funkcji składa się z trzech delt Diraca - występują w niej tylko trzy składowe harmoniczne o częstościach przestrzennych:
(tło) i
.

• Obliczając rozkład natężenia światła w obrazie (przy wykorzystaniu pojęcia FPK), otrzymujemy:

czyli: obraz jest również sinusoidalna siatką, ale zmienił się kontrast:

FUNKCJA PRZENOSZENIA KONTRASTU

• Przykładowy wykres niekoherentnej funkcji przenoszenia kontrastu dla układu:

1. bezaberracyjnego;

2. aberracyjnego.

Struktury o częstości większej niż
nie są przez ten układ odwzorowywane - informacja jest tracona.

KONTRAST FAZOWY

• Za metodę te Zernike otrzymał nagrodę Nobla w 1953 r.

• Załóżmy, że przedmiot oglądany pod mikroskopem jest czysto fazowy, to znaczy jego transmitancja jest czysto urojona:

Założymy, że te zmiany fazy są niewielkie, to znaczy:

Jeśli przedmiot jest oświetlony jednorodną falą o stałej amplitudzie (
), to fala świetlna, wychodząca z przedmiotu jest dana formułą:

Natężenie światła wynosi wtedy:

Zmiany fazy nie są zauważalne przez detektor!

KONTRAST FAZOWY - c.d.

• Falę wychodzącą z obiektu możemy formalnie rozbić na dwa człony:

W płaszczyźnie ogniskowej obiektywu powstają więc dwa obrazy:

• jeden pochodzący od „tła” (światło bezpośrednie);

• drugi powstaje jako ugięcie na strukturze przedmiotu.

KONTRAST FAZOWY - c.d.²

• Jeśli w płaszczyźnie obrazu dyfrakcyjnego umieścimy krążek o takiej średnicy, że przykrywa on jedynie centralne maksimum a jego grubość i współczynnik załamania są takie, że faza przechodzącej przez niego fali zmienia się o
. Krążek ten w praktyce nie wpływa na światło ugięte na przedmiocie. Do obrazu dociera więc fala odpowiadająca fali z „tła” o fazie zmienionej o
i nie zmieniona fala przedmiotowa:

a natężenie światła w obrazie będzie teraz wyrażone wzorem (stosując przybliżenia:
i
- dlaczego!?):

Przedmiot fazowy został uwidoczniony - zmiany fazy w przedmiocie wpłynęły na zmiany natężenia w obrazie.

FILTRACJA CZĘSTOŚCI PRZESTRZENNYCH

• W płaszczyźnie widma Fouriera (płaszczyzna ogniskowa obiektywu) można wstawić dowolny filtr amplitudowo-fazowy - wtedy otrzymany obraz będzie transformatą Fouriera iloczynu widma Fouriera badanego obiektu i transmitancji filtru. Może to prowadzić do wielu innych (niż kontrast fazowy) zastosowań takiego układu - na przykład do tzw. filtracji częstości przestrzennych.

(Przykłady)

20

---