Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie 28.05.2013r.

Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska

Afiniczne odwzorowanie płaszczyzny na

płaszczyznę

MARCELA ODROBIŃSKA

ZOD RUDA ŚLASKA

ROK II, SEMESTR 4,

Nr 1019, GR. 2

ROK AKADEMICKI 2012/2013

SPRAWOZDANIE

Dane formalno-prawne:

1. Zleceniodawca: Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska

2. Wykonawca: Marcela Odrobińska

3. Czas wykonania: 27.05.2013r.

4. Rodzaj pracy: Afiniczne odwzorowanie płaszczyzny na płaszczyznę

Nr = 1019

Współrzędne na płaszczyźnie S₁:

1. (1000,00 1000,00)

2. (2000,00 1000,00)

3. (2000,00 2000,00)

4. (1000,00 2000,00)

Współrzędne na płaszczyźnie S₂:

1. (-307,62 5828,15)

2. ( 456,39 5487,01)

3. (1504,07 5836,19)

4. (740,05 6177,33)

Dane współczynniki w odwzorowaniu afinicznym:

a1	-2119,307	b1	5820,106
a2	0,76401367	b2	-0,34113487
a3	1,04767368	b3	0,34917803

1. Wyznaczenie postaci linii parametrycznych prostych w dwóch przypadkach, gdy u = const., gdy v=const.

Założenia:

$$S_{1}\left\{ \begin{matrix} x = u \\ y = v \\ \end{matrix} \right.\ $$

Ogólna postać, z której wyznaczamy postać linii parametrycznych:

$$S_{2}\left\{ \begin{matrix} \ \ X = a_{1} + a_{2}*x + a_{3}*y \\ \ \ Y = b_{1} + b_{2}*x + b_{3}*y \\ \end{matrix} \right.\ $$

Wyprowadzenie postaci linii parametrycznych prostych dla u=const

$$S_{2}\left\{ \begin{matrix} \ \ X = a_{1} + a_{2}*u + a_{3}*v \\ \ \ Y = b_{1} + b_{2}*u + b_{3}*v \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} \text{\ \ }k_{1} = a_{1} + a_{2}*u \\ \text{\ \ }k_{2} = b_{1} + b_{2}*v \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$S_{2}\left\{ \begin{matrix} \ \ X = k_{1} + a_{3}*v \\ \ \ Y = k_{2} + b_{3}*v \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$v = \frac{X - k_{1}}{a_{3}}$$

$$Y = k_{2} + b_{3}*\frac{X - k_{1}}{a_{3}}$$

$$Y = \frac{b_{3}}{a_{3}}X + k_{2} - \frac{b_{3}}{a_{3}}k_{1}$$

$$\frac{\mathbf{b}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{a}_{\mathbf{3}}}\mathbf{= 0,33328892}$$

Wyprowadzenie postaci linii parametrycznych prostych dla v=const

$$S_{2}\left\{ \begin{matrix} \ \ X = a_{1} + a_{2}*u + a_{3}*v \\ \ \ Y = b_{1} + b_{2}*u + b_{3}*v \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} \text{\ \ }k_{1} = a_{1} + a_{3}*u \\ \text{\ \ }k_{2} = b_{1} + b_{3}*v \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$S_{2}\left\{ \begin{matrix} \ \ X = k_{1} + a_{2}*u \\ \ \ Y = k_{2} + b_{2}*u \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$u = \frac{X - k_{1}}{a_{2}}$$

$$Y = k_{2} + b_{2}*\frac{X - k_{1}}{a_{2}}$$

$$Y = \frac{b_{2}}{a_{2}}X + k_{2} - \frac{b_{2}}{a_{2}}k_{1}$$

$$\frac{\mathbf{b}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{a}_{\mathbf{2}}}\mathbf{= - 0,44650362}$$

1. Wyznaczenie Pierwszej Formy Kwadratowej i współczynników Gaussa:

Wzór ogólny

dS² = E * du² + 2F * du * dv + G * dv²

$$E = r_{u}^{2} = \left( \frac{\partial x}{\partial u} \right)^{2} + \left( \frac{\partial y}{\partial u} \right)^{2}$$

$$F = r_{u}^{2}*r_{u}^{2} = \frac{\partial x}{\partial u}*\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial y}{\partial u}*\frac{\partial y}{\partial v}$$

$$G = r_{v}^{2} = \left( \frac{\partial x}{\partial v} \right)^{2} + \left( \frac{\partial y}{\partial v} \right)^{2}$$

Powierzchnia S₁ Powierzchnia S₂

E₁=1 E₂=0,7000899

F₁=0 F₂=0,6813202

G₁=1 G₂=1,2195454

1. Obliczenie kąta pomiędzy liniami parametrycznymi:

$$\Theta_{1} = arccos\frac{F_{1}}{\sqrt{E_{1}G_{1}}} = 1,5707963\ rad = 1,5707963*\ \frac{180}{\pi} = \mathbf{90}^{\mathbf{o}}\mathbf{0000\ }$$

$$\Theta_{2} = arccos\frac{F_{2}}{\sqrt{E_{2}G_{2}}} = 0,7416531\ rad = 0,7416531*\ \frac{180}{\pi} = \mathbf{42}^{\mathbf{o}}\mathbf{4936}\mathbf{}$$

Wnioski:

Powierzchnia S1 posiada linie parametryczne prostopadłe do siebie.

Powierzchnia S2 ma linie parametryczne pod kątem mniejszym niż 90°

Odwzorowanie nie jest wiernokątne.

1. Skala odwzorowania:

Współrzędne na płaszczyźnie S₁: Współrzędne na płaszczyźnie S₂:

1. (1000,00 1000,00) [m] 1. (-307,62 5828,15) [m]

2. (2000,00 1000,00) [m] 2. ( 456,39 5487,01) [m]

3. (2000,00 2000,00) [m] 3. (1504,07 5836,19) [m]

4. (1000,00 2000,00) [m] 4. (740,05 6177,33) [m]

Obliczenie długości na powierzchni S₁ i S₂:

$${D1}_{2 - 4} = \sqrt{{(x_{4} - x_{2})}^{2} + {{(y}_{4} - y_{2})}^{2}} = \mathbf{1414,21\ m}$$

$${D1}_{3 - 1} = \sqrt{{(x_{1} - x_{3})}^{2} + {{(y}_{1} - y_{3})}^{2}} = \mathbf{1414,21\ m}$$

$${D2}_{2 - 4} = \sqrt{{(X_{4} - X_{2})}^{2} + {{(Y}_{4} - Y_{2})}^{2}} = \mathbf{746,32\ m}$$

$${D2}_{3 - 1} = \sqrt{{(X_{1} - X_{3})}^{2} + {{(Y}_{1} - Y_{3})}^{2}} = \mathbf{1811,71\ m}$$

Wyznaczenie kierunków głównych dla boku trójkąta:

$$\text{Bok}_{2 - 4} = \frac{y_{4} - y_{2}}{x_{4} - x_{2}} = \mathbf{- 1}$$

$$\text{Bok}_{3 - 1} = \frac{y_{1} - y_{3}}{x_{1} - x_{3}} = \mathbf{1}$$

Obliczenie na podstawie wzoru na skalę dla kierunków w trójkącie:

$$m_{1} = \sqrt{\frac{E_{2} + {2F}_{2}*k_{2 - 4} + G_{2}*k_{2 - 4}^{2}}{1 + k_{2 - 4}^{2}}} = \mathbf{0,527728577}$$

$$m_{2} = \sqrt{\frac{E_{2} + {2F}_{2}*k_{3 - 1} + G_{2}*k_{3 - 1}^{2}}{1 + k_{3 - 1}^{2}}} = \mathbf{1,2810}\mathbf{69035}$$

Kontrola obliczenia skali odwzorowań:

$$m_{1} = \frac{{D2}_{2 - 4}}{{D1}_{2 - 4}} = \mathbf{0,527728577}$$

$$m_{2} = \frac{{D2}_{3 - 1}}{{D1}_{3 - 1}} = \mathbf{1,28106903}\mathbf{5}$$

Skala odwzorowań to stosunek odpowiadających sobie elementarnych wielkości na powierzchni S1 i na S2.

1. Wyznaczenie kierunków głównych odwzorowania:

$$k_{1} = \frac{G_{2} - E_{2} + \sqrt{{{(G}_{2} - E_{2})}^{2} + {4F}_{2}^{2}}}{{2F}_{2}} = \mathbf{1,451410118}$$

$$k_{2} = \frac{G_{2} - E_{2} - \sqrt{{{(G}_{2} - E_{2})}^{2} + {4F}_{2}^{2}}}{{2F}_{2}} = \mathbf{- 0,688985138}$$

W danym odwzorowaniu kartograficznym (wiemy, że nie jest wiernokątne) istnieje taka siatka ortogonalna, która odwzorowuje się jako siatka ortogonalna.

Kontrola: Warunek poprawności k₁k₂ = −1

1. Skale w kierunkach linii parametrycznych:

Wzór dla u = const. czyli du=0

$$m_{u} = \sqrt{\frac{G_{2}}{G_{1}}} = \mathbf{1,10433031}$$

Wielkość zniekształcenia:

$$z_{\text{du}} = m_{u} - 1 = 0,10433031*10^{5} = \mathbf{10433,031\ }\frac{\mathbf{\text{cm}}}{\mathbf{\text{km}}}$$

Wzór dla v = const. czyli dv=0

$$m_{v} = \sqrt{\frac{E_{2}}{E_{1}}} = \mathbf{0,83671374}$$

Wielkość zniekształcenia:

$$z_{\text{dv}} = m_{v} - 1 = - 0,16328626*10^{5} = \mathbf{- 16328,626\ }\frac{\mathbf{\text{cm}}}{\mathbf{\text{km}}}$$

Skale nie są sobie równe, więc odwzorowanie nie jest równokątne (w odwzorowaniu występują zniekształcenia kątowe). Skale długości w kierunkach linii parametrycznych umożliwiają obliczenie skali pól.

1. Skale i zniekształcenia w kierunkach głównych:

$$a = \sqrt{\frac{E_{2} + {2F}_{2}*k_{1} + G_{2}*k_{1}^{2}}{1 + k_{1}^{2}}} = \mathbf{1,29960184}$$

$$b = \sqrt{\frac{E_{2} + {2F}_{2}*k_{2} + G_{2}*k_{2}^{2}}{1 + k_{2}^{2}}} = \mathbf{0,48028157}$$

Wielkości zniekształcenia:

Dla a

z_da = a − 1 = 0, 2996018

Dla b

z_db = b − 1 = −0, 000026488

Obrazem elementarnych skal długości we wszystkich kierunkach wychodzących z danego punktu jest elipsa, której półosie są równe elementarnym skalom długości w kierunkach głównych. Umożliwia to określenie wartości zniekształceń, skal w kierunkach linii parametrycznych.

1. Zniekształcenia kątów. Kąt o maksymalnym zniekształceniu:

$$\omega = 2\ arcsin\left( \frac{a - b}{a + b} \right) = 0,95671674\ radian*\frac{180}{\pi} = 54,8158\mathbf{\ }\text{stopni} = 54^{0}4856,99$$

$$\beta_{1} = arctg\left( \sqrt{\frac{a}{b}} \right) = 1,02457735\ radian*\frac{180}{\pi} = 58,7040\mathbf{\ }\text{stopni} = 58^{0}4214,4$$

$$\beta_{2} = arctg\left( \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = 0,54621898\ radian*\frac{180}{\pi} = 31,2960\mathbf{\ }\text{stopni} = 31^{0}1745,6$$

$\omega_{\max} = 2*\left( \beta_{2} - \beta_{1} \right) = 0,95671674\ radian*\frac{180}{\pi} = 54,8158\ \text{stopni} = 54^{0}48$56,88``

Występujące w odwzorowaniu zniekształcenia kątowe określane są przez największą różnicę wartości bezwzględnej między kątem na S1 a odpowiadającym mu kątem na S2.

1. Skala i zniekształcenia pola:

Skala

$$f = \frac{\sqrt{E_{2}G_{2}}}{\sqrt{E_{1}G_{1}}} = ab = \mathbf{0,624174813}$$

Zniekształcenie

z_p = f − 1 = −0, 37582519

Kontrola

$$f\ = \left| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \\ \end{matrix} \right|_{1} = \mathbf{0,624174813}$$

Odwzorowanie nie jest wiernokątne, ponieważ a≠b. Gdyby a=b to maksymalne zniekształcenie

$\sin{\frac{\mathbf{\omega}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a - b}}{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}}\mathbf{= 0}$

Odwzorowanie nie jest odwzorowaniem wiernopolowym, ponieważ a*b≠1, gdyby a*b=1 to skala zniekształcenia pola wynosiłaby f=1.