11.Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych

(Przybył Ewelina)

Definicja

Załóżmy, że
jest przestrzenią metryczną i
.

Mówimy, że A jest zbiorem zwartym wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ciągu
elementów tego zbioru istnieje podciąg
zbieżny do pewnego
.

Twierdzenie:

Jeśli
(przestrzeń euklidesowa) i
to A jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Własności

1.Tw. Weierstrassa o osiąganiu kresów

Załóżmy, że
jest przestrzenią metryczną zwartą oraz
jest ciągła z
w
.

Wówczas f osiąga swoje kresy na zbiorze X, tj. istnieją takie punkty
, że

Wynika stąd, że jeżeli funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy to jest ograniczona.

2. Tw. Weierstrassa o jednostajnej ciągłości.

Załóżmy, że
jest przestrzenią metryczną zwartą zaś
jest przestrzenią metryczną. Jeżeli
jest ciągła to f jest jednostajnie ciągła.

Ciągłość i jednostajna ciągłość (przypomnienie)

Jeżeli
spełnia dla ustalonego
warunek

,

to jest ona ciągła w sensie Cauchy'ego w punkcie
. Jeżeli spełnia ona powyższy warunek dla każdego
, czyli

,

to mówimy, że jest ciągła jednostajnie (w sensie Cauchy'ego) na zbiorze
.

---