SPRAWOZDANIE z ćw. nr 53A Temat: Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy na podstawie prawa Stokesa |
LABORATORIUM z FIZYKI OGÓLNEJINSTYTUT FIZYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ |
|---|---|
Alicja LipieńWydział Chemiczny Rok I |
Data wykonania ćw. 06.04.2011 r. |
1.Wstęp
Lepkością lub tarciem wewnętrznym nazywamy zjawisko występowania sił stycznych przeciwstawiających się przemieszczeniu jednych części ciała względem innych jego części. Wskutek tarcia występującego między cząsteczkami cieczy lub gazu, poruszająca się cząstka pociąga za sobą cząsteczki sąsiadujące z nią z prędkością tym bardziej zbliżoną do prędkości własnej, im ciecz lub gaz są bardziej lepkie. Analogicznie cząsteczka spoczywająca hamuje poruszające się cząsteczki sąsiednie. Ze względu na to, że wszystkie rzeczywiste ciecze i gazy są lepkie zjawisko lepkości odgrywa istotną rolę podczas przepływu cieczy oraz podczas ruchu ciała stałego w ośrodku ciekłym.
Ciało stałe, poruszające się w ośrodku ciekłym, napotyka na opór. W otoczeniu ciała obserwujemy wtedy ruch cieczy. Mechanizm tego zjawiska jest następujący : warstwa cieczy, przylegająca do powierzchni poruszającego się ciała, wprawia w ruch pozostałe warstwy cieczy. Tak więc istotną rolę odgrywa tu lepkość cieczy. Dla ciał o symetrii osiowej poruszającego się w kierunku osi, wypadkowa siła oporu działa przeciwstawnie do kierunku ruchu. Doświadczalnie stwierdza się, że dla małych prędkości siła tarcia wewnętrznego R jest wprost proporcjonalna do prędkości v. Poza tym zależy ona od charakterystycznego wymiaru liniowego ciała l oraz od współczynnika lepkości cieczy η.
Celem ćwiczenia jest obserwacja ruchu ciał(kulek) w ośrodku ciągłym oraz wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy.
Na kulkę zanurzoną w cieczy działają trzy różne siły. Jako pierwszą przedstawię siłę
ciężkości kulki daną wzorem:
$\overrightarrow{P}$=$\text{ρV}\overrightarrow{g}$ Gdzie: $\overrightarrow{P}$- siła ciężkości kulki ρ-gęstość kulki
Następnie obserwujemy siłę wyporu Archimedesa. Działa ona na ciało zanurzone w cieczy, jest skierowana ku górze i równa ciężarowi wypartej cieczy , a opisana jest równaniem:
$\overrightarrow{W}$=ρ′V$\overrightarrow{g}$ Gdzie: $\overrightarrow{W}$-siła wyporu Archimedesa ρ′- gęstość cieczy V- objętość kulki
$\text{\ \ }\overrightarrow{g}$-przyspieszenie ziemskie o wartości 9,81 $\frac{m}{s^{2}}$
Ciało , które porusza się w cieczy napotyka na opór cieczy, który powstaje poprzez wprawienie w ruch przez warstwę cieczy przylegającą do ciała, sąsiadujących z nią warstw cieczy. Mamy wówczas do czynienia ze zjawiskiem jakim jest lepkość czyli oporem wewnętrznym jaki stawia płyn, który „zmuszany” jest do płynięcia np. przez jakieś ciało poruszające się w nim. Taki przepływ cieczy nosi nazwę laminarnego. Wypadkowy opór ma kierunek przeciwny do ruchu ciała. Podczas ćwiczenia korzystaliśmy ze znajomości prawa Stokesa, które dla małych prędkości ciała w cieczy pozwala na określenie wartości siły oporu poprzez następujące równanie:
$\overrightarrow{F_{t}}$=6πrη$\overrightarrow{v}$g Gdzie: $\overrightarrow{F_{t}}$-opór jaki stawia ciecz r- promień kulki η- współczynnik lepkości cieczy $\overrightarrow{v_{g}}$- prędkość kulki w cieczy między pierścieniami
Można zatem określić siłę wypadkową działającą na kulkę :
$\overrightarrow{F}$=$\overrightarrow{P}$+$\overrightarrow{W}$+$\overrightarrow{F_{t}}$ Gdzie F- siła wypadkowa
Istnieje kilka możliwości ruchu kulki w cieczy. Na ćwiczeniach badałam kulki, które nie spadały dobrowolnie na dno naczynia, a pozostawały na powierzchni cieczy, będąc w pewnym stopniu zanurzone w niej. Jednak można je wprawić w ruch, za pomocą drucika sprowadzając na dno, a następnie obserwować ruch kulki w górę .Dla tak opisanej sytuacji równanie na siłę wypadkową przedstawia się następująco:
$\overrightarrow{F}$=$\overrightarrow{P}$-$\overrightarrow{W}$+$\overrightarrow{F_{t}}$
Siła wyporu w tej sytuacji jest większa od siły ciężkości kulki. Wraz ze wzrostem czasu zwiększa się prędkość kulki, powodując zwiększenie się tarcia, W momencie kiedy siła ciężkości i siła tarcia równoważy siłę wyporu, wypadkowa siła wynosić będzie 0, co oznacza ,że ciało będzie poruszać się ruchem jednostajnym prostoliniowym (Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona : jeżeli na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą to ciało porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku)
Wówczas z następujących równań :
$\overrightarrow{P}$-$\overrightarrow{W}$+$\overrightarrow{F_{t}}$=0
ρV$\overrightarrow{g}$ - ρ′V$\overrightarrow{g}$+6πrηvg=0
V=$\frac{4\pi r^{3}}{3}$
Vg$= \frac{h}{t}$
Otrzymuję wzór na współczynnik lepkości cieczy:
η= $\frac{2r^{2}\text{gt}\left( \rho^{'} - \rho \right)}{9h}$
Gęstość cieczy zmierzę areometrem i dzięki tablicom fizycznym określę z jaką cieczą mamy styczność podczas ćwiczenia oraz jaką wartość powinien mieć uzyskany z przeprowadzonych pomiarów współczynnik lepkości cieczy. Pomiary wykonano w pomieszczeniu w którym temperatura wynosiła ok. 25°C.
2. Pomiary
Część A
| Lp. | m [kg] | ∆m [kg] | d [m] ·10¯³ | $\overset{\overline{}}{d}$ [m] ·10¯³ | ∆$\overset{\overline{}}{d}$ [m] | r [m] 10¯³ | ∆r [m] | H [m] | ∆H [m] | t [s] | tsr [s] | ∆tsr [s] | ρc [$\frac{\text{kg}}{m}\rbrack$ | ρc [$\frac{\text{kg}}{m}\rbrack$ | ρk [$\frac{\text{kg}}{m}\rbrack$ | ρk [$\frac{\text{kg}}{m}\rbrack$ | η | ∆η | $$\overset{\overline{}}{\eta}$$ |
∆$\overset{\overline{}}{\eta}$ | $$\frac{\overset{\overline{}}{\eta}}{\overset{\overline{}}{\eta}}$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0,55 | 0,1 | ||||||||||||||||||||
| 1 | 2,378 ·10¯⁴ |
0,2 ·10¯⁶ |
6,34 | 6,35 | 1,6 ·10¯⁴ |
3,18 | 0,8 ·104 |
21,9 ·10¯² |
10¯³ | 8,59 | 8,69 | 4,5 ·10¯² | 1260 | 10 | 1766 | 135 | 0,44 | 0,16 | |||
| 2 | 6,34 | 8,99 | |||||||||||||||||||
| 3 | 6,38 | 8,77 | |||||||||||||||||||
| 4 | 6,33 | 8,53 | |||||||||||||||||||
| 5 | 6,36 | 8,74 | |||||||||||||||||||
| 6 | 6,37 | 8,50 | |||||||||||||||||||
| 7 | 6,34 | 8,72 | |||||||||||||||||||
| 8 | 6,35 | 8,62 | |||||||||||||||||||
| 9 | 6,36 | 8,71 | |||||||||||||||||||
| 10 | 6,35 | 8,72 | |||||||||||||||||||
| 1 | 6,986 ·10¯⁴ |
0,2 ·10¯⁶ |
8,41 | 8,30 | 2,0 ·10¯³ |
4,15 | 1,0 ·10¯⁴ |
21,9 ·10¯² |
10¯³ | 3,46 | 3,51 | 1,7 ·10¯² |
1260 | 10 | 2335 | 170 | 0,65 | 0,21 | |||
| 2 | 8,05 | 3,51 | |||||||||||||||||||
| 3 | 8,42 | 3,48 | |||||||||||||||||||
| 4 | 8,00 | 3,58 | |||||||||||||||||||
| 5 | 8,35 | 3,44 | |||||||||||||||||||
| 6 | 8,01 | 3,52 | |||||||||||||||||||
| 7 | 8,46 | 3,48 | |||||||||||||||||||
| 8 | 8,49 | 3,52 | |||||||||||||||||||
| 9 | 8,40 | 3,57 | |||||||||||||||||||
| 10 | 8,42 | 3,58 |
Tabela przedstawiająca pomiary służące do wyznaczenia współczynnika cieczy metodą Stokesa
| Lp | t [s] | tsr [s] | ∆tsr [s] | k [$\frac{m}{s}\rbrack$ | ρk $\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m} \right\rbrack$ | ρk $\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m} \right\rbrack$ | ρc $\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m} \right\rbrack$ | ρc $\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m} \right\rbrack$ | η | ∆η | $$\frac{\eta}{\eta}\ \lbrack\%\rbrack$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 275,69 | 273,7 | 2,0 | 0,1216 ·10¯⁶ | 8120 | 10 | 1235 | 5 | 0,23 | 0,22 ·10¯² | 1 |
| 2 | 275,06 | ||||||||||
| 3 | 270,28 |
Część B
Tabela stałych wyznaczających współczynnik lepkości za pomocą wiskozymetru z kulka metalowa
3. Analiza niepewności pomiarowych
Część A
∆m niepewność masy poszczególnych kulek wynikająca z niepewności wagi
∆$\overset{\overline{}}{d}$ = $\sqrt{\frac{\sum_{}^{}{(d - d_{sr})}}{n(n - 1)} + \ \frac{d_{s}}{3}}\ $ niepewność wartości średniej średnicy, gdzie ds to wartość niepewności wynikająca z niepewności przymiaru
∆r= $\frac{\overset{\overline{}}{d}}{2}$ niepewność wartości średniej promienia
∆H niepewność wartości wysokości naczynia wynikająca z błędu przymiaru
∆tsr= $\sqrt{\frac{\sum_{}^{}{(t - t_{sr})}}{n(n - 1)} + \frac{t_{s}}{3}}$ niepewność wartości średniego czasu spadania kulki, gdzie ts jest wartością niepewności wynikającej z niepewności stopera
ρc wartość niepewności gęstości cieczy wynikająca z niedokładności aerometru
$\rho_{k} = \left\lbrack \left| \frac{m}{m} \right| + \left| \frac{3r}{r} \right| \right\rbrack$·ρk niepewność obliczeń gęstości kulki
η= $\left| \frac{4rgt(\rho_{k} - \rho_{c})r}{9H} \right| + \left| \frac{2rg(\rho_{k} - \rho_{c})t}{9H} \right| + \left| \frac{2rgt\rho_{k}}{9H} \right| + \left| \frac{2rgt{\rho}_{c}}{9H} \right| + \left| \frac{2rgt(\rho_{k} - \rho_{c})H}{9H} \right|$ niepewność wyliczenia współczynnika lepkości
$\overset{\overline{}}{\eta}$= $\frac{\sum_{}^{}\left| \eta - \overset{\overline{}}{\eta} \right|}{n}$ wartość niepewności uśrednienia wartości współczynnika lepkości
$\frac{\overset{\overline{}}{\eta}}{\overset{\overline{}}{\eta}}$ błąd względny sredniej wartości współczynnika lepkości
Część B
∆tsr= $\sqrt{\frac{\sum_{}^{}{(t - t_{sr})}}{n(n - 1)} W_{\text{SF}} + \frac{t_{s}}{3}}$ niepewność wartości średniego czasu spadania kulki, gdzie ts jest wartością niepewności wynikającej z niepewności stopera a WSF jest wspólczynnikiem studenta Fischera
η= |ktρk| + |ktρc| + |k(ρk−ρc)t| niepewność wyliczenia współczynnika lepkości
4. Przykładowe obliczenia
Część A
∆$\overset{\overline{}}{d}$=$\sqrt{\frac{{10(3\left( 6.34 - 6.35 \right)}^{2} + \left( 6.38 - 6.35 \right)^{2} + \left( 6.33 - 6.35 \right)^{2} + 2\left( 6.36 - 6.35 \right)^{2} + \left( 6.37 - 6.35 \right)^{2} + 2(6.35 - 6.35))}{90} + \frac{(10^{5})}{3}}$ = 1.6·10¯⁴ [m]
r= $\frac{6,35 10}{2}$ = 3,18·10¯³ [m]
∆r= $\frac{1,6 104}{2}$ = 0,8·10¯⁴ [m]
∆$t_{sr} = \sqrt{\frac{\left( 8,59 - 8,69 \right)^{2} + \left( 8,99 - 8.69 \right)^{2} + \left( 8,77 - 8,69 \right)^{2} + \left( 8,53 - 8,69 \right)^{2}\left( 8,74 - 8,69 \right)^{2} + \left( 8,5 - 8,69 \right)^{2} + 2\left( 8,72 - 8,69 \right)^{2} + \left( 8,62 - 8,69 \right)^{2} + (8,71 - 8,69)}{90} + \frac{0,01}{3}}$ = 4,5·10¯² [s]
ρk=$\ \frac{2,378 104}{\frac{4}{3}\pi (3,18 10^{3})}$ = 1766 [$\frac{\text{kg}}{m}$]
$\rho_{k} = \left\lbrack \left| \frac{0,2 106}{2,378 104} \right| + \left| \frac{3 0,8 104}{3,18 10} \right| \right\rbrack$·1766 = 135 $\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m} \right\rbrack$
η = $\frac{2 \left( 3,18 10^{3} \right)^{2} 9,81 8,69 (1766 - 1260)}{9 21,9 10}$ = 0,44
$\ \ \eta = \frac{4 3.18 10 9,81 8,69(1766 - 1260) 0,8 104}{9 21,9 10} + \frac{2 \left( 3,18 10^{3} \right)^{2} 9,81 (1766 - 1260) 4,5 10}{9 21,9 10} + \frac{2 \left( 3,18 10^{3} \right)^{2} 9,81 8,69 10}{9 21,9 10} + \frac{2 \left( 3,18 10 \right)^{2} 9,81 8,69 135}{9 21,9 10} + \frac{2 \left( 3,18 10^{2} \right)^{2} 9,81 (1766 - 1260) 10}{9 (21,9 10^{2})} =$ 0,16
$\overset{\overline{}}{\eta}$=$\frac{\left| 0,44 - 0,55 \right| + \left| 0,65 - 0,55 \right|}{2}$ = 0,11
$\frac{\overset{\overline{}}{\eta}}{\overset{\overline{}}{\eta}}$= $\frac{0,11}{0,55}$ = 20%
Część B
∆$t_{sr} = \sqrt{\frac{\left( 273,7 - 275,69 \right)^{2} + \left( 273,7 - 275,06 \right)^{2} + \left( 273,7 - 270,28 \right)^{2}}{6} 1,3 + \frac{0,01}{3}}$ = 2 [s]
η= 0,1216·10¯⁶·(8120-1235)·273,7 = 0,23
∆η = (0,1216·10¯⁶·273,7·10) + (0,1216·10¯⁶·273,7·5)+(0,1216·10¯⁶·(8120 -1235)·2)= 0,22·10¯²
$\frac{\eta}{\eta}$= $\frac{0,22 0}{0,23}$ ·100 = 1%
5. Wnioski
Gęstość cieczy uzyskana z pomiaru areometrem wynosi 1260$\frac{\text{kg}}{m^{3}}$ co pozwala stwierdzić po zapoznaniu się z tablicą gęstości, że cieczą w naczyniu cylindrycznym jest gliceryna. Wyznaczony współczynnik lepkości w temperaturze ok. 25°C wynosi 0,23 w drugiej części zadania, a średni współczynnik lepkości z pierwszej części zadania wynosi 0,55. Tablice fizyczne podają, że przy takiej temperaturze współczynnik lepkości powinien wynieść 0,775, widoczna jest więc pewna rozbieżność.
Istnieje kilka przyczyn uzyskanej rozbieżności pomiędzy wartością współczynnika lepkości cieczy podawanej przez tablice fizyczne, a tą którą uzyskałam z przeprowadzonych pomiarów. Na błędny wynik może mieć wpływ niedokładny pomiar średnic kulek, nieprecyzyjny pomiar czasu przepływu między pierścieniami. Niekiedy zdarzało się, że nie udało się sprowadzić kulki precyzyjnie w środek cylindra pomiarowego i kulka podczas ruchu dotykała ścianki naczynia co sprawiło, że czas przepływu między pierścieniami był dłuższy niż gdyby kulka nie miała styczności ze ścianką.