STATYSTYKA OPISOWA – WYKŁADY

22.04.2013

1. Zależność korelacyjna (korelacja) polega na tym, że określonym wartościom jednej zmiennej odpowiadają ściśle określone średnie wartości drugiej zmiennej.

2. Korelacja dodatnia – wzrostowi wartości jednej cechy odpowiada wzrost średnich wartości drugiej cechy.

3. Korelacja ujemna – wzrostowi wartości jednej cechy odpowiada spadek średnich wartości drugiej cechy.

4. Wzrokowa ocena korelacyjnego wykresu rozrzutu punktów empirycznych:

- Korelacja liniowa dodatnia,

- Korelacja liniowa ujemna,

- Brak korelacji,

- Korelacja krzywoliniowa.

5. Współczynnik korelacji liniowej Pearsona:

Miara siły związku liniowego między cechami

Symetryczny $r_{\text{xy}} = \frac{cov(xy)}{s_{x}*s_{y}}$

cov(xy) = srednia x * y − srednia x * srednia y

a) Dla szeregu szczegółowego:

$$r_{\text{xy}} = \ \frac{\sum_{i = 1}^{n}{\left( x_{i} - srednia\ x \right)(y_{i} - srednia\ y)}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}{{(x_{i} - srednia\ x)}^{2}\sum_{i = 1}^{n}{(y_{i} - srednia\ y)}^{2}}}}$$

$$\text{cov}\left( \text{xy} \right) = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{\left( x_{i} - srednia\ x \right)\left( y_{i} - srednia\ y \right)}$$

b) Dla tablicy korelacyjnej:

$$r_{\text{xy}} = \frac{\sum_{i = 1}^{k}{\sum_{j = 1}^{s}{(x_{i}}} - srednia\ x)(y_{i} - srednia\ y)n_{\text{ij}}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{k}{{(x_{i} - srednia\ x)}^{2}n_{i}\sum_{j = 1}^{s}{{(y_{i} - srednia\ y)}^{2}n_{j}}}}}$$

$$\text{cov}\left( \text{xy} \right) = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{\sum_{j = 1}^{s}{\left( x_{i} - srednia\ x \right)(y_{i} - srednia\ y)n_{\text{ij}}}}$$

6. Wartość współczynnika korelacji liniowej Pearsona:

−1 ≤ r_xy ≤ 1

- |r_xy| < 0, 2 - brak związku liniowego,

- 0, 2 ≤ |r_xy| < 0, 4 - słaba zależność liniowa,

- 0, 4 ≤ |r_xy|<0, 7 - umiarkowana zależność liniowa,

- 0, 7 ≤ |r_xy|<0, 9 - znacząca zależność liniowa,

- 0, 9 ≤ |r_xy| - bardzo silna zależność liniowa.

7. Stosunki (wskaźniki) korelacyjne Pearsona:

- Niesymetryczne,

- Niezależne od kształtu zależności,

- <0; 1>

- exy=0 nieskorelowane

- exy=1 zależność funkcyjna

s_y² = s_yw² + s_ym² s_x² = s_xw² + s_xm²

$$s_{\text{yw}}^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}s_{\text{yi}}^{2}*n_{\text{i\ .}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }s_{\text{xw}}^{2} = \frac{1}{n}\sum_{j = 1}^{s}s_{\text{xj}}^{2}*n_{\text{.\ j}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\ $$

$s_{\text{ym}}^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{(sred\ y_{i} - srednia\ sredniej\ y)}^{2}n_{\text{i\ .}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }s_{\text{xm}}^{2} = \frac{1}{n}{\sum_{j = 1}^{s}{(sred\ x_{j}} - srednia\ sredniej\ x)}^{2}n_{\text{.j}}$

a) Stosunek korelacyjny zmiennej Y względem zmiennej X:

$e_{\text{yx}} = \sqrt{\frac{s_{\text{ym}}^{2}}{s_{y}^{2}} =}\ \sqrt{1 - \frac{s_{\text{yw}}^{2}}{s_{y}^{2}}}$

b) Stosunek korelacyjny zmiennej X względem zmiennej Y:

$$e_{\text{xy}} = \sqrt{\frac{s_{\text{xm}}^{2}}{s_{x}^{2}} =}\ \sqrt{1 - \frac{s_{\text{xw}}^{2}}{s_{x}^{2}}}$$

8. Kwadraty wskaźników korelacyjnych nazywane są współczynnikami determinacji, które informują w ilu procentach zmiany zmiennej zależnej są spowodowane (zdeterminowane) zmianami zmiennej niezależnej.

- Oceny kwadratów wskaźników korelacyjnych wyrażone w procentach:

* 100 * e_yx²

* 100 * e_xy²

9. Stopień krzywoliniowości – Różnica między kwadratami wskaźnika korelacji oraz współczynnika korelacji.

- Wartości z przedziału <0;1>

- m>0,2 krzywoliniowość związku jest istotna,

- W przeciwnym wypadku jeśli wartość rxy pozwala, można uznać związek liniowy,

* m_xy = e_xy² − r_xy²

* m_yx = e_yx² − r_yx²

10. Współczynnik korelacji rang Spearmana – Służy do opisu siły korelacji dwóch cech, w sytuacji, gdy istnieje możliwość uporządkowania obserwacji empirycznych w określonej kolejności.

- di oznacza różnicę między rangami odpowiadających sobie i-tych obserwacji (wartości) cechy X oraz Y,

- Stosowany zwykle dla cech jakościowych lub ilościowych z niewielką liczbą obserwacji,

- Przyjmuje wartości z przedziału <-1;1>,

- Interpretacja wartości identyczna jak współczynnika korelacji Pearsona:

$$r_{s} = 1 - \frac{6*\sum_{i = 1}^{n}d_{i}^{2}}{n\left( n^{2} - 1 \right)}$$

11. Funkcja regresji – to analityczny wyraz przyporządkowania średnich wartości zmiennej objaśnianej (zależnej) konkretnym wartościom zmiennych objaśniających (niezależnych).

- Empiryczna linii regresji zmiennej Y względem X jest linią łamaną powstałą przez połączenie punktów o wspołrzędnych (x_i, srednia y|x_i),

- Empiryczna linii regresji zmiennej X względem Y jest linią łamaną powstałą przez połączenie punktów o współrzędnych (srednia x|y_j, y_j).

13. Funkcja regresji:

- Na podstawie empirycznych linii regresji można postawić hipotezę odnośnie typu funkcji matematycznej (liniowa, wykładnicza, parabola, itd.) opisującej mechanizm powiązań

między badanymi zmiennymi,

- Funkcja regresji II rodzaju jest przybliżeniem empirycznych linii regresji. Wybór postaci analitycznej funkcji regresji II rodzaju należy dokonywać również na podstawie źródeł pozastatystycznych (teorii ekonomii, opinii ekspertów, doświadczeń wynikających z poprzednich badań, etc).

14. Liniowa funkcja regresji:

- Funkcja regresji II rodzaju Y względem X:

Y = f(x) = α₀ + α₁X

$$\alpha_{1} = \frac{cov(xy)}{s_{x}^{2}},\ \alpha_{0} = srednia\ y - \alpha_{1}srednia\ x$$

- Funkcja regresji II rodzaju X względem Y:

X^=g(y) = β₀ + β₁Y

$$\beta_{1} = \frac{cov(xy)}{s_{y}^{2}},\ \beta_{0} = srednia\ x - \beta_{1}srednia\ y$$

- Związki między współczynnikiem korelacji oraz parametrami strukturalnymi liniowej funkcji regresji:

* $r_{\text{xy}} = \sqrt{\alpha_{1},\beta_{1}}$

* $\alpha_{1} = r_{\text{xy}}\frac{s_{y}}{s_{x}}$

* $\beta_{1} = r_{\text{xy}}\frac{s_{x}}{s_{y}}$

15. Badanie dokładności oszacowanej funkcji regresji:

- Reszty zbudowanego modelu:

* e_i = y_i − y_i

* $z_{i} = x_{i} - {x\hat{}}_{i}$

- Wariancja resztowa:

* $s_{e}^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - y_{i} \right)^{2}}{n - 2}$

* $s_{z}^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - {x\hat{}}_{i})}^{2}}{n - 2}$

- Współczynnik zbieżności:

$$\varphi_{\text{yx}}^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - y_{i} \right)^{2}}{\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - srednia\ y \right)^{2}}$$

R_yx² + φ_yx²=1

$$R_{\text{yx}}^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - srednia\ y_{i} \right)^{2}}{\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - srednia\ y \right)^{2}}$$