Liczby zespolone

Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych (a, b), dla których zostały określone: równość, dodawanie i mnożenie w taki sposób, że dla każdego a, b, c, d € R: 1. (a, b)=(c, d) a=c i b=d, 2. (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d), 3. (a, b)*(c, d)=(ac-bd, ad+bc). Czyli Z={(a, b):a€R ^ b€R ^ 1, 2, 3}. Uwaga! Działania po prawej stronie są działaniami w R, po lewej są nowo zdefiniowane działania.

Własności: W zbiorze liczb zespolonych prawdziwe są następujące własności: w1. Przemienność dodawania i mnożenia, w2. Łączność dodawania i mnożenia, w3. Rozdzielność mnożenia względem dodawania, w4. Istnienie elementu neutralnego dodawania i mnożenia, w5. Można wprowadzić działania odejmowania i dzielenia.

Przyjrzyjmy się szczególnym liczbą zespolonym: 1. Pary w których następnik jest zerem (dla każdego a€R): (a, 0)±(b, 0)=(a±b, 0), (a, 0)*(b, 0)=(ab-0*0, a*0+b*0)=(ab, 0), ^{(a, 0)}/_{(b, 0)}=(^0*0+ab/_b^2+0^2, ^0*b+a*0/_b^2+0^2)=^a/_b, 0). Każdą parę (a, 0) można utożsamiać z jej poprzednikiem (a, 0)=a, 2. Parę (0, 1) wyróżniono szczególnie-oznaczając symbolem i (0, 1)=i. i²=(0, 1)*(0, 1)=(0*0-1*1, 0*1+1*0)=(-1, 0)=-1, dla każdego b€R bi=(b, 0)*(0, 1)=(b*0-0*1, 0*0+b*1)=(0, b). Dowolną liczbę zespoloną (a, b) można przedstawić w postaci z=(a, b)=(a, 0)+(0, b)=a+bi. Postać algebraiczna liczby z=a+bi, gdzie a (ReZ) – część rzeczywista liczby Z (a€R), b (ImZ) – część urojona (b€R), i – jednostka urojona(i€!R), bi – liczba urojona (bi€!R).

Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej (z₁=a₁+b₁i, z₂=a₂+b₂i): dodawanie (z₁+z₂=(a₁+b₁i)+(a₂+b₂i)=a₁+a₂+(b₁+b₂)i), odejmowanie (z₁-z₂=(a₁+b₁i)-(a₂+b₂i)=a₁-a₂+(b₁-b₂)i), mnożenie (z₁*z₂=(a₁+b₁i)*(a₂+b₂i)=a₁a₂-b₁b₂+(a₁b₂+a₂b₁)i), dzielenie (z₁/z₂=^a1a2+b1b2/_a2^2+b2^2+ ^b1a2-a1b2/_a2^2+b2^2i). Zauważmy, że wyniki działań na liczbach w postaci algebraicznej są zgodne z wynikami działań na liczbach zespolonych w postaci par liczbowych.

Modułem liczby zespolonej z=a+bi=(a, b) nazywamy liczbę rzeczywistą |z|=√(a²+b²). Własności: w1. dla każdego z€Z |z|=0 z=0=0+0i=(0, 0), w2. dla każdego z€Z |z|>=0, w3. dla każdego z₁, z₂ € Z |z₁*z₂|=|z₁|*|z₂|, w4. dla każdego z₁, z₂ € Z |z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|, w5. dla każdego z₁, z₂ € Z |z₁+z₂|=<|z₁|+|z₂|, w6. dla każdego z₁, z₂ € Z ||z₁|-|z₂||=<|z₁-z₂|. Uwaga! Nie określa się relacji większości (mniejszości) w Z. Nie można porównać liczb zespolonych.

Liczbą sprzężoną (sprzężeniem) liczby zespolonej z=a+bi nazywamy liczbę zespoloną z=a-bi. Własności: w1. Dla każdego z₁, z₂ € Z z₁±z₂= z₁±z₂, w2. Dla każdego z₁, z₂ € Z z₁*z₂= z₁*z₂, w3. Dla każdego z₁, z₂ € Z z₁/z₂= z₁/z₂, w4. Dla każdego z€Z (z)=z, w5. Dla każdego z€Z z*z=|z|², w6. Dla każdego z€Z z=z=>z€R, w7. Dla każdego z€Z z+z=2ReZ, w8. Dla każdego z€Z z-z=2ImZ.

Interpretacja geometryczna – płaszczyzna Gaussa: Każdą liczbę zespoloną można przedstawić w układzie współrzędnych jako punkt o współrzędnych (a, b). |z| - odległość punktu (a, b) od początku układu. Punkty na osi ReZ są obrazami liczb rzeczywistych, na osi Im – urojonych. Pierwiastki n-tego stopnia w_k=ⁿ√r(cos^β+2kπ/_n+isin^β+2kπ/_n). Postać wykładnicza z=r(cosβ+isinβ)=re^iβ (r=|z|, β=ArgZ). Pierwiastkowanie Liczbę w nazywamy pierwiastkiem naturalnego stopnia n z liczby z jeżeli wⁿ=z.

Postać trygonometryczna: z=a+bi, r=|z|=√(a²+b²), cosβ=^a/_r, sinβ=^b/_r => z=a+bi=r(^a/_r+^b/_ri)=r(cosβ+sinβi)

Wzór Moivre’a – zⁿ=rⁿ(cos(β)+isin(β))

Całki

Niech f(x) będzie funkcją określoną na przedziale X. Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale X jeżeli dla każdego x należącego do X pochodna funkcji F(x) będzie równa funkcji f(x). Funckję f(x) mającą w pewnym przedziale X funkcję pierwotną nazywamy funkcją całkowalną w sensie Newtona. Całkowanie funkcji jest to wyznaczanie funkcji pierwotnych. Każda funkcja ciągła na X jest na tym przedziale całkowalna.Podstawowe twierdzenia: Jeżeli funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) na X to: 1. Funkcja δ=F(x)+C (gdzie C to dowolna stała) też jest funkcją pierwotną do f(x), 2. Każdą funkcję pierwotną do f(x) można zapisać w postaci F(x)+C₀ (gdzie C₀ to pewna stała).

Niech f(x) będzie całkowalna na X. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) nazywamy całką nieoznaczoną (w sensie Newtona) z f(x) i oznaczamy ∫f(x) dx. ∫f(x) dx=F(x)+C. Jeżeli f(x) i h(x) są całkowalne w sensie Newtona na X to: 1. Dla k€R k*f(x) też jest całkowana w sensie Newtona na X i ∫k*f(x) dx=k*∫f(x) dx, 2. f(x)±h(x) są też całkowalne w sensie Newtona i ∫[f(x)±h(x)] dx=∫f(x)± ∫h(x) dx. UWAGA! nie ma takiego wzoru dla iloczynu i ilorazu.

Wzory: 1. ∫0 dx=C, 2. ∫1 dx=x+C, 3. ∫xⁿ dx=(1/n+1))xⁿ⁺¹+C (n€R\{-1}), 4. ∫1/x dx=ln|x|+C, 5. ∫e^x dx=e^x+C, 6. ∫a^x dx=(1/(lna))a^x+C, 7. ∫sinx dx=-cosx+C, 8. ∫cosx dx=sinx+C, 9. ∫(1/sin²x) dx=-ctgx+C, 10. ∫(1/cos²x) dx=tgx+C, 11. ∫dx/(1+x²)=arctgx+C, 12. ∫dx/√(1-x²)=arcsinx+C, 13. ∫dx/√(x²±1)=ln|x±√(x²±1)|+C, 14. ∫f’(x) dx/f(x)=ln|f(x)|, 15. ∫e^-x dx=-e^-x.

Pochodna całki nieoznaczonej jest równa funkcji podcałkowej [∫f(x) dx]’=f(x) bo: F(x) to f. pierwotna do f(x) => F’(x)=f(x). [∫f(x) dx]’=[F(x)+C]=F’(x)+C’=F’(x)+0=f(x). Całka nieoznaczona z pochodnej funkcji jest równa sumie tej funkcji i dowolnej stałej ∫f’(x) dx=f(x)+C bo: δ(x) to funkcja pierwotna do f’(x) => δ(x)=f(x)+C => ∫f’(x) dx=δ(x)+C => (δ(x)+C)’=(∫f’(x) dx)’ => δ’(x)=f’(x) => δ(x)=f(x)+C.

Metody całkowania: 1. Metoda tożsamościowego przekształcania funkcji podcałkowej, 2. Metoda całkowania przez części (Jeżeli funkcje u(x)+v(x) są klasy C₁ na X to na tym przedziale prawdziwy jest wzór ∫u’(x)*v(x) dx=u(x)*v(x)-∫u(x)*v’(x) dx), 3. Metoda całkowania przez podstawianie (Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna i f:(a, b) -> R oraz x=g(t) takie że g:(α, β) na (a, b) jest różniczkowalna na (α, β) i przyjmuje wszystkie wartości z (a, b) to zachodzi ∫f(x) dx=∫f(g(t))*g’(t) dt.

Niech dany będzie przedział <a, b>. Mówimy że zbiór punktów X={x₀, x₁, ..., x_n} wyznacza podział przedziału <a, b> jeżeli a=x₀<x₁<...<x_n-1<x_n=b. Można wykonać wiele podziałów odcina <a, b> na n przedziałów częściowych <x₀, x₁>, <x₁, x₂>, ..., <x_n-1, x_n>. W każdym przedziale można znaleźć przedział częściowy o największej długości. Długość tego przedziału nazywamy średnicą przedziału d=max|x_i-x_i-1| _{(i=1, 2, ... n)}. Można utworzyć ciągi podziałów w których elementami będą podziały na coraz większą liczbę przedziałów częściowych x₁={x₀=a, x₁=b}, x₂={x₀=a, x₁, x₂=b}, ..., x_n={x₀=a, x₁, ..., x_n-1, x_n=b}. Ciąg podziałów X_n przedziału <a, b> nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeżeli średnice kolejnych podziałów maleją od zera, czyli lim_n->∞d_n=0 gdzie d_n=max|x_i-x_i-1|.

Niech funckja f:<a, b> -> R będzie funkcją ograniczoną. Funckję f nazywamy całkowalną w sensie Riemanna w przedziale <a, b>, jeżeli dla dowolnego normalnego ciągu (X_n) podziałów przedziału <a, b> isnieje granica lim_n->∞ S_n ciągu sum całkowych (S_n) niezależna od wyboru punktów pośrednich. Granicę tą nazywamy całką Riemanna (całką oznaczoną) funkcji f w przedziale <a, b> i oznaczamy _a∫^bf(x) dx. Wprost z definicji całki Riemanna wynika, że dla funkcji nieujemnej całkę _a∫^bf(x) dx możemy interpretować jako pole pod wykresem funkcji f na przedziale <a, b>. _a∫^bf(x) dx=- _b∫^af(x) dx, _a∫^af(x) dx=0

Warunki istnienia całki Riemanna: (Warunek konieczny) Jeżeli f(x) jest całkowalna na <a, b> to jest na tym przedziane ograniczona. Wnioski: 1. Jeżeli f(x) nie jest ograniczona na <a, b> to nie może być na tym przedziale całkowalna (w sensie Riemanna), 2. Jeżeli f(x) jest ograniczona na <a, b> to może być na tym przedziale całkowalna, ale nie musi. Niecha f:<a, b> -> R będzie funkcją ograniczoną: 1. Jeżeli f jest ciągła to jest całkowalna w sensie Riemanna, 2. Jeżeli f ma skończoną ilość punktów nieciągłości, to jest całkowalna w sensie Riemanna, 3. Jeżeli f jest monotoniczna, to jest całkowalna w sensie Riemanna.

Własności całki oznaczonej: 1. (liniowość całki) Jeżeli f, g:<a, b> -> R są funkcjami całkowalnymi w sensie Riemanna, a<b, k€R to: Funkcje k*f, f+g, f-g, f*g, f/g (o ile g(x)≠0 dla x€(a, b)) są całkowalne w sensie Riemanna oraz: _a∫^bk*f(x) dx=k*_a∫^bf(x) dx. _a∫^b[f(x)±g(x)] dx= _a∫^bf(x) dx±_a∫^bg(x) dx. 2. Jeżeli f:<a, b> -> R jest całkowalna w sensie Riemanna a<b, to funkcja |f(x)| jest całkowalna w sensie Riemanna oraz | _a∫^bf(x) dx|=<_a∫^b|f(x)| dx. 3. Jeżeli f:<a, b> -> R jest całkowalna w sensie Riemanna, a<b, c€(a, b) to prawdziwa jest zależność _a∫^bf(x) dx= _a∫^cf(x) dx+ _c∫^bf(x) dx. 4. (monotoniczność całki) Jeżeli f, g:<a, b> -> R są funckjami całkowalnymi w sensie Riemanna, f=<g to _a∫^bf(x) dx=<_a∫^bg(x) dx. 5. (o wartości średniej) Jeżeli f:<a, b> -> R jest całkowalna w sensie Riemanna oraz istnieje takie m, M € R, że dla każdego x€<a, b> m=<f(x)=<M to m(b-a)=<_a∫^bf(x) dx=<M(b-a). 6. (o wartości średniej) Jeżeli f:<a, b> -> R jest całkowalna w sensie Riemanna oraz istnieje takie m, M € R, że dla każdego x€<a, b> m=<f(x)=<M to istnieje takie µ€<m, M> _a∫^bf(x) dx=µ(b-a). 7. Jeżeli f:<a, b> -> R jest nieparzysta i całkowalna w sensie Riemanna na <-a, a> to _-a∫^af(x) dx=0. 8. Jeżeli f:<-a, b> -> R jest parzysta i całkowalna w sensie Riemanna na <-a, a> to _-a∫^af(x) dx=2₀∫^af(x) dx.

Podstawowe twierdzenia: 1. Jeżeliy=f(x) jest funkcją całkowalną na <a, b> to dla każdego x€<a, b) _a∫^xf(t) dt jest funkcją zmiennej x taką, że δ’(x)=(_a∫^xf(t) dt)’=f(x) (gdznie δ(x) to funkcja górnej granicy całki), 2. (Newtona-Leinitza) Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła na <a, b>, a F(x) jest pewną jest funckją pierwotną to _a∫^bf(x) dx=F(b)-F(a)=F(x)|^b_a, 3. (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcje u(x) i v(x) są klasy C1 na <a, b> to _a∫^bu’(x)*v(x) dx=u(x)*v(x)|^b_a-_a∫^bu(x)*v’(x) dx, 4. (o całkowaniu przez podstawianie) Jeżeli g(t) ma ciągłą pochodną na <α, β> a funckja f(x) jest ciągła w zbiorze wartości x, jakie przyjmuje funkcja g(t) i g(α)=a, g(β)=b to _a∫^bf(x) dx=_α∫^βf(g(t))*g’(t) dt.

Zastosowanie całki oznaczonej: 1. Obliczanie średniej wartości funkcji na danym przedziale f_śr=¹/_(b-a)*_a∫^bf(x) dx, 2. Obliczanie pola figury płaskiej D: y=f(x), y=g(x), x=a, x=b; f(x), g(x)>0 |D|=_a∫^b[f(x)-g(x)] dx.

Jeżeli funckja f(x) jest określona na <a, +∞) i na każdym przedziale <a, β>, β€(a, +∞) jest całkowalna w sensie Riemanna to granicę lim_{β->∞ a}∫^βf(x) dx= _a∫^+∞f(x) dx nazywamy całką niewłaściwą I-go rodziaju. Analogicznie gdy f(x) jest określona na (-∞, b> i całkowalna w sensie Riemanna na każdym <α, β> to lim_{α->-∞ α}∫^bf(x) dx= _-∞∫^bf(x) dx nazywamy całką niewłaściwą I-go rodzaju. Całki niewłaściwe II-go rodzaju: f(x) jest nieograniczona na <a, b>: 1. _a∫^bf(x) dx=lim_{α->a+ α}∫^bf(x) dx, 2. _a∫^bf(x) dx=lim_{β->b- a}∫^βf(x) dx, 3. _a∫^bf(x) dx=_a∫^cf(x) dx+ _c∫^bf(x) dx.

Macierze

Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j): i=1, ... , n i j=1, ... ,m (gdzie: i - wiersz, j - kolumna) przyporządkujemy liczbę rzeczywistą (zespoloną) a_ij to takie przyporządkowanie nazywamy macierzą rzeczywistą (zespoloną) o wymiarach n×m. Macierze A i B nazywamy równymi jeżeli mają takie same wymiary i odpowiednie wyrazy równe (A=[ a_ij]_n×m, B=[ b_ij]_n×m). Macierzą przeciwną do macierzy A nazywamy macierz o takich samych wymiarach i elementach przeciwnych do elementów macierzy A (zmieniamy znak na przeciwny Ā). Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz powstałą z A przez zamianę wierszy na kolumny z zachowaniem kolejności elementów (A^T ij => ji, n×m => m×n). Macierzą zerową nazywamy macierz, której elementami są same zera. Macierzą kwadratową nazywamy macierz, w której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn. Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, w której wszystkie wyrazy poza przekątną główną są równe 0 ($\begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \\ \end{bmatrix}$). Macierzą trójkątną nazywamy macierz kwadratową, która powyżej lub poniżej przekątnej głownej ma same 0 ($\begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ p & y & 0 \\ s & r & z \\ \end{bmatrix}$). Macierzą symetryczną nazywamy macierz kwadratową, której elementy spełniają zależność a_ij=a_ji ($\begin{bmatrix} x & p & s \\ p & y & r \\ s & r & z \\ \end{bmatrix}$). Macierzą jednostkową nazywamy macierz diagonalną, która na przekątnej ma 1 (E₃=$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$, E₁=[1]).

Działania na macierzach: Suma i różnica (sumą macierzy A i B o tych samych wymiarach n×m nazywamy macierz C, której elementy są równe sumom odpowiednich elementów macierzy A i B, różnicą – suma macierzy A i przeciwnej do B). Własności: 1. Przemienność dodawania (A+B=B+A), 2. Łączność (A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)), 3. Istnienie elementu neutralnego [0] (A+[0]=A i A-[0]=A). Mnożenie macierzy przez liczbę (iloczynem macierzy A=[a_ij]_n×m przez liczbę x€R(Z) nazywamy macierz C=[x*a_ij]_n×m). Własności: 1. (x*y)*A=x*(y*A)=(x*A)*y, 2. (x+y)*A=x*A+y*A, 3. x*(A+B)=x*A+x*B. Mnożenie macierzy (iloczynem macierzy A=[a_ij]_n×p i macierzy B=[b_ij]_p×m nazywamy macierz C o wymiarach n×m, której elementy określone są wzorem C=A*B (c_ij=Σa_ik*b_kj=a_i1*b_1j+a_i2*b_2j+...+a_ip*b_pj)). Własności: 1. (A*B)*C=A*(B*C), 2. A*(B+C)=A*B+A*C, 3. (B+C)*A=B*A+C*A, 4. Element neutralny mnożenia e (e*a=a*e=A). Uwaga! Mnożenie macierzy nie jest przemienne!

Macierz odwrotna: Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywamy taką macierz kwadratową B, że A*B=E. Ozn A^-1. Własności: 1. E=A*A^-1=A^-1*A, 2. ((A^-1)^-1=A, 3. Dla x≠0 (x*A)^-1=¹/_x*A^-1, 4. (AB)^-1=B^-1*A^-1, 5. (A^-1)^T=(A^T)^-1).

Wyznaczniki

Niech A_n×m=[a_ij] i,j=1,...,n będzie macierzą kwadratową. Wyznacznikiem macierzy A (kwadratowej) nazywamy funkcję, która macierzy A przyporządkowuje liczbę określoną w następujący sposób: 1. Jeżeli A_1×1=[a] to detA=[a], 2. Jeżeli A_n×m=[a_ij] i,j=1,...,n i n>=2 to detA=a₁₁*D₁₁+a₁₂*D₁₂+...+a_1n*D_1n (gdzie D_ij=(-1)^i+j (dopełnienie algebraiczne elementu a_ij), detA_ij przy czym A_ij to macierz powstała z A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny). Ozn.: detA, det$\begin{bmatrix} p & q \\ r & s \\ \end{bmatrix}$, |A|, $\left| \begin{matrix} p & q \\ r & s \\ \end{matrix} \right|$.

Obliczanie wyznaczników: 1. Wyznacznik 2-stopnia: A_2×2=$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix}$, detA=$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \right|$=a₁₁*D₁₁+a₁₂*D₁₂=a₁₁*(-1)²*det[a₂₂]+a₁₂*(-1)³*det[a₂₁]=a₁₁*a₂₂-a₁₂*a₂₁ 2. Wyznacznik 3-stopnia (metoda Sarnusa): det$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}$=a₁₁*D₁₁+a₁₂*D₁₂+a₁₂*D₁₃=a₁₁*(-1)²*$\left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right|$+ a₁₂*(-1)³*$\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{matrix} \right|$+a₁₃*(-1)⁴*$\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{matrix} \right|$=a₁₁(a₂₂a₃₃-a₂₃a₃₂)-a₁₂(a₂₁a₃₃-a₂₃a₃₁)+a₁₃(a₂₁a₃₂+a₂₂a₃₁)= a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂-a₁₁a₂₃a₃₂-a₁₂a₂₁a₃₃-a₁₂a₂₂a₃₁.

Własności wyznaczników: 1. Wyznacznik macierzy mającej wiersz złożony z samych 0 jest równy 0, 2. Jeżeli dwa wiersze macierzy są proporcjonalne to wyznacznik tej macierzy jest równy 0, 3. Jeżeli zmienimy miejscami dwa wiersze macierzy to wyznacznik zmieni znak, 4. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza macierzy zawierają ten sam czynnik to czynnik ten możemy wyłączyć przed wyznacznik, 5. Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementu pewnego wiersza dodamy odpowiadające im elementy innego wiersza pomnożone przez tą samą liczbę, 6. Wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowu danej macierzy (detA^T=detA), 7. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na przekątnej głównej, 8. Twierdzenie Cauchy’ego: Wyznacznik iloczynu macierzy tego samego stopnia jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy (det(A*B)=detA*detB), 9. Wyznacznik macierzy odwrotnej do macierzy A jest równy odwrotności wyznacznika macierzy A (det(A^-1)=¹/_detA o ile detA≠0), 10. Wyznacznik iloczynu macierzy przez liczby jest równy det(k*A)_n×m=kⁿ*detA.

Wyznaczanie macierzy odwrotnej: Macierz kwadratową A nazywamy nieosobliwą jeżeli detA≠0. Jeżeli detA=0 to A jest osobliwa. Macierz osobliwa nie posiada macierzy odwrotnej. Macierzą dołączoną do macierzy A nazywamy transponowaną macierz dopełnień algebraicznych A^D=$\begin{bmatrix} D_{11} & \cdots & D_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ D_{n1} & \cdots & D_{\text{nm}} \\ \end{bmatrix}^{T}$. Dowolna macierz nieosobliwa A posiada dokładnie jedną macierz odwrotną określoną wzorem A^-1=¹/_detA*A^D. Rzędem macierzy prostokątnej A=[a_ij] nazywamy: 1. Liczbę 0 gdy macierz jest zerowa, 2. Liczbę równą najwyższemu ze stopni nieosobliwej podmacierzy zawartej w A. Rząd macierzy nie ulega zmianie gdy: 1. Wiersz lub kolumnę pomnożymy przez liczbę różną od 0, 2. Zamienimy miejscami dwa wiersze, 3. Do elementów jednego wiersza dodamy elementy drugiego pomnożone przez liczbę, 4. Skreślimy z macierzy wiersz z samych zer.

Układ równań liniowych: Układem m równań liniowych o n niewiadomych x₁, x₂, ..., x_n, n,m€N nazywamy układ równań w postaci $\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ \ldots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \ldots + a_{\text{mn}}x_{n} = b_{n} \\ \end{matrix} \right.\ $ (gdzie a_ij, i=1,...,m, j=1,...,n, a_ij€R(Z)). Rozwiązaniem układu m równań liniowych o n niewiadomych x₁, x₂, ..., x_n nazywamy ciąg liczb (α1, α2, ..., αn), które po wstawieniu w miejsce niewiadomych zamieniają każde równanie w tożsamość (równość prawdziwą). Układ równań liniowych można zapisać w postaci macierzowej A*X=B (macierz współczynników [a_ij] * macierz niewiadomych [x_n] = macierz wyrazów wolnych [b_m]). Uwaga!: Dla układu równań liniowych zachodzi jadna z trzech możliwości: 1. Układ ma jedno rozwiązanie – układ oznaczony, 2. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań – układ nieoznaczony, 3. Układ nie ma rozwiązania – układ sprzeczny. Układ równań liniowych w postaci A*X=0 (macierz współczynników =0) nazywamy jednorodnym. Jeżeli A*X=B i B≠0 to układ jest niejednorodny. Uwaga!: Układ równań jednorodnych ma przynajmniej jedno rozwiązanie zerowe.

Układy Cramera: Układ równań liniowych o macierzy współczynników kwadratowej i nieosobliwej nazywamy układem Cramera (A*X=B A_n×m i detA≠0). Układ równań Cramera ma zawsze jedno rozwiązanie określone wzorem x₁=^Wi/_W=^DetAi/_detA (gdzie: W – wyznacznik główny, detA_i – wyznacznik macierzy powstałej z A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych).

Tw. Kromeckera-Capelliego: Układ równań liniowych o m równianiach i n niewiadomych ma rozwiązanie rząd macierzy A jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej [A|B] (czyli powstałej z macierzy A przez dopisanie jako ostatniej kolumny kolumny wyrazów wolnych) przy czym: 1. Jeżeli rzA=rz[A|B]=n – układ oznaczony (jedno rozwiązanie), 2. Jeżeli rzA=rz[A|B]<n – układ nieoznaczony (∞ rozwiązań), 3. Jeżeli rzA≠rz[A|B] – układ sprzeczny. Uwaga!: rozwiązania układu nieoznaczonego zależą od n (rz[A]) parametrów.

Metoda eliminacji Gaussa: Macierz rozszerzoną [A|B] przekształca się wykonując na wierszach następujące operacje: 1. Zamiana miejscami dwóch wierszy, 2. Pomnożenie wierszy przez liczbę (≠0), 3. Dodawanie do jednego wiersza innego pomnożonego przez pewną liczbę, 4. Skreślenie wiersza złożonego z samych zer, 5. Zamiana miejscami dwóch kolumn w macierzy A, przy jednoczesnej zmianie niewiadomych (UWAGA! Należy pamiętac o tej zamianie przy kolejnych działaniach).

Rachunek wektorowy

Wektorem (zaczepionym) nazywamy uporządkowaną parę punktów tworzącą w danej przestrzeni odcinek skierowany. Cechy: kierunek (wyznacza prosta przechodząca przez początek i koniec), zwrot (określa, który punkt jest początkiem), długość (odległość między końcami). Wektor, który ma takie same kierunek, zwrot i długość nazywamy równym, natomiast o takim samym kierunku, dlugości lecz przeciwnym zwrocie – przeciwnym. Wektorem swobodnym nazywamu reprezentanta zbioru wszystkich RÓWNYCH wektorów zaczepionych. Uwaga!: Jeśli znamy początek i koniec wektora to jest to zaczepiony, jeśli tylko kierunek, zwrot i długość – swobodny.

Niech A(x_A, y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B). Współrzędne wektora AB to liczby AB=[ax, ay, az] określone: ax=x_B-x_A, ay=y_B-y_A, az=z_B-z_A. Wersorem niezerowego wektora a nazywamy wektor o zwrocie i kierunku takim samym jak zwrot i kierunek wektora a i o długości równej 1. a=[ax, ay, az], wersa=[$\frac{\text{ax}}{|\overset{\rightarrow}{a}|},\ \frac{\text{ay}}{|\overset{\rightarrow}{a}|},\ \frac{\text{az}}{|\overset{\rightarrow}{a}|}$]=[cosα, cosβ, cosγ]. Wersory osi: Ox i=[1, 0, 0], Oy j=[0, 1, 0], Oz k=[0, 0, 1].

Działania na wektorach: Dodawanie (sumą wektorów a i b nazywamy c zbudowany c=a+b, różnica d=a-b=a+(-b), a=[ax, ay, az], b=[bx, by, bz], c=a±b=[ax±bx, ay±by, az±bz]), Mnożenie wektora przez liczbę (iloczynem wektora a przez liczbę x nazywamy wektor o kierunku takim jak kierunek a, zwrotem takim jak a gdy x>0, przeciwnym gdy x<0 i długości równej |x||a|. x*[a_x, a_y, a_z] =[xa_x, xa_y, xa_z]).

Iloczyny wektorowe: Iloczyn skalarny wektorów - jest to liczba (skalar) równa iloczynowi długości wektorów a i b i cosinusa kąta między nimi. Jeżeli któryś z w/w wektorów jest=0 to ich iloczyn skalarny=0. Ozn $\overset{\rightarrow}{a}\overset{\rightarrow}{b}$. Własności: 1. a◦b=b◦a, 2. a◦(b+c)=a◦b+a◦c, 3. x(a◦b)=(xa)◦b=a◦(xb), 4. a◦b=0 a=0 v b=0 v cos(a, b)=0 czyli a prost b, 5. a=[a_x, a_y, a_z], b=[b_x, b_y, b_z], a◦b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z. Zastosowanie: 1. Obliczanie długości wektora, 2. Obliczanie cosinusa kąta między wektorami, 3. Badanie prostopadłości wektorów. Iloczyn wektorow – jest to wektor taki, że: 1. Kierunek wektora c jest prostopadłu do a i b, 2. Zwrot określamy regułą prawej dłoni, 3. Długość |c|=|a||b|sin(a, b). Jeżeli a=0 v b=0 to ich i. w. przyjmujemy =0. Ozn c=a×b. Własności: 1. a×b=-b×a, 2. a×(b+c)=a×b+a×c, 3. (b+c)×a=b×a+c×a, 4. x(a+b)=(xa)×b=a×(xb), 5. a×b=0 a=0 v b=0 v a||b, 6. a=[ a_x, a_y, a_z], b=[ b_x, b_y, b_z], $\overset{\rightarrow}{a} \times \overset{\rightarrow}{b} = \left| \begin{matrix} \overset{\rightarrow}{i} & \overset{\rightarrow}{j} & \overset{\rightarrow}{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ \end{matrix} \right| = \overset{\rightarrow}{i}\left| \begin{matrix} a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \\ \end{matrix} \right| - \overset{\rightarrow}{j}\left| \begin{matrix} a_{x} & a_{z} \\ b_{x} & b_{z} \\ \end{matrix} \right| + \overset{\rightarrow}{k}\left| \begin{matrix} a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \\ \end{matrix} \right|$. Zastosowanie: 1. Obliczanie pola równoległoboku (P=|a×b|), 2. Obliczanie pola trójkąta (P=¹/₂|a×b|), Obliczenie sinusa kąta między wektorami (sin(a, b)=|a×b|/|a||b|), 4. Badanie równoległości wektorów (a||b a=0 ^ b=0 v a×b=0), 5. Wyznaczanie wektora normalnego do płaszczyzny równoległej (n=a×b). Iloczyn mieszany wektorów – jest to liczba = a◦(b×c). Jeżeli któryś z w/w wektorów jest=0 to iloczyn mieszany=0. Ozn (a b c). Własności: 1. a◦(b×c)=(a×b)◦c, 2. (a b c)=(b c a)=(c a b)=-(b a c)=-(c b a)=-(a c b), 3. (a b c)=0 a=0 v b=0 v c=0 v a, b, c są równoległe do jednej płaszczyzny (komplanarne), 4. a=[a_x, a_y, a_z], b=[b_x, b_y, b_z], c=[c_x, c_y, c_z] $\overset{\rightarrow}{a}\overset{\rightarrow}{b}\overset{\rightarrow}{c} = \left| \begin{matrix} a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \\ \end{matrix} \right|$. Zastosowanie: 1. Obliczanie objętości równoległościanu (V=|(a b c)|), 2. Objętości czworościanu (V=¹/₆|(a b c)|), 3. Badanie komplenarności (współpłaszczyznowości) wektorów (a, b, c są k. (a b c)=0)