Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami okresowych przebiegów odkształconych i ich aproksymacją za pomocą kolejnych wyrazów szeregu Fouriera . Bada się wpływ zmian faz poszczególnych harmonicznych na kształt przebiegu odkształconego przy nie zmienionych amplitudach.

Przebieg ćwiczenia:

W związku z uszkodzeniem stanowiska udało nam się jedynie uzyskać przebieg napięcia stworzony z trzech harmonicznych, a mieliśmy na celu uzyskanie przebiegu prostokątnego. Z tego powodu sprawozdanie ma formę bardziej teoretyczną.

Wprowadzenie:

Wszystkie przebiegi okresowe nie mające kształtu sinusoidalnego zalicza się do klasy przebiegów okresowych niesinusoidalnych lub odkształconych. Przebiegi te uzyskiwane są albo w sposób zamierzony i wówczas są pożądane , albo jako niepożądany skutek działania różnych czynników. Liczne generatory wytwarzają przebiegi piłowe , prostokątne lub impulsowe jako wynik zamierzonego działania. Natomiast w transformatorze z rdzeniem ferromagnetycznym przy zasilaniu napięciem sinusoidalnym prąd w obwodzie na skutek nieliniowej charakterystyki magnesowania ma przebieg niesinusoidalny , co jest zjawiskiem niepożądanym. Zjawiska zachodzące w obwodach elektrycznych w przypadku niesinusoidalnych napięć i prądów można badać po uprzednim rozwinięciu tych funkcji w trygonometryczny lub zespolony szereg Fouriera. Jest to szczególnie korzystne w przypadku zasilania przebiegami odkształconymi obwodów liniowych , dla których można stosować zasadę superpozycji . Jedyna niedogodność tej metody polega na tym , że w celu dokładnego odtworzenia przebiegu danej funkcji okresowej należy użyć nieskończenie wielu wyrazów szeregu. Praktycznie ze względu na jego szybką zbieżność wystarczy kilka wyrazów , aby uzyskać zadowalające przybliżenie. Jako miarę dokładności przyjmuje się błąd średniokwadratowy. Rozkład na szereg Fouriera można traktować jako przypadek ogólniejszej metody reprezentacji pewnej klasy funkcji czasowych przez zbiór tak zwanych funkcji ortogonalnych.

Szereg Fouriera i jego zasadnicze postacie

Dowolną funkcję okresową niesinusoidalną f(t) można rozwinąć w szereg Fouriera , jeżeli spełnia ona warunki Dirichleta , które brzmią:

- funkcja f(t) jest przedziałami monotoniczna w przedziale skończonym <a,b>

- funkcja f(t) jest w tym przedziale ciągła z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju , przy czym w każdym punkcie nieciągłości istnieją granice lewostronne i prawostronne , a wartość jest równa średniej arytmetycznej obu granic .

Zatem funkcję okresową można przedstawić za pomocą następującej zależności:

(1)

zwanej postacią trygonometryczną szeregu Fouriera , przy czym ω=2Π/T .

Składnik a₀ /2 nazywa się składową stałą ,lub wartością średnią funkcji f(t), a składniki będące funkcjami argumentu kωt ”k-tą ” harmoniczną funkcji f(t).

Współczynniki szeregu oblicza się na podstawie wzorów:

a ponieważ :

to szereg można przedstawić także pod postacią trygonometryczną w formie :

(2)

Można również przedstawić szereg Fouriera w postaci zespolonej :

(3)

Postać szeregu dana wzorem (2) jest wygodna w praktyce , gdyż zawiera bezpośrednia informację o każdej harmonicznej , a mianowicie jej amplitudę

C_k oraz fazę początkową ϕ_K. Informację te przedstawia się często w postaci wykresów w funkcji częstotliwości (pulsacji ω) lub numeru harmonicznej k, zwanym widmem dyskretnym lub prążkowym amplitudy i fazy.

Charakterystyki wykonane w programie Matlab dla 4 harmonicznych:

1. funkcja prostokątna

$$f\left( t \right) = \frac{4A}{\pi}\sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{(2n - 1)}sin(2k - 1)\omega t}$$

$$f\left( t \right) = \frac{4A}{\pi}(sin\omega t + \frac{1}{3}sin3\omega t + \frac{1}{5}sin5\omega t + \frac{1}{7}sin7\omega t + \ldots)$$

1. funkcja piłokształtna rosnąca

$$f\left( t \right) = \frac{A}{2} - \frac{A}{\pi}\sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{k}\text{sinkωt}}$$

$$f\left( t \right) = \frac{A}{2}*k - \frac{A}{\pi}(sin\omega t + \frac{1}{2}sin2\omega t + \frac{1}{3}sin3\omega t + \frac{1}{4}sin4\omega t + \ldots)$$

1. funkcja trójkątna

$$f\left( t \right) = \frac{8A}{\pi}(sin\omega t - \frac{1}{9}sin3\omega t + \frac{1}{25}sin5\omega t - \frac{1}{49}sin7\omega t\ldots)$$

1. funkcja trapezowa

$$f\left( t \right) = \frac{4A}{\text{πωτ}}\sum_{k = 1}^{n}\frac{sin(2k - 1)\omega\tau sin(2k - 1)\omega t}{(2k - 1)}$$

$$f\left( t \right) = \frac{4A}{\text{πωτ}}(sin\omega\tau sin\omega t + \frac{1}{9}sin3\omega\tau sin3\omega t + \frac{1}{25}sin5\omega\tau sin\omega t + \ldots$$

Wnioski:

Na podstawie ćwiczenia można stwierdzić, że mając harmoniczne o odpowiednich amplitudach i przesunięciu fazowym można złożyć dowolny przebieg odkształcony poprzez dokonanie syntezy. W ćwiczeniu dokonaliśmy syntezy przebiegu prostokątnego za pomocą pierwszej, trzeciej, piątej i siódmej harmonicznej o amplitudach uwarunkowanych rozkładem tego przebiegu na szereg Fouriera i zgodnych fazach za pomocą programu Matlab.

Należy tutaj uwzględnić efekt Gibbsa, który polega na tym, że jeśli istnieje nieskończenie wiele harmonicznych, to w punktach nieciągłości przebiegu odkształconego mamy wiele odcinków odbiegających od przebiegu idealnego, który staramy się złożyć.