Laboratorium:

Podstawy Robotyki

Temat:

Doświadczalne wyznaczanie macierzy Jacobiego.

Osobliwości mechanizmu.

Gr. 12A4

Wilimberg Damian

Szatara Hubert

Szalonek Sebastian

1. Wstęp.

Celem laboratorium było wyznaczenie macierzy Jacobiego metodą doświadczalną (analityczną). W stosowanej przez robotyków nomenklaturze macierz Jacobiego jest to wielowymiarowa postać pochodnej funkcji wielu zmiennych (pochodne współrzędnych kartezjańskich członu roboczego w układzie podstawy robota po pochodnych współrzędnych konfiguracyjnych (przegubowych)).

Na podstawie tej macierzy (a dokładniej jej wyznacznika), możemy wyznaczyć punkty osobliwe manipulatora. Punkty osobliwe, są to punkty, w których układ zaczyna się zachowywać w inny sposób niż przewidziano. Przykładowo efektor robota może znaleźć się w takim położeniu, w którym pozostanie pomimo ruchów silników.

2. Przedstawienie obiektu badań.

a) Manipulator o strukturze szeregowej

Przedmiotem badań był manipulator przemysłowy FANUC S-420F o sześciu stopniach swobody (sześć osi obrotowych). Masa robota: około 1600 [kg], udźwig: 120 [kg], powtarzalność: +/- 0,5 [mm].

Rys. 1. Schemat strukturalny manipulatora

a) Analiza strukturalna

Robot posiada 6 ogniw ruchomych i 6 par kinematycznych 5 klasy (obrotowych), stąd ruchliwość jest równa:

W = 6 • n − 5 • p₅ − 4 • p₄ − 3 • p₃ − 2 • p₂ − 1 • p₁

p₅ = 5

n = 6

W = 6 • 6 − 6 • 5 = 6

gdzie:

W - ruchliwość mechanizmu

n - liczba ogniw ruchomych i nieruchomych

p - liczba par kinematycznych i-tej klasy

b) pozycja i orientacja członu roboczego względem układu podstawy manipulatora

W celu znalezienia położenia jednego członu manipulatora względem drugiego należy określić pozycję i orientację. Pozycja związana jest bezpośrednio z położeniem jednego układu względem drugiego. Jest ona określana przez wektor o początku w podstawie robota i końcu w uchwycie przymocowanym do kiści robota. Orientacja zaś określa pod jakim kątem dany układ jest obrócony względem drugiego. Jest macierzą określającą kąty miedzy uchwytem a osiami układu współrzędnych, który jest związany z przestrzenią, w której pracuje robot.

Wektor pozycji: ${p^{a,m} = \begin{bmatrix} p^{x} & p^{y} & p^{z} \\ \end{bmatrix}}^{T}$

Macierz orientacji: $B^{a,m} = \begin{bmatrix} \cos({\hat{x}}^{a},{\hat{x}}^{m}) & \cos({\hat{y}}^{a},{\hat{x}}^{m}) & \cos({\hat{z}}^{a},{\hat{x}}^{m}) \\ \cos({\hat{x}}^{a},{\hat{y}}^{m}) & \cos({\hat{y}}^{a},{\hat{y}}^{m}) & \cos({\hat{z}}^{a},{\hat{y}}^{m}) \\ \cos({\hat{x}}^{a},{\hat{z}}^{m}) & \cos({\hat{y}}^{a},{\hat{z}}^{m}) & \cos({\hat{z}}^{a},{\hat{z}}^{m}) \\ \end{bmatrix}$

c) kąty Eulera - układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwu kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Przyjęta konwencja - X-Y-X

Obrót wokół osi x

$$B_{x}(\alpha) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \text{cosα} & - sin\alpha \\ 0 & \text{sinα} & \text{cosα} \\ \end{bmatrix}$$

Obrót wokół osi y

$$B_{y'}(\beta) = \begin{bmatrix} \text{cosβ} & 0 & \text{sinβ} \\ 0 & 1 & 0 \\ \text{sinβ} & 0 & \text{cosα} \\ \end{bmatrix}$$

Obrót wokół osi x^"

$$B_{x}(\alpha 1) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\alpha 1) & - sin(\alpha 1) \\ 0 & sin(\alpha 1) & cos(\alpha 1) \\ \end{bmatrix}$$

Prawo składania dla obrotów: B_{x − y^′ − x^″}(α, β, α1)=B_x(α)•B_y^′(β)•B_x^″(α1)

B_{x − y^′ − x^″}(α, β, α1)=

3. Wykonanie pomiarów.

Na laboratoriach wykonaliśmy serię pomiarów, które składały się z następujących czynności:

a) Odczytanie początkowych współrzędnych kartezjańskich chwytaka

b) Zmiana poszczególnych kątów (ϴ₁...ϴ₆) o +1⁰.

c) Odczytanie współrzędnych punktu P1 oraz powrót do współrzędnych wyjściowych przed każdym kolejnym pomiarem.

d) Wykonanie trzech nadmiarowych pomiarów (w celu otrzymania dokładniejszych pomiarów) dla θ1 , θ2 i θ3 , przy zmianie ich wartości o -1⁰.

c) Wprowadzenie danych do programu MATLAB, w celu wyliczenia macierzy Jacobiego.

Postać ogólna macierzy Jacobiego

$$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial\theta_{1}} & \frac{\partial x}{\partial\theta_{2}} & \frac{\partial x}{\partial\theta_{3}} & \frac{\partial x}{\partial\theta_{4}} & \frac{\partial x}{\partial\theta_{5}} & \frac{\partial x}{\partial\theta_{6}} \\ \frac{\partial y}{\partial\theta_{1}} & \frac{\partial y}{\partial\theta_{2}} & \frac{\partial y}{\partial\theta_{3}} & \frac{\partial y}{\partial\theta_{4}} & \frac{\partial y}{\partial\theta_{5}} & \frac{\partial y}{\partial\theta_{6}} \\ \frac{\partial z}{\partial\theta_{1}} & \frac{\partial z}{\partial\theta_{2}} & \frac{\partial z}{\partial\theta_{3}} & \frac{\partial z}{\partial\theta_{4}} & \frac{\partial z}{\partial\theta_{5}} & \frac{\partial z}{\partial\theta_{6}} \\ \frac{\partial\alpha}{\partial\theta_{1}} & \frac{\partial\alpha}{\partial\theta_{2}} & \frac{\partial\alpha}{\partial\theta_{3}} & \frac{\partial\alpha}{\partial\theta_{4}} & \frac{\partial\alpha}{\partial\theta_{5}} & \frac{\partial\alpha}{\partial\theta_{6}} \\ \frac{\partial\beta}{\partial\theta_{1}} & \frac{\partial\beta}{\partial\theta_{2}} & \frac{\partial\beta}{\partial\theta_{3}} & \frac{\partial\beta}{\partial\theta_{4}} & \frac{\partial\beta}{\partial\theta_{5}} & \frac{\partial\beta}{\partial\theta_{6}} \\ \frac{\partial\gamma}{\partial\theta_{1}} & \frac{\partial\gamma}{\partial\theta_{2}} & \frac{\partial\gamma}{\partial\theta_{3}} & \frac{\partial\gamma}{\partial\theta_{4}} & \frac{\partial\gamma}{\partial\theta_{5}} & \frac{\partial\gamma}{\partial\theta_{6}} \\ \end{bmatrix}$$

1)Macierz Jacobiego dla wykonanych pomiarów:

$$J = \begin{bmatrix} - 2.3620 & 11.7210 & - 1.3930 & - 4.8090 & - 12.3920 & - 11.6340 \\ 22.3310 & - 1.9680 & 0.3060 & - 5.6960 & 2.2110 & 1.4150 \\ - 0.0140 & 5.7060 & 23.2220 & - 2.0090 & 2,0540 & 1.5070 \\ - 0.0330 & - 0.0630 & - 1.0370 & 0.1280 & 0.7880 & - 0.2220 \\ 0.0090 & 0.0170 & 0.2900 & 1.0050 & - 0.222. & 0.1310 \\ 1,0080 & 0.0020 & 0.0130 & - 0.0460 & 0.0250 & 1.0050 \\ \end{bmatrix}$$

1)Wnioski wyciągnięte na zajęciach podczas obserwacji:

	x	Y	Z
θ1 + 1	Niewielkie odchylenie	Największe odchylenie	Nie zmienia się
θ2 + 1	Największe odchylenie	Niewielkie odchylenie	Znaczne odchylenie
θ3 + 1	Niewielkie odchylenie	Nie zmienia się	Największe odchylenie
θ4 + 1	Znaczne odchylenie	Największe odchylenie	Znaczne odchylenie
θ5 + 1	Największe odchylenie	Znaczne odchylenie	Znaczne odchylenie
θ6 + 1	Największe odchylenie	Znaczne odchylenie	Znaczne odchylenie

Najprawdopodobniej po θ₅ operator nie cofnął prawidłowo manipulatora i dlatego pomiar jest nieprawidłowy.Wynika z tego żę przyczyna błędu leży w niedokładnej obsłudze panelu sterującego robotem.

2)Macierz Jacobiego dla wykonanych pomiarów:

$$J = \begin{bmatrix} - 0.1760 & 14.6370 & - 5.8190 & - 0.0390 & 4.1650 & 0.0060 \\ 21.2280 & 0.9960 & - 0.3970 & - 4.2360 & 0.5570 & 0 \\ 0 & 6.0270 & 22.5350 & 1.4630 & 1.7670 & 0 \\ 0 & 0 & - 0.9810 & - 0.2710 & - 0.9590 & 0.2170 \\ 0 & 0 & - 0.2660 & 0.9420 & - 0.1820 & 0.4450 \\ 0.9910 & 0 & - 0.2270 & - 0.2880 & 0.0970 & 0.9120 \\ \end{bmatrix}$$

2)Wnioski na podstawie macierzy Jakobianowej

	x	y	Z
ϴ1 + 1^o :	wychylenie	Największe wychylenie	Bez zmian
ϴ2 + 1^o :	Największe wychylenie	Bez zmian	Wychylenie
ϴ3 + 1^o :	wychylenie	Bez zmian	Największe wychylenie
ϴ4 + 1^o :	Bez zmian	Największe wychylenie	Wychylenie
ϴ5 + 1^o :	Największe wychylenie	Bez zmian	Wychylenie
ϴ6 + 1^o :	Bez zmian	Bez zmian	Bez zmian

-pomiar wykonany prawidłowo.

4.Wnioski:

Ćwiczenie laboratryjne poruszyło istotną kwestie konfiguracji manipulatora, które można podzielić na regularne oraz osobliwe (nieregularne). Konfiguracja osobliwa występuje w tedy kiedy macierz Jakobiego nie jest kwadratowa , jeżeli ma ona wymiary MxN to N<M. Mogą pojawić się wtedy „ruchy osobliwe”, czyli takie kiedy ruch danego przegubu nie wpływa na zmianę położenia chwytaka, jest to znakiem tego, że manipulator stracił stopień swobody. Takie zjawisko może spowodować trudności w sterowaniu manipulatorem, a czasem nawet do jego całkowitego unieruchomienia. Wyeliminowanie takiego stanu rzeczy jest często bardzo trudne. Z wyznacznika macierzy Jakobiego można określić czy takie zjawisko ma miejsce, jeżeli jest on równy zeru macierz traci rząd wielkości, wynika z tego żę traci również stopień swobody.