Dywergencja, rozbieżność:

Mnożenie skalarne Nabla przez wektor daje wartość liczbową zwaną dywergencją lub rozbieżnością pola wektorowego : ∇ * V = div V. Dywergencja oznacza prędkość zmiany objętości elementu płynu odniesiona do objętości tego elementu, czyli może być różna od zera tylko w płynie ściśliwym. Obliczanie rozbieznosci pola:

div(c) = 0

div(v1 + v2) = div(v1) + div(v2)

div(cV) = c*div(v)

Mnożenie wektorowe Nabla przez wektor daje wielkość wektorową zwaną rotacją pola wektorowego: ∇  ×  V = rot V. Jeżeli pole wektorowe V opisuje pole prędkości przepływu, to niezerowa wartość rotacji tego pola wskazuje na ruch wirowy elementów płynu. Pole gdzie rotV=0 nazywamy bezwirowym. Obliczanie wirowosci pola:

rot(v1 + v2) = rot(v1) + rot(v2)

rot(cV) = c*rot(v)

Operator Nabla (Hamiltona)

Jednym z kilku możliwych iloczynów podwójnych jest dywergencja gradientu skalara S lub laplasjan skalara S: ∇ * ∇S = ∇²S, ∇ × ∇S = rotgradS = 0. Laplasjan jest główną częścią wielu równań mechaniki płynów, m.in. równania Laplace’a, które rządzą tzw. przepływami potencjalnymi.

Siły:

Siły wewnętrzne – wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące sie parami.

Siły zewnętrzne – wynik oddziaływania mas nie należących do wydzielonego obszaru płynu – dzielimy je na siły masowe i siły powierzchniowe.

Siły masowe - obejmują każdy element płynu i są proporcjonalne do jego masy.

F = 1/ρ * (dF’ / dτ) ; F-jednostkowa sila masowa (np. przyspieszenie g), ρ – gęstość.

Równowaga płynu:

W płynie będącym w równowadze ciśnienie w dowolnym punkcie ma wartość stała i niezależną od orientacji elementu powierzchniowego przechodzącego przez ten punkt:

p_xdS_x – pdScos(p,x) = 0; p_ydS_y – pdScos(p,y) = 0; p_zdS_z – pdScos(p,z) = 0

Jednostkowa sila masowa:

F = iX + jY + kZ = F(x,y,z)

X=1/ρ * dp/dx; Y=1/ρ * dp/dy; Z=1/ρ * dp/dz

Co prowadzi do prawa Eulera :

F = 1/ρ * grad p

Xdx + Ydy + Zdz = dp/ρ

Jeżeli pole sił masowych jest potencjalne, to:

F = -gradU, gdzie U prędkość.

dU = -dp/ρ

p= -ρU + C

np. w polu grawitacyjnym

p = -ρgz + C

Powierzchnie ekwipotencjalne – powierzchnie stałego potencjału (ρ i p nie zmieniają się wzdłuż takiej powierzchni), np. swobodna powierzchnia płynu czy powierzchnia rozdziału dwóch nie mieszających sie cieczy o różnych gęstościach.

Wniosek: w polu grawitacyjnym Ziemi powierzchnie stałego ciśnienia hydrostatyczne są poziome.

Wniosek ogólny: powierzchnie izobaryczne i ekwipotencjalne są prostopadłe do wektora sił masowych.

Jezeli przez p_a oznaczymy ciśnienie na swobodnej powierzchni cieczy na wysokosci H, to otrzymamy:

p=p_a + ρgh

Ciśnienie hydrostatyczne w gazach:

Gazy cechuje ściśliwość.

dp/dz = -ρg = (-p/RT) * g

Atmosfera izotermiczna, gdzie t=t₀:

p₂ = p₁ * exp [- g(z1-z1)/RT₀ ]

Pomiar ciśnienia:

Rodzaje cisnieniomierzy:

- absolutne - do pomiaru ciśnienia absolutnego;

- różnicowe - do różnicy ciśnienia;

- manometry - do pomiaru nadciśnienia;

- wakuometry – do pomiaru podciśnienia;

- manowakuometry – do pomiaru nadciśnienia i podciśnienia;

- barometry – do pomiaru ciśnienia atmosferycznego;

Prawo Pascala:

Przyrost ciśnienia w dowolnym punkcie jednorodnego płynu nieściśliwego znajdującego się w stanie równowagi w potencjalnym polu sił masowych wywołuje zmianę ciśnienia o taką samą wielkość w każdym innym punkcie płynu.

p-p₀ = ρ(U-U₀)

p+ϭ_p – (p₀ + ϭp₀) = ρ(U-U₀)

ϭp – ϭp₀ = 0

ϭp = ϭp₀

Prasa hydrauliczna:

Wynalazł Bramah, stąd prasa bramaha:

- siłowniki hydrauliczne;

- narzędzia maszynowe;

- maszyny do badań wytrzymałościowych.

F₁=p*A₁; F₂=p*A₂, stąd wynika, że F₂=F₁*(A₂/A₁).

Obrót wokół osi pionowej:

Napór płynu na ścianki naczynia:

Całkowita siła hydrostatyczna działająca na obiekt jest opisana wzorem:

F=p_a*A + γ ∫h*dA, gdzie h = ξ sin θ, a odległość środka ciężkości od powierzchni płynu wynosi:

ξ_CG = 1/A ∫ ξ dA (CG – środek ciężkości).

F = (p + γh)A = p_CG*A

Napór cieczy na ścianę płaską:

F = (p + γh)A = p_CG*A

Momenty bezwładności:

Aby uniknąć wyginania powierzchni, siła F nie działa w środku ciężkości, ale w środku naporu. W celu znalezienia jego położenia należy zsumować momenty:

Fy(cp) = -γ * sinθ * I(xx)

Fx(cp) = -γ * sinθ * I(xy)

Napór hydrostatyczny na ściany zakrzywione:

Napór na powierzchnie zakrzywione najłatwiej jest przedstawić w formie sumy naporów na elementarne powierzchnie w płaszczyznach pionowej i poziomej:

dNx = ρgz *dA*cosα; dNy = ρgz*dA*sinα

Nz = ρgV

Ciała zanurzone w cieczy:

Na ciala zanurzone w cieczy dzialaja te same sily jak w przypadku powierzchni i prowadza one do prawa sformulowanego przez Archimedesa.

Prawo Archimedesa:

Oprócz wyporu działa na ciało jego ciężar, którego punktem zaczepienia jest środek ciężkości. Siła wypadkowa działająca na to ciało zanurzone może być wyznaczona z równania G₁ = F_b + G i nazywana jest ciężarem pozornym ciała.

Wzór ten wyraża zasadę Archimedesa:

„Ciało zanurzone w płynie traci pozornie tyle na ciężarze, ile waży płyn wyparty przez to ciało.”

Równowaga ciał zanurzonych:

Warunki opadania i unoszenia się ciał swobodnych zanurzonych w płynie.

1. Wypór F_b= - ρgV = G = ρ_c*g*V_c, wtedy ρ/ρ_c = V_c /V

- jeżeli ρ_c = ρ, to V_c = V, a zatem ciało jest całkowicie zanurzone.

- jeżeli ρ_c < ρ, to V_c > V, a zatem ciało pływa, wynurzone częściowo.

2. Jeżeli G < F_b to siła wypadkowa F_b + G wypiera ciało w górę do osiągnięcia stanu równowagi, tj. gdy wypor zanurzonej czesci ciala bedzie rowny jego ciezarowi.

3. Jeżeli G > F_b to ciało tonie.

STATECZNOŚĆ:

Pojęcie stateczności pływania obejmuje zdolność powrotu ciała pływającego, wychylonego ze stanu równowagi do położenia pierwotnego. Przy analizowaniu stateczności ciał pływających wprowadzamy następujące pojęcia:

- oś pływania - prosta przechodząca przez środek masy S i środek wyporu.

- linia pływania - linia przecięcia zwierciadła cieczy z powierzchnią ciała w niej częściowo zanurzonego.

- pole pływania- płaskie pole ograniczone linią pływania

Wniosek: dla zapewnienia równowagi trwałej ciała całkowicie zanurzonego środek wyporu musi być powyżej środka ciężkości.

Kroki analizy:

- wyznaczenia środka ciężkości G oraz środka wyporu B;

- wychylenie ciała masy o mały kat ∆θ, wyznaczenie nowego srodka wyporu B’ oraz punktu metacentrycznego M.

- jeżeli punkt M znajduje się powyżej punktu G to układ jest stabilny, a gdy odległość |MG| jest ujemna, to układ jest niestabilny.

Stateczność ciała częściowo zanurzonego – ZAŁOŻENIE: kąt przechyłu jest mały.

W przypadku ciała częściowo zanurzonego przy przechyle środek wyporu zmienia swoje położenie. Analiza stateczności polega na określeniu położenia środka wyporu po przechyleniu ciała o kąt θ.

KINEMATYKA:

Zajmuje sie analitycznym opisem przepływów niezależnie od przyczyn (sił), które ten przepływ wywołują. Opis ruchu jest wiec czysto geometryczny.

Metody badań ruchu:

Zmiany wielkości charakteryzujących ruch elementów płynu (np. v, a, ρ) mogą zachodzić z biegiem czasu i wraz ze zmianą położenia danego elementu w przestrzeni.

Pochodna substancja:

Związana z eulerowskim sposobem opisu ruchu płynu. Pokazuje ona w jaki sposób zmienia sie w czasie dowolny parametr charakteryzujący element płynu poruszający się w polu tego parametru. Jeżeli H jest funkcją zmiennych Eulera H = H(t, x(t), y(t), z(t)). Zgodnie z definicją różniczki zupełnej:

DH/Dt = dH/dt + dH/dx*v(x) + dH/dy*v(y) + dH/dz*v(z)

Podkreślenie to pochodna unoszenia i jest równa (v*∇)*H.

Pochodna lokalna:

Pokazuje zmianę parametru H w czasie w punkcie (x, y, z) wynikającą z niestacjonarności pola H.

Pochodna unoszenia:

Pokazuje zmianę parametru H w czasie, na skutek przemieszczenia się elementu płynu z pewną prędkością z punktu o jednej wartosci H do punktu o innej wartosci H.

Pochodna materialna = pochodna lokalna + pochodna unoszenia

Pochodna substancjalna:

Pochodna zupełna nazywa się pochodną materialną lub substancjalną. Operator pochodnej ma postać: i jest nazywany operatorem Stokes’a. Zastosowanie operatora do składowych pola prędkości pozwala obliczyć przyspieszenie materialne. W zapisie wektorowym Dv/Dt = dv/dt + (v*∇)v.

Rurka prądu:

Rurka prądu – powierzchnia prądy, otrzymana przez poprowadzenie przez zamknięty kontur linii prądy. Włókno prądu – powstaje, gdy przekrój rurki jest nieskończenie mały.

Struga - zbiór linii prądu wypełniających w sposób ciągły rurkę prądu.

Dla rurki prądy można wyznaczyć:

Objętościowe natężenie przepływu: Q= ∫_Su_n dS

Objętościowa prędkość średnia: $\tilde{\mathbf{u}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{S}}\int_{\mathbf{S}}^{}{\mathbf{u}_{\mathbf{n}}\mathbf{\ }\mathbf{\text{dS}}}$

Masowe natężenie przepływu: M=∫_Sρu_n dS

Masowa prędkość średnia: $\tilde{\mathbf{u}}\mathbf{=}\frac{\int_{\mathbf{S}}^{}{\mathbf{\rho}\mathbf{u}_{\mathbf{n}}\mathbf{\ }\mathbf{\text{dS}}}}{\int_{\mathbf{S}}^{}{\mathbf{\rho}\mathbf{\ }\mathbf{\text{dS}}}}$

Ruch ogólny elementu płynu:

Ruch ogólny elementu płynu można traktować jako superpozycję przemieszczenia liniowego, obrotu względem chwilowego bieguna oraz odkształcenia (liniowe i kątowe).

Odkształcenie w ruchu dwuwymiarowym:

Prędkość ruchu: u = iu + jv.

Odkształcenie liniowe elementu płynu: składowa prędkości u zmienia sie w kierunku x ,a składowa v w kierunku y. Prowadzi to do przyrostu objętości elementu w czasie dt o wartość (du/dx + dv/dy)dxdydt. Miara prędkości: εxx = du/dx; εyy = dv/dy.

Odkształcenie postaciowe: składowa prędkości u zmienia sie w kierunku y, a składowa v w kierunku x. Prowadzi to do obrotu ścianek elementu płynu o kąty: dα = (dv/dx)dt; dβ=(du/dy)dt.

Miara prędkości: εxy = ½ (du/dy + dv/dx)

Sztywny obrót elementu płynu - suma dwóch odkształceń postaciowych, gdy kąty pomiędzy bokami elementu pozostają proste. Prędkość kątową : Ωz = ½ (dv/dx – du/dy).

Odkształcenie w ruchu trójwymiarowym:

Prędkość ruchu: u = iu + jv + kw.

Element płynu wykonuje ruch ogólny złożony z translacji prędkości u0, obrotu względem bieguna O i deformacji. Na ich skutek ulega zmianie wektor δr łączący punkt A z biegunem. W ogólnym przypadku wektor ten doznaje obrotu i zmiany długości. Można zapisać: d(dr) = (u(A) – u(0)) dt. Różnice prędkości między A i O można rozwinąć w szereg Taylora du= u(a) – u(0) = ∇*u(0)*dr. (mała odległość między A i O).

Pierwsze twierdzenie Helmholtza:

Prędkość dowolnego punktu elementu płynu składa się z:

-prędkości postępowej punktu obranego za biegun;

-prędkości obrotowej wokół osi przechodzącej przez biegun;

-prędkości deformacji elementu płynu.

W porównaniu z analogicznym ruchem ciała sztywnego można stwierdzić różnice:

-wzór dla płynu jest ważny tylko w bliskim otoczeniu bieguna;

-w płynie dodatkowo występuje prędkość deformacji.

Opis matematyczny

Wirowy przepływ, gdy wszędzie (prawie) rotacja pola jest różna od zera. Wtedy każdemu (prawie) punktowi przestrzeni można przypisać wektor wirowości: Ω = rotu = 2ω.

Linie wirowe:

Linie wirowe - linie pola wektorowego wirowości, czyli linie styczne w każdym punkcie pola do wektorów wirowości. Równanie linii wirowej: dx/Ωx = dy/Ωy = dz/Ωz

Cyrkulacja wektora prędkości:

W poruszającym się płynie rozpatrujemy odcinek krzywej C, nie będącej linią prądu. Każdy element płynu znajdujący się na nim ma prędkość v. Cyrkulacja wektora prędkości wzdłuż łuku AB krzywej C to: ΓAB=∫_A^Bv ds , ds - skierowany element łuku AB, gdzie α – kąt między wektorem prędkości v, a styczną do odcinka AB w danym punkcie. W przypadku całki krzywoliniowej: ΓAB= ∮v ds. Całka dodatnia – ruch zgodnie z kierunkiem całkowania, całka ujemna – przeciwnie.

Twierdzenie Stokes’a:

Cyrkulacja prędkości wzdłuż dowolnego konturu C jest równa strumieniowi wirowości przez dowolną powierzchnię objętą tym konturem Γ = ∫_Srot(u) dS, Twierdzenie: Cyrkulacja prędkości wzdłuż zewnętrznej linii konturowej równa się sumie cyrkulacji wzdłuż zewnętrznych boków konturów składowych.

Przepływ potencjalny:

Jeżeli podczas przepływu elementy płynu doznają tylko przesunięcia i odkształcenia, ale nie doznają obrotów spełniony jest warunek: rotv = W = 2ω = 0 -> przepływ bezwirowy (potencjalny).

dw/dy = dv/dz; du/dz=dw/dx; dv/dx = du/dy

Potencjał prędkości:

Warunki przepływu potencjalnego powodują istnienie pewnej funkcji Φ(x,y,z) lub Φ(x,y,z,t) dla przepływów nieustalonych, takiej, że u=dΦ/dx; v=dΦ/y; w=dΦ/dz; v=grad Φ , gdzie Φ - potencjał prędkości. Jeżeli pole jest bezźródłowe to potencjał prędkości spełnia równanie Laplace’a: ∆^2 * Φ = ∇ Φ = 0

Powierzchnia ekwipotencjalna:

W każdym punkcie pola potencjał prędkości ma inną wartość. Całkowita zmiana potencjału dwóch sąsiednich cząstek: d Φ= ∂Φ/∂x *dx + ∂Φ/ ∂y * dy + ∂ Φ/ ∂z dz = 0, gdzie udx + vdy + wdz = 0.

Ruch płasko-równoległy:

u=v0; v=0; w=0; Φ = v0*x: powierzchnie jednakowego potencjału są powierzchniami prostopadłymi do osi OX, a linie prądu są liniami równoległymi do tej osi.

Źródło/upust:

Punkt w przestrzeni, z którego stale wypływa lub do którego stale wpływa płyn. Dla źródła strumień objętości wynosi q(v), a dla upustu (-q(v)).Prędkość cząstek na powierzchni kuli o promieniu r:

v = q(v)/4*pi*r^2.

Para źródło-upust:

Analizowany będzie ruch spowodowany jednocześnie źródłem i upustem o jednakowych strumieniach objętości. Jeżeli a jest odległością źródła i upustu od początku układu, to dla źródła $r1 = \ \sqrt{{(x + a)}^{2} + y^{2}}$ i upustu $r2 = \ \sqrt{{(x - a)}^{2} + y^{2}}$.

Płaski ruch potencjalny:

Ruch nieskończenie cienkiej warstwy płynu po stałej płaszczyźnie. Warunkiem ruchu potencjalnego jest znikanie wektora wiru. Potencjał prędkości: u= ∂ Φ/ ∂ x; v = ∂ Φ/∂ y. Linia jednakowa potencjału – miejsce, gdzie punkty mają taki sam potencjał.

Funkcja prądu:

Dla przepływu płaskiego linia prądu ma postać: dx/u = dy/v; -vdx +udy = 0. Lewa strona: różniczka zupełna funkcji Ψ(x,y) spełniającej zależność : v = ∂ Ψ/∂ x; u = ∂ Ψ/∂ y. Różnica wartości funkcji prądu w dwóch dowolnych punktach pola prędkości jest równa jednostkowemu strumieniowi objętości płynu między dwiema liniami prądu przechodzącymi przez obrane punkty.

Przepływ jednorodny:

Przepływ określony potencjałem prędkości w funkcji liniowej Φ = ax + by (u = a, v = b). Rownanie linii prądu przyjmuje postać dΨ = udy – vdx = ady – bdx.

Rurka wirowa – powstaje, gdy przez każdy punkt krzywej zamkniętej poprowadzi się linie wirowe.

Struga wirowa – powstaje, gdy krzywa jest zamknięta nieskończenie małym konturem, a linie wirowe przechodzące przez ten kontur tworzą tą strugę.

Strumień wirowości:

Strumieniem wirowości nazywa się strumień wektora wirowości przechodzący przez powierzchnie A. Elementarny strumień wirowości:

∫_AΩn dA =  ∫_VdivΩ dV

Twierdzenie Thompsona:

W przepływie idealnego płynu barotropowego znajdującego sie pod działaniem potencjalnego pola sił masowych cyrkulacja predkosci wzdłuż dowolnej zamkniętej linii nie zmienia się w czasie.

II Twierdzenie Helmholtza:

Strumień wirowości w cieczy doskonałej zachowuje niezmienną wartość wzdłuż całej długości strugi wirowej. W przepływie idealnego płynu barotropowego znajdującego się pod działaniem potencjalnego pola sił masowych natężenie włókna wirowego nie zmienia się wzdłuż jego długości i jest stałe w czasie: div(rotv) = 0.

Wnioski

- Włókno wirowe nie może zanikać ani powstawać w plynie,

- Włókno wirowe może tworzyć krzywą zamkniętą,

- Włókno wirowe może się kończyć na swobodnej powierzchni lub na scianach sztywnych,

- W ruchu wirowym biorą udział cały czas te same elementy płynu.

Wzór Biota – Savarta:

W praktycznym modelowaniu przepływ można podzielić na obszar o ruchu wirowym i obszar o ruchu bezwirowym. Oba te obszary sa wzajemnie współzależne. Obszar o ruchu wirowym może być modelowany włóknami wirowymi. Istotne staje się wtedy wyznaczanie pola prędkości, czyli operacja odwrotna do obliczania rotacji pola prędkości.

$$\text{dV} = \ \frac{\Gamma}{4\text{pi}}*\frac{\text{ds}\ \times r}{r\hat{}3}$$

Podejście (do wyznaczania):

1. Objętość kontrolna – analiza makroskopowa;

2. Różniczkowe – analiza mikroskopowa;

3. Eksperymentalne – analiza wymiarowa;

Ad. 1. Objętość kontrolna – układ, a objętość kontrolna:

Termodynamika – układ + otoczeni:e

Objętość kontrolna – obszar, ktory może być zajmowany przez jeden układ w danej chwili, a potem przez następny.

Do analizy objętości kontrolnej potrzebna jest znajomość pola prędkości oraz pewne założenia:

Jednowymiarowa objętość kontrolna:

Jeżeli przez B oznaczymy dowolną własność płynu (energei, ped, itp.), a przez β = dB/dm – wartość właściwą w odniesieniu do jednostki masy, to całkowita wielkość B w odniesieniu do objętości kontrolnej wynosi:

B(CV) =  ∫_CVβρ dV

Wzór określający zmianę wielkości B w układzie w odniesieniu do objętości kontrolnej zawierającej dany uklad:

$$\frac{\text{dB}\left( \text{uklad} \right)}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}*\left( \int_{\text{CV}}^{}{\text{βρ}\ \text{dV}} \right) + \ \left( \text{βρ}\ \text{Av} \right)\text{zew} - \ \left( \text{βρ}\ \text{Av} \right)\text{wew}$$

Jednowymiarowe twierdzenie Reynoldsa

$$\frac{\text{dB}\left( \text{uklad} \right)}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}*\left( \int_{\text{CV}}^{}{\text{βρ}\ \text{dV}} \right) + \ \int_{\text{CV}}^{}{\text{βρ}\ \left( v*n \right)\ \text{dA}}$$

Jeżeli objętość kontrolna porusza się z pewną prędkością v(s), to obserwator, który znajduje się w niej będzie widział prędkość płynu wpływającego do objętości jako v(r) : v(r) = v-v(s)

Zasada zachowania masy:

Całkowa postać zasady zachowania masy dla stałej objętości kontrolnej i pewnej liczby wlotów i wylotów jednowymiarowych, to mozna zapisac

$$\int_{\text{CV}}^{}{\frac{\partial\rho}{\partial t}\ \text{dV} + \ \sum_{t}^{}{\left( \rho\left( t \right),\ A\left( t \right),\ v\left( t \right) \right)\text{zew} - \ \sum_{t}^{}{\left( \rho\left( t \right),\ A\left( t \right),\ v\left( t \right) \right)\text{wew} = 0\ }}}$$

Przepływ ustalony:

$$\sum_{t}^{}{\left( \rho\left( t \right),\ A\left( t \right),\ v\left( t \right) \right)\text{zew} = \ \sum_{t}^{}{\left( \rho\left( t \right),\ A\left( t \right),\ v\left( t \right) \right)\text{wew}}}$$

$$\dot{m}\left( \text{CS} \right) = \ \int_{\text{CS}}^{}{\rho\left( V*n \right)\text{dA}}$$

ZZM – płyn nieściśliwy:

∫_CS(V*n)dA = 0

$$\sum_{t}^{}{\left( A\left( t \right),\ v\left( t \right) \right)\text{zew} = \ \sum_{t}^{}{\left( A\left( t \right),\ v\left( t \right) \right)\text{wew}}}$$

$\sum_{t}^{}{\text{Qzew} = \ \sum_{t}^{}\text{Qwew}}$, Q – strumień objętościowy płynu.

2.c.d Różniczkowe – Zasada zachowania energii

Pomijając radiację i uwzględniając tylko przewodzenie przez ścianki elementu, spełniając prawo Fouriera, uzyskuje się człon opisujący strumień ciepła doprowadzony do analizowanego obszaru$\ \dot{\mathbf{Q}}\mathbf{= \ }\mathbf{\nabla*}\left( \mathbf{k}\mathbf{\nabla}\mathbf{T} \right)\mathbf{\text{dxdydz}}$ . Człon związany z pracą sił lepkościowych może zostać przedstawiony w następujący sposób obszaru$\ \dot{\mathbf{W}}\left( \mathbf{v} \right)\mathbf{= \ }\mathbf{w}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{dydz;w}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{= \ \ }\mathbf{-}\mathbf{(u\tau}\left( \mathbf{\text{xx}} \right)\mathbf{+ \ v\tau}\left( \mathbf{\text{xy}} \right)\mathbf{+ \ w\tau}\left( \mathbf{\text{xz}} \right)\mathbf{)}$.

Strumienie pracy mogą być wyznaczone w dokładnie taki sam sposób, jak strumienie ciepła. Bilans pracy wyznacza się wzorem: $\dot{\mathbf{W}}\left( \mathbf{v} \right)\mathbf{= \ }\mathbf{-}\mathbf{\nabla*}\left( \mathbf{V}\mathbf{*}\mathbf{\tau}\left( \mathbf{\text{ij}} \right) \right)\mathbf{\text{dzdydz}}$. Równanie energii przyjmuje postać: e = e(wew) + ½ v^2 + gz. Jeżeli człon pracy lepkościowej zostanie podzielony, to mozna wyłonić funkcje dyssypacyjną: ∇*(V*τ(ij))= V*(∇*τ(ij))+ Φ.

Równanie zachowania energii przyjmuje postać ρc(v) * dT/dt = k*$\mathbf{\nabla}\mathbf{\hat{}2}$ * T + Φ, przyjmując, że e(wew) ≈ c(v) dT. Najbardziej znanym równaniem jest równanie przewodnictwa (bez radiacji, źródeł ciepła) w postaci ρc(v) ∂T/∂t = k*$\mathbf{\nabla}\mathbf{\hat{}2}$ * T.

Warunki brzegowe

Ten układ posiada rozwiązania, ale muszą być podane warunki brzegowe (graniczne). Dla przepływu nieustalonego:

-musi istnieć warunek początkowy lub początkowy rozkład przestrzenny danej wielkości:

dla t=0; ρ, v, p, e(wew), T = znane f(x, y, z)

-dla każdej chwili musza istnieć warunki zadane na granicach układu (warunki brzegowe);

Najbardziej skomplikowany opis jest wymagany dla powierzchni międzyfazowej (gaz-ciecz, lub powierzchnia swobodna)

-musi istnieć równość składowych pionowych prędkości (warunek kinematyczny): w(hq)=w(gaz)

-musi istnieć równowaga mechaniczna na powierzchni granicznej: (τzy)hq = (τzy)gaz ; (τzx)hq = (τzx)gaz

-ciśnienie musi sie równoważyć: p(hq) = p(gaz);

-wymiana ciepła musi być taka sama po obu stronach powierzchni rozdzielającej fazy: (qz)hq = (qz) gaz