Rok studiów:	Temat: Badanie drgań wahadła sprężynowego	Data wykonania:
Wykonał:		Ocena :

1. Część teoretyczna.

Ruch harmoniczny między innymi obserwuje się w przypadku wahadła matematycznego, gdzie drgania odbywają się pod wpływem składowej siły ciężkości. Drgania harmoniczne mogą odbywać się pod wpływem siły sprężystości, co obserwujemy na przykładzie wahadła sprężynowego. Wahadło sprężynowe stanowi swobodnie zwisająca sprężyna obciążona na końcu masą m. Zgodnie z prawem Hooke’a dla odkształceń sprężystych słuszna jest zależność:

gdzie:

x – wydłużenie sprężyny

k – współczynnik sprężystości

Znak „ - ” oznacza, że siła F ma kierunek przeciwny do wychylenia x. Siłę wywołującą ruch harmoniczny można wyrazić zależnością:

gdzie ω jest pulsacją kołową

T – okres drgań

Wahadło sprężynowe jest układem drgającym masy zaczepionej na jednym końcu sprężyny i masy sprężyny, która rozłożona jest wzdłuż jej długości l. Całkowita energia E jest równa sumie drgającej masy m i energii drgającej sprężyny o masie m_s.

Stąd:

1. Opis ćwiczenia.

Celem naszego ćwiczenia było sprawdzenie prawa Hooke’a i wyznaczenie współczynnika sprężystości k. Służyć ku temu miała nam sprężyna, którą obciążaliśmy płytkami z określoną masą. Na początku odczytaliśmy wydłużenie sprężyny przy obciążeniu jej masą szalki, następnie układaliśmy na niej płytki, zapisując kolejno dla każdej, wydłużenie x sprężyny oraz czas t trwania 50 wahnięć, wychylając wahadło z położenia równowagi. Na podstawie zebranych pomiarów, byliśmy w stanie obliczyć okres drgań T oraz siłę F wywołującą ruch harmoniczny.

Płytki	Łączna masa m * 10^−3[kg]	Siła F * 10^−3[N]	Wydłużenie sprężyny x * 10^−2[m]	Czas 50 drgań t[s]	Okres drgań T[s]
0	0	0	6,1	38,03	0,76
1	33,63	329,91	5,2	42,35	0,85
2	67,11	658,35	10,4	48,59	0,97
3	100,72	988,06	16,5	55,03	1,10
4	134,25	1316,99	20,8	59,90	1,20
5	167,91	1647,20	26,0	63,57	1,27
6	201,65	1978,19	26,6	68,75	1,38
7	235,20	2307,31	36,2	70,94	1,42
8	268,76	2636,54	41,4	74,44	1,49
9	302,39	2966,45	47,1	76,88	1,54
10	335,98	3295,96	52,3	78,06	1,56

Masa sprężyny: 130g

Masa szalki: 47,60 g

_dm = 0, 0001kg

_dl = 0, 001m

_el = 0, 002m

_dt = 0, 01s

_et = 0, 02s

$u\left( m \right) = \frac{0,0001}{\sqrt{3}} = 0,000058$kg

$u\left( T \right) = \frac{0,29}{50} = 0,0058$[S]

u(x)=$\sqrt{\frac{\left(_{d}x \right)^{2} + \left(_{e}x \right)^{2}}{3}}\text{\ \ \ }$=$\sqrt{\frac{\left( 0,001 \right)^{2} + \left( 0,002 \right)^{2}}{3}}$=$\sqrt{\frac{0,000001 + 0,000004}{3}}$≈0,13*10^-2m

Okresy drgań:

$T_{0} = \frac{38,03}{50} = 0,76s$

$\text{\ \ \ T}_{6} = \frac{68,75}{50} = 1,38s$

$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T}_{1} = \frac{42,35}{50} = 0,85s$

$T_{2} = \frac{48,59}{50} = 0,97s$

$T_{3} = \frac{55,03}{50} = 1,10s$

$T_{4} = \frac{59,90}{50} = 1,20s$

$T_{5} = \frac{63,57}{50} = 1,27s$

$T_{7} = \frac{70,94}{50} = 1,42s$

$T_{8} = \frac{74,44}{50} = 1,49$s

$T_{9} = \frac{76,88}{50} = 1,54s$

$T_{10} = \frac{78,06}{50} = 1,56$s

Siła działająca (dodatkowo wliczono wagę szalki)

F = m • g [N]

F₁ = 0, 03363 • 9, 81 = 0, 330[N] F₂ = 0, 06711 • 9, 81 = 0, 658[N]

F₃ = 0, 10072 • 9, 81 = 0, 988[N] F₄ = 0, 13425 • 9, 81 = 1, 317[N]

F₅ = 0, 16791 • 9, 81 = 1, 647[N] F₆ = 0, 20165 • 9, 81 = 1, 978[N]

F₇ = 0, 23520 • 9, 81 = 2, 307[N] F₈ = 0, 26876 • 9, 81 = 2, 637[N]

 F₉ = 0, 30239 • 9, 81 = 2, 966[N] F₁₀ = 0, 33598 • 9, 81 = 3, 296[N] 

Obliczanie niepewności

$$U\left( F \right) = \sqrt{\left\lbrack g \bullet u\left( m \right) \right\rbrack^{2}}$$

$U\left( F \right) = \sqrt{\left\lbrack 9,81 \bullet 0,000058 \right\rbrack^{2}} = 0,000569\ $[N]

Obliczanie wartości współczynnika k ze wzoru:

$$k = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\left( m + \frac{1}{3}m_{s} \right)$$

$$k_{1} = \frac{4\pi^{2}}{{0,85}^{2}}\left( 0,03363 + \frac{0,130}{3} \right) = 4,654\frac{N}{m}$$

$$k_{2} = \frac{4\pi^{2}}{{0,97}^{2}}\left( 0,06711 + \frac{0,130}{3} \right) = 4,734\frac{N}{m}$$

$$k_{3} = \frac{4\pi^{2}}{{1,10}^{2}}\left( 0,10072 + \frac{0,130}{3} \right) = 4,889\frac{N}{m}$$

$$k_{4} = \frac{4\pi^{2}}{{1,20}^{2}}\left( 0,13425 + \frac{0,130}{3} \right) = 4,969\frac{N}{m}$$

$$k_{5} = \frac{4\pi^{2}}{{1,27}^{2}}\left( 0,16791 + \frac{0,130}{3} \right) = 5,171\frac{N}{m}$$

$$k_{6} = \frac{4\pi^{2}}{{1,38}^{2}}\left( 0,20165 + \frac{0,130}{3} \right) = 5,079\frac{N}{m}$$

$$k_{7} = \frac{4\pi^{2}}{{1,42}^{2}}\left( 0,23520 + \frac{0,130}{3} \right) = 5,253\frac{N}{m}$$

$$k_{8} = \frac{4\pi^{2}}{{1,49}^{2}}\left( 0,26876 + \frac{0,130}{3} \right) = 5,350\frac{N}{m}$$

$$k_{9} = \frac{4\pi^{2}}{{1,54}^{2}}\left( 0,30239 + \frac{0,130}{3} \right) = 5,455\frac{N}{m}$$

$$k_{10} = \frac{4\pi^{2}}{{1,56}^{2}}\left( 0,33598 + \frac{0,130}{3} \right) = 5,501\frac{N}{m}$$

	(ki-$\overset{\overline{}}{k}$)	(ki-$\overset{\overline{}}{k}$)^2
1.	-0,503	0,253
2.	-0,423	0,159
3.	-0,268	0,072
4.	-0,188	0,035
5.	0,014	0,000
6.	0,033	0,001
7.	0,096	0,009
8.	0,193	0,034
9.	0,298	0,088
10.	0,444	0,197

$\overset{\overline{}}{k} = 5,157\frac{N}{m}$

$$u\left( k \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{10}\left( k_{i} - \overset{\overline{}}{k} \right)^{2}}{10*9}}$$

$$\sum_{i = 1}^{10}\left( k_{i} - \overset{\overline{}}{k} \right)^{2} = 0,879\frac{N}{m}$$

$$u\left( k \right) = 0,078\frac{N}{m}$$

Obliczanie wartości współczynnika k metodą regresji liniowej:

$$a = \left\lbrack n\left( \sum_{i = 1}^{n}{F_{i}x_{i}} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}F_{i} \right)\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right) \right\rbrack \times \frac{1}{X}$$

$$X = n\left( \sum_{i = 1}^{n}F_{i}^{2} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}F_{i} \right)^{2}$$

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - aF_{i} \right)^{2}}{n - 2}}$$

$$S_{a} = \sigma\sqrt{\frac{n}{X}}$$

$$\sum_{i = 1}^{910}{F_{i} = 16,721}$$

$$\sum_{i = 1}^{10}x_{i} = 2,797$$

$$\sum_{i = 1}^{10}F_{i}^{2} = 37,625$$

$$\sum_{i = 1}^{10}x_{i}^{2} = 1,103$$

$$\sum_{i = 1}^{10}{F_{i}x_{i}} = 5,978$$

X = 59, 033

a = 0, 191

σ = 0, 122

S_a = 0, 048

$$k = \frac{1}{a} = 5,220$$

$$u\left( k \right) = \ \sqrt{\left( \frac{- 1}{a^{2}}\text{\ x\ }S_{a} \right)^{2}} = \ 0,130\frac{N}{m}$$

IV. Wnioski:

W doświadczeniu celem było zbadanie ilości drgań wahadła sprężynowego i obliczenie współczynnika sprężystości k, który jest równy co do wartości siły powodującej jednostkowe wychylenie. Współczynnik k wyliczony został ze wzoru $k = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\left( m + \frac{1}{3}m_{s} \right)$ wynosi 5,157 ± 0,078$\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}}$.

Współczynnik k wyliczony z regresji liniowej wynosi 5,157 ± 0,130$\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}}$. Porównując obie wartości współczynnika k przyjąć można uwzględniając niepewności, że te wartości są równe, co wskazuje na dokładność przeprowadzonego doświadczenia i popełnieniu niewielkich błędów.

Analizując wykres wywnioskować, można ze wydłużenie sprężyny się wprost proporcjonalne do ciężaru obciążenia sprężyny. Poszczególne punkty wykresu pokrywają się z ogólną linia trędu, oczywiście nie obeszło się bez pewnych błędów jakie wskazują końcowe punkty ale niepewności niwelują te odchylenia