MATEMATYKA

Wykład 1

TEMATYKA SEM. I:

1. Granica ciągu i granica funkcji (4)

2. Szeregi liczbowe i potęgowe (4)

3. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej (8)

4. Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych (6)

5. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej (5)

TEMATYKA SEM. II:

1. Równania różniczkowe rzędu pierwszego (4)

2. Macierze i układy równań liniowych (8)

3. Liczby zespolone (6)

LITERATURA:

1. „Analiza matematyczna w zadaniach” cz. I, Krysicki, Włodarski.

2. „Ćwiczenia z matematyki” cz. I, wyd. 6 oraz cz. II, wyd. 4, Gryglaszewska, Kosiorowska, Paszek. Część II będzie przerabiana, jako pierwsza.

3. „Matematyka dla kierunków ekonomicznych. Przykłady i zadania wraz z repetytorium ze szkoły średniej”.

4. „Elementy algebry dla studentów ekonomii i zarządzania”.

KWANTYFIKATORY

Kwantyfikator ogólny (dla każdego): $\forall\ lub\ \bigwedge_{}^{}\begin{matrix} \ \\ \ \\ \end{matrix}$

Kwantyfikator szczegółowy (istnieje): $\exists\ lub\ \bigvee_{}^{}\begin{matrix} \ \\ \ \\ \end{matrix}$

∀ − all

∃ − exist

…$\overset{\Rightarrow}{\ }$… - jeżeli…to… (implikacja)

$\overset{\Leftrightarrow}{\ }\ $- wtedy i tylko wtedy, gdy… (równoważność)

p ∨ q − alternatywa

p ∧ q − koniunkcja

~ - nieprawda, że

$$\sim\left( p \vee q \right)\overset{\Leftrightarrow}{\ }\left( \sim p \right) \land \left( \sim q \right)$$

$$\sim\left( p \land q \right)\overset{\Leftrightarrow}{\ }\left( \sim p \right) \vee \left( \sim q \right)$$

Np.:

x² = 4

x = 2 ∨ x = −2

x² ≠ 4

(∼x²=4)

x ≠ 2 ∧ x ≠ −2

x ∈ R/{ − 2, 2}

∀∃ x + y > 100,         gdzie x ∈ R,  y ∈ R

oraz

∃∀ x + y > 100,   gdzie y ∈ R,  x ∈ R

CIĄGI LICZBOWE I ICH GRANICE

Definicja 1.:
Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy odwzorowanie $a:N\overset{\rightarrow}{\ }R$ (każdej liczbie naturalnej N przyporządkowujemy liczbę rzeczywistą R), gdzie N={1,2,3…}.

Wartość odwzorowania dla argumentu „n” oznaczamy symbolem a(n) = a_n i nazywamy n-tym wyrazem ciągu, zaś ciąg liczbowy oznaczamy przez (a_n)lub (a_n) _n ∈ N .

Np.:

Ciąg ogólny: $a_{n} = \frac{2n - 3}{n}$

Kolejne wyrazy tego ciągu to: $a_{1} = - 1,\ a_{2} = \frac{1}{2},\ a_{3} = 1\frac{1}{2}$ , …

_*A ⊂ B – zbiór A zawiera się w zbiorze B

Granica jest liczbą, do której dąży ciąg liczbowy.

Definicja 2.:

Monotoniczność ciągu liczbowego

Ciąg (a_n) _n ∈ N nazywamy:

• Rosnącym $\overset{\Leftrightarrow}{\ }\ \forall_{n \in N}a_{n + 1} > a_{n}$

• Malejącym $\overset{\Leftrightarrow}{\ }\ \forall_{n \in N}a_{n + 1} < a_{n}$

• Stałym $\overset{\Leftrightarrow}{\ }\ \forall_{n \in N}a_{n + 1} = a_{n}$

• Nierosnącym $\overset{\Leftrightarrow}{\ }\ \forall_{n \in N}a_{n + 1} \leq a_{n}$

• Niemalejącym $\overset{\Leftrightarrow}{\ }\ \forall_{n \in N}a_{n + 1} \geq a_{n}$

Np.:

Sprawdź monotoniczność ciągu liczbowego a_n = 2n + 3

a_n + 1 − a_n $\left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ \ > 0\ rosnacy \\ = 0\ staly \\ \ \ \ \ \ \ \ < 0\ malejacy \\ \end{matrix} \right.\ $

a_n + 1 − a_n = 2(n+1) + 3 − (2n+3) = 2n + 2 + 3 − 2n − 3 = 2

a_n + 1 − a_n = 2 > 0 − ciag arytmetyczny rosnacy

Definicja 3.:

Ograniczoność ciągu liczbowego

Ciąg (a_n) _n ∈ N nazywamy ograniczonym jeśli istnieją liczby a ≠ −∞ i b ≠ ∞ takie, że zachodzi warunek ∀_n ∈ Na_n ∈ (a, b).

Np.:

Sprawdź ograniczoność ciągu liczbowego $a_{n} = \frac{2}{n}$

a₁ = 2

a_n ≤ 2

a_n > 0

a_n ∈ (0, 2>

Twierdzenie 1. O rozbieżności

Każdy ciąg (a_n) , który jest ograniczony i monotoniczny jest zbieżny. Wszystkie jego wyrazy zmierzają do pewnej wartości.

Definicja 4.:

Zbieżność ciągów według Cauchy’ego

Ciąg (a_n) jest zbieżny do skończonej granicy „g” (nie jest to ∞, ani ujemna liczba) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba g ∈ R taka, że w każdym przedziale (g − ε,  g + ε)(ε − epsylon) leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu, tzn.:

a_n = g - dla każdego ε > 0 znajdę takie n₀, że każdy wyraz następny tego ciągu „wpadnie” do tego przedziału.

$$\operatorname{}a_{n} = g\ \overset{\Leftrightarrow}{\ }\ \forall_{\varepsilon > 0}\exists_{n_{0}}\forall_{n > n_{0}}\ \left| a_{n} - g \right| < \varepsilon$$

Ciąg zbliża się do granicy „g”, gdy mamy wyraz, po którym następny „wpada” do przedziału g − ε lub g + ε .

a_n + 1 = a_n

a_n ∈ (g − ε,  g + ε) – różnica a_n i różnica g jest mniejsza niż ε.

|a_n−g| < ε

Definicja 4.:

Zbieżności ciągu do nieskończoności

Dla dowolnej liczby n istnieje taki wyraz a_n0 , że następny wyraz tego ciągu przekracza punkt M.

1. $\operatorname{}{{a_{n}}^{\ } = \infty{\overset{\Leftrightarrow}{\ }\forall_{M > 0}\exists_{n_{0}}\forall_{n > n_{0}}a_{n} > M}}$

2. $\operatorname{}{{a_{n}}^{\ } = - \infty{\overset{\Leftrightarrow}{\ }\forall_{M > 0}\exists_{n_{0}}\forall_{n > n_{0}}a_{n} < - M}}$

Twierdzenie 2. O jednoznaczności granicy

Jeżeli ciąg( a_n) jest zbieżny to ma tylko jedną granicę.

a_n = ( − 1) ⁿ

a₁ = −1

a₂ = 1

a₃ = −1

a₄ = 1

Ten ciąg nie jest zbieżny bo nie ma tylko 1 granicy (ma 2 granice -1,1).

Twierdzenie 3. O działaniach na ciągach

Jeżeli ciągi (a_n) oraz (b_n) mają skończone granice i lim_{n → ∞}a_n = a     oraz  lim_{n → ∞}b_n = b

, to:

1. lim_{n → ∞}(a_n+b_n) = a + b

2. lim_{n → ∞}(a_n−b_n) = a − b

3. lim_{n → ∞}(a_n•b_n) = ab

4. $\lim_{n \rightarrow \infty}\left( \frac{a_{n}}{b_{n}} \right) = \frac{a}{b},\ \ \ gdy\ b \neq 0\ i\ b_{n} \neq 0$

Np.:

$a_{n} = \frac{1}{n}$ $\operatorname{}{\frac{1}{n} = 0}$

Im bardziej rośnie mianownik tym, mniejszy jest ułamek, dlatego granica to 0.

lim_{n → ∞}(n²+1) = ∞

lim_{n → ∞}(−2n+7) =   − ∞

SYMBOLE NIEOZNACZONE

Jeżeli w wyniku działań na ciągach uzyskamy symbol:

$\frac{\infty}{\infty},\ \ \frac{0}{0},\ \ \infty - \infty,\ \ 0 \bullet \infty,\ \ 1^{\infty},\ \ \infty^{0},\ \ 0^{0}$, to wprost nie możemy powiedzieć o granicy takiego wyrażenia. Należy wtedy zastosować przekształcenia, które umożliwią usunięcie takiego symbolu.

Przykład (może pojawić się na egzaminie)

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\ \frac{- 6n^{2} + 2n}{2n^{2} + 8} = \frac{- \infty}{\infty}$$

Licznik i mianownik dzielimy przez najwyższą potęgę występującą w mianowniku, czyli:

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\ \frac{- 6 + \frac{2}{n}}{2 + \frac{8}{n^{2}}} = \frac{- 6 + 0}{2 + 0} = - 3$$

Twierdzenie 4. Uwagi o granicach ciągów

Podpunkt 1 łączy się z podpunktem 2.

1. Jeżeli $\lim_{n \rightarrow \infty}\ a_{n} = 0\ \lim_{n \rightarrow \infty}\ \frac{1}{a_{n}} = \ \left\{ \begin{matrix} + \infty,\ gdy\ a_{n} > 0 \\ - \infty,\ gdy\ a_{n} < 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

2. Jeżeli $\lim_{n \rightarrow \infty}\ a_{n} = \pm \infty,\ \ \ \ to\ \ \ \ \lim_{n \rightarrow \infty}\ \frac{1}{a_{n}} = 0$

3. Jeżeli $\alpha > 0,\ \ \ to\ \ \ \lim_{n \rightarrow \infty}\ \frac{1}{n^{\alpha}} = 0$

Np.:

$$\alpha = \frac{1}{5}$$

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\ \frac{1}{\sqrt[5]{n}} = 0$$

1. Jeżeli $a > 0,\ \ \ to\ \ \ \lim_{n \rightarrow \infty}\ \sqrt[n]{a} = 1$

2. Jeżeli $\lim_{n \rightarrow \infty}\ \sqrt[n]{n} = 1$

3. Jeżeli $\lim_{n \rightarrow \infty}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)\ ^{n} = e \approx 2,718\ldots\ $

4. Jeżeli $\left\{ \begin{matrix} \lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = \pm \infty \\ a_{n} \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ $ , to $\underset{n \rightarrow \infty}{\lim\ }\left( 1 + \frac{1}{a_{n}} \right)\ ^{a_{n}} = e$

Przykłady na ćwiczenia:

$$a_{n} = \frac{2}{n}$$

a_n = n² − 1