Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej Studium Fizyki	Data wykonania ćwiczenia : 22.04.2013r
Ćwiczenie nr M-4 Temat : Wyznaczanie prędkości fali dźwiękowej za pomocą rury Kundta Grupa 9 Zespół 1 Marcin Szydlak Informatyka - Stacjonarne ,semestr 2	Prowadzący : Dr Ewa Mrozek Ocena :

1. Wprowadzenie

Fala stojąca może powstać w wyniku interferencji dwóch fal biegnących w przeciwnych kierunkach.

Fala taka ma punkty, które są stale w spoczynku (węzły) i punkty o maksymalnej amplitudzie, tzw. strzałki.

Oprócz strzałek powstają tzw. Węzły - powstają one w miejscu odbicia fali od ośrodka gęstszego. Odległość dwu sąsiednich węzłów lub strzałek jest równa połowie długości fali (λ/2) interferujących ze sobą fal. Występowanie fali stojącej może być wykorzystane do pomiaru prędkości dźwięku w danym ośrodku. Jeżeli fala dźwiękowa o częstotliwości f przechodzi z jednego ośrodka do drugiego, zmienia się prędkość fali (v) i jej długość (λ), natomiast okres i częstotliwość drgań pozostaje bez zmian. Dla obu ośrodków słuszne są więc równania: 

$$\lambda = v \bullet T = \frac{v}{f}$$

$$\lambda_{x} = v_{x} \bullet T = \frac{v_{x}}{f}$$

Przez podzielenie obu równań stronami otrzymujemy zależność:

$$\frac{\lambda}{\lambda_{x}} = \frac{v}{v_{x}}$$

Mierząc długość fali w obu ośrodkach oraz przyjmując jedną z prędkości za znaną mamy możliwość wyznaczenia prędkości fali w danym ośrodku.

$$v_{x} = v \bullet \frac{\lambda_{x}}{\lambda}$$

gdzie:

λ_x– długość fali w ośrodku badanym

λ – długość fali w powietrzu

Prędkość fali dźwiękowej w powietrzu w temperaturze t określona jest wzorem:

$$v = v_{0} \bullet \sqrt{1 + \text{αt}} = v_{0} \bullet \sqrt{\frac{T}{T_{0}}}$$

gdzie:

v₀ – prędkość rozchodzenia się dźwięku w powietrzu w temperaturze 0C,

α – współczynnik rozszerzalności temperaturowej powietrza,

T – temperatura bezwzględna.

Przyjmujemy:

$v_{0} = 331\frac{m}{s}$ $\alpha = \frac{1}{273C} = 0,004\frac{1}{C}$ T₀ = 273 K

Metoda Kundta

Pręt z badanego materiału, umocowany w specjalnym uchwycie w środku swej długości, wprawiamy w drgania podłużne. Powstające drgania rozchodzą się w pręcie i dzięki interferencji wywołują powstanie fali stojącej, której strzałki znajdują się na końcach pręta, a węzeł w miejscu umocowania. Długość λ_x powstającej w pręcie fali jest równa podwojonej długości pręta:

λ_x = 2L

Drgania pręta przekazywane są słupowi powietrza znajdującemu się we wnętrzu rury, do której wchodzi pręt. W wyniku interferencji wewnątrz rury powstaje fala stojąca, której węzły i strzałki ilustruje zachowanie nasypanych tam opiłków. W węzłach opiłki są nieruchome, w strzałkach intensywnie drgają. Oznaczając przez a odległość między dwoma sąsiednimi węzłami możemy wyznaczyć długość fali powstającej w powietrzu:

λ = 2a

Ostatecznie otrzymujemy wzór na prędkość fali dźwiękowej w badanym pręcie:

$$v_{x} = {\frac{L}{a} \bullet v}_{0} \bullet \sqrt{1 + \text{αt}}$$

2. Cel i zakres ćwiczenia laboratoryjnego:

Doświadczenie wyznaczenia prędkości dźwięku w ośrodku stałym.

3. Opis stanowiska badawczego i przebieg realizacji eksperymentu:

Przyrządy:

- Rura Kundta,

- Badane pręty,

- Uchwyt mocujący.

Do wnętrza rury nasypujemy niewielką ilość opiłków korkowych i rozprowadzamy je równomiernie wzdłuż rury. Mierzymy długość L badanego pręta i umocowujemy go w uchwycie w połowie jego długości. Wolny koniec pręta pocieramy lekko skórką lub szmatką. Zmieniamy długość słupa powietrza w rurze, aż powstanie w nim fala stojąca i utworzy się charakterystyczny obraz rozmieszczenia opiłków. Mierzymy odległość l między dwoma jak najdalej od siebie rozmieszczonymi węzłami i ustalamy liczbę n połówek fali odpowiadającą temu odcinkowi. Wartość a wyznaczamy kilkokrotnie, za każdym razem kasując obraz fali stojącej i wytwarzając go na nowo. Uzyskane wyniki wpisujemy w tabeli.

4.Analiza pomiarów i obliczenia:

Nazwa materiału	Długość pręta L[m]	Odległość między węzłami l[m]	Liczba połówek fali n	Długość połowy fali a= l/n [m]	Wartość średnia a [m]	Prędkość fali w pręcie Vx[m/s]
Stal	1,6	0,29	8	0,0363	0,0363	5081, 962
Mosiądz	1,6	0,30	5	0,06	0,057	3236, 407
		0,27	5	0,054

Stal:

$$v_{x} = \frac{\frac{2}{3}*L}{2*a}*v_{0}*\sqrt{1 + \text{αt}} = \frac{\frac{2}{3}*1,600}{2*0,0363}*331*\sqrt{1 + 0,004*23} = 5081,962\frac{m}{s}$$

$v_{x} = {\frac{L}{a} \bullet v}_{0} \bullet \sqrt{1 + \text{αt}} = \frac{1,600}{0,109444} \bullet 331 \bullet \sqrt{1 + 0,004 \bullet 20} =$ $\frac{m}{s}$

Mosiądz:

$$v_{x} = \frac{\frac{2}{3}*L}{2*a}*v_{0}*\sqrt{1 + \text{αt}} = \frac{1,600}{3*0,057}*331*\sqrt{1 + 0,004*23} = 3236,407\frac{m}{s}$$

Porównując prędkości rozchodzenia się fal stojących w obu ośrodkach możemy stwierdzić, że prędkości te są wielokrotnie większe od prędkości rozchodzenia się fal w powietrzu, która wynosi około 343 m/s. Porównując oba stopy, prędkość fali dla stali jest około 1,5 raza większa niż prędkość fali w mosiądzu. Z obserwacji wynika ,że dźwięk rozchodzi się szybciej w ciałach metalicznych niż w powietrzu. Ta różnica wynika z budowy cząsteczkowej tych substancji. Metale mają swoje cząsteczki ułożone ścisło i drgania wywoływane i dzięki temu pozwalają na szybsze rozejście się fali.

5. Obliczenie i omówienie niepewności pomiarowych:

$v_{x} = {\frac{L}{a} \bullet v}_{0} \bullet \sqrt{1 + \text{αt}} = L^{1} \bullet a^{- 1} \bullet {v_{0}}^{1} \bullet {(1 + \text{αt})}^{\frac{1}{2}}$ , ${v}_{x} = v_{x} \bullet \left( \left| 1 \right| \bullet \frac{L}{L} + \left| - 1 \right| \bullet \frac{a}{a} \right)$

L = 0, 01m, a = 0, 01m,

Stal:

$${v}_{x} = v_{x} \bullet \left( \left| 1 \right| \bullet \frac{L}{L} + \left| - 1 \right| \bullet \frac{a}{a} \right) = 5081,962 \bullet \left( \left| 1 \right| \bullet \frac{0,01}{1,600} + \left| - 1 \right| \bullet \frac{0,01}{0,0363} \right) = 1431.752\ \frac{m}{s}$$

$$\delta_{k} = \left| \frac{{v}_{x}}{v_{x}} \right| \bullet 100\% = \left| \frac{1431.752}{5081,962} \right| \bullet 100\% = 28,2\%$$

Mosiądz:

$${v}_{x} = v_{x} \bullet \left( \left| 1 \right| \bullet \frac{L}{L} + \left| - 1 \right| \bullet \frac{a}{a} \right) = 3236,407 \bullet \left( \left| 1 \right| \bullet \frac{0,01}{1,600} + \left| - 1 \right| \bullet \frac{0,01}{0,057} \right) = 588,018\ \frac{m}{s}$$

$$\delta_{k} = \left| \frac{{v}_{x}}{v_{x}} \right| \bullet 100\% = \left| \frac{588,018}{3236,407} \right| \bullet 100\% = 18,2\%$$

Otrzymaliśmy dosyć duże błędy pomiarowe, mimo to wyniki które otrzymaliśmy są przybliżone do wartości średniej dla badanych stopów. Przy 20 ^oC prędkość średnia rozchodzenia się fali dla stali wynosi 5100 m/s, a dla mosiądzu 3500 m/s. W pomieszczeniu w którym przeprowadzaliśmy eksperyment termometr pokazywał wartość 23 ^oC , jest to jeden z podstawowych czynników który wprowadził niepewność pomiarową. Kolejnym faktem jest to ,że nie udało nam się znaleźć wszystkich harmonicznych dla ośrodków , stąd średnia arytmetyczna naszych wyników jest dosyć duża i ma duże znaczenie do określenia dokładniejszej wartości średniej długości fali

6. Wnioski:

Z powodu niedoskonałości pomiarów nie byliśmy w stanie określić faktycznej prędkości rozchodzenia się fal stojących w ośrodkach. Dużym problem było odnalezienie wszystkich harmonicznych dla obu ośrodków, wynika to z powodu niedoskonałości naszych zdolności badawczych . Z obliczeń wynika ,że temperatura powietrza ma znaczenie w określaniu prędkości fal. Można zauważyć to we wzorze z którego korzystaliśmy. Na skutek rozszerzalności termicznej a dokładniej jego współczynnika, można stwierdzić, że wraz ze wzrostem temperatury powietrza rośnie prędkość rozchodzenia się fali dźwiękowej. Rosnąca temperatura powoduje wzrost energii i częstsze zderzenia cząsteczek, co jest z kolei następstwem przenoszenia fali dźwiękowej. Można to potwierdzić chociażby na danych wartościach prędkości rozchodzenia się fali stojącej w powietrzu.(dla 0 st - mamy 331 m/s, a dla 20 - 343m/s). Stopy metali, ponieważ są zbudowane z metali i zachowują się w warunkach zbliżonych do normalnych , mają dużą liczbę w cząsteczek w małym obszarze, czyli dużą gęstość, tym samym odległość między cząsteczkami wewnątrz tego stopu jest bardzo mała i dzięki temu fala dźwiękowa rozprasza się w takich ośrodkach prędzej.