6.Podaj krótka definicje przestrzeni wektorowej.

Zbiór Rⁿ z wykonalnością dodawania wektorów i mnożenia ich przez liczby rzeczywiste nazywamy n-wymiarową rzeczywistą przestrzenią wektorową.

15.Zdefiniuj iloczyn skalarny za pomocą norm wektorów i kata miedzy nimi.

Wektory a i b są ortogonalne(prostopadłe) wówczas gdy ab=0 (kąt miedzy nimi to 90stopni)

17. Sformułuj definicje macierzy.

Macierzą jest każda tablica liczb ustawionych w wiersze i kolumny. Jeżeli macierz ma m wierszy i n kolumn mówimy, że jest typu mxn.

20. Sformułuj definicje macierzy diagonalnej i jednostkowej.

Macierz kwadratową taką, że aij=0 dla 0≠j nazywamy macierza diagonalna.

Każdą macierz diagonalna, taka ze aij=j nazywamy macierzą jednostkowa i oznaczamy J lub J_n

23. Wyjaśnij zasadę mnożenia macierzy (na przykładzie)

AB=$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & - 1 \\ \end{bmatrix}$x$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} 1x3 & + & 2x1 \\ 0x3 & + & ( - 1)x1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1x1 & + & 2x2 \\ 0x1 & + & ( - 1)x2 \\ \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} 5 & 5 \\ - 1 & - 2 \\ \end{bmatrix}$

25. Co to jest ślad macierzy.

Śladem macierzy kwadratowej A, który oznaczamy tr(A), nazywamy sumę elementów diagonalnych tej macierzy, co znaczy:

26 .Wyjaśnij pojęcie macierzy nieosobliwej i rząd macierzy.

Rzędem macierzy A nazywamy maksymalna liczbę liniowo niezależnych wektorów (wierszy lub kolumn) tej macierzy i oznaczamy przez rzA

Macierzą nieosobliwa nazywamy taką macierz A, kwadratowa mxm, która jest pełnego rzędu, to znaczy rzA=m

27.Kiedy mówimy, że rodzina wektorów jest liniowo niezależna.

Rodzina wektorów a₁, a₂,…,a_k jest liniowo niezależna jeżeli jedynym rozwiązaniem równania:

C₁a₁+c₂a₂+…+c_ka_k=0 jest ciąg licz c₁=c₂=…=c_k=0

28. Zdefiniuj wyznacznika macierzy kwadratowej?

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej macierzy rzeczywistej kwadratowej A=[a_ij] przyporządkowuje liczbę rzeczywistą detA. Funkcja ta określana jest wzorem indukcyjnym „ Jeżeli A jest stopnia n=1 to detA=a₁₁

A = [a₁₁] = [5] => detA = |5| = 5

30. Na czym polega rozwinięcie Laplace’a względem i-tego wiersza?

detA = $\left| \begin{matrix} 5 & 2 & 1 \\ - 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 \\ \end{matrix} \right|$ = (-1)¹⁺¹ 5$\left| \begin{matrix} 3 & 0 \\ 2 & - 1 \\ \end{matrix} \right|$ + (-1)¹⁺² $\left| \begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ \end{matrix} \right|$ + (-1)¹⁺³ 1$\left| \begin{matrix} - 1 & 3 \\ 0 & 2 \\ \end{matrix} \right|$ =

=5(-3-0) - 2(1-0) + (-2-0) = -15 – 2 – 2 = -19

33. Zdefiniuj macierz nieosobliwą za pomocą wyznacznika macierzy?

Macierzą nieosobliwą nazywamy taką macierz kwadratową A dla której detA ≠ 0

35. Zdefiniuj co nazywamy macierzą odwrotną?

Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywamy taką macierz A^-1 że AA^-1 = A^-1A = J gdzie J jest macierzą jednostkową tego samego stopnia co macierz A

UWAGA Tylko macierze nieosobliwe (detA ≠ 0) posiadają macierz odwrotną

37. Wymień 3 metody wyznaczania macierzy odwrotnej?

1) z równania macierzowego, jeśli macierz A=[a_ij] jest stopnia n to A^-1=[x_ij] i element x_ij obliczamy z równania AA^-1=Jn

2) ze wzoru A^-1=$\ \frac{1}{\text{detA}}$ [D_ij]^T

3) algorytmem odwracania macierzy ( metoda eliminacji Gausa-Jordana )

43. Zdefiniuj jednorodny układ Cramera.

Układ n równań liniowych o niewiadomych zwany układem Cramera jest jednorodny jeśli b₁=b₂=…=b_n=0

44. Ile i jakie rozwiązania ma jednorodny układ Cramera?

Układ Cramera jednorodny ma dokładnie 1 rozwiązanie (jedno rozwiązanie będące wektorem zerowym) x= [x₁, …, x_n] gdzie x₁=x₂=…=x_n=0

45. Jakie znasz metody rozwiązywania układu Cramera?

Rozwiązywanie układu równań o kwadratowej nieosobliwej macierzy układu A ( układu równań Cramera) za pomocą:

1) macierzy odwrotnej x=A^-1b

2) stosując wzory Cramera X_k = $\frac{\mathbf{\text{detAk}}}{\mathbf{\text{detA}}}$

48. kiedy układ równań liniowych jest oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny?

Przystępując do rozwiązywania układu równań liniowych o m*n wymiarowej macierzy układu A możemy stwierdzić że rozważamy:

• Układ oznaczony ( jednoznacznie rozwiązane ) jeśli rzA = rzB =n

• Układ nieoznaczony ( nieskończenie wiele rozwiązań ) jeślirzA = rzB< n

• Układ sprzeczny jeśli rzA ≠ rzB

50. Kiedy dwa układy równań liniowych są sobie równoważne?

Układ równań linowych jest równoważny innemu układowi równań liniowych jeśli oba układu mają te same rozwiązania

51. Usunięcie których równań z układów równań liniowych pozwala na stwierdzenie, że otrzymany w ten sposób nowy układ równań jest równoważny układowi pierwotnemu?

Niech układ równań liniowych ma rozwiązanie i niech rzA = r niech detA będzie niezerowym minorem stopnia r macierzy A Usuńmy z układu równań te równania których współczynniki nie wchodzą w skład wybranego minora. Wówczas otrzymujemy układ równań który jest równoważny układowi pierwotnemu

54. Kiedy jednorodny układ równań liniowych ma rozwinięcie niezerowe?

Na to żeby układ n równań liniowych jednorodnych o n niewiadomych miał rozwiązanie niezerowe potrzeba i wystarcza żeby detA = 0

56. Zdefiniuj metodę eliminacji Gaussa.

Metoda eliminacji Gaussa inaczej metoda negowania niewiadomych to metoda przekształcania układu równań liniowych w układ równoważny oraz umożliwiająca liczenie rzędów macierzy rozszerzonej B = [ A/b ] poprzez obliczania na jej wektorach wierszowych

58. Sformułuj definicję uogólnionej macierzy odwrotnej?

niech będzie dana m*n wymiarowa macierz A

Uogólnioną macierzą m*n wymiarowej macierzy A nazywamy n*m wymiarową macierz A^-1 chyba że AA^- A=A

59. Co to znaczy że uogólniona macierz odwrotna nie jest określona jednoznacznie?

niech będzie dana m*n wymiarowa macierz A

Uogólnioną macierzą m*n wymiarowej macierzy A nazywamy n*m wymiarową macierz A^-1 chyba że AA^- A=A

62. Podaj wymiar uogólnionej macierzy odwrotnej do macierzy prostokątnej m*n.

Wymiar musi być odwrotny czyli n*m

63. Podaj równanie które spełnia uogólniona macierz odwrotna.

AA^- A=A

64. Podaj postać wektora rozwiązań niesprzecznego układu równań liniowych.

Niech będzie dany niesprzeczny układ równań liniowych Ax=b

1) rozwiązaniem tego układu jest x= A^- b

2) klasą wszystkich rozwiązań tego układu jest x= A^- b + (J-A^-A)z gdzie z jest dowolnym wektorem

65. Podaj wzór określający klasę wszystkich rozwiązań niesprzecznego układu równan liniowych.

klasą wszystkich rozwiązań tego układu jest x= A^- b + (J-A^-A)z gdzie z jest dowolnym wektorem

66. Podaj definicję wartości własnej i wektora własnego macierzy.

Niech macierz A będzie macierzą kwadratową stopnia n jeżeli istnieje skalar λϵR i niezerowy wektor v taki że Av=λv to λ nazywamy wartością własną macierzy A, a v wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ

70. Jakie wartości wyznacza się z wielomianu charakterystycznego?

Wartości własne macierzy A są pierwiastkami jej wielomianu charakterystycznego to znaczy

det ( A – λ*I ) = 0 gdzie I to macierz jednostkowa wartości własne oznaczamy λ₁, λ₂, …, λ_k gdzie k≤n

71. Z jakiego równania wyznacza się wektory własne?

Wektory własne odpowiadające wartością własnym są niezerowymi rozwiązaniami jednorodnego układu równań liniowych o postaci macierzowej ( A- λ*I ) * v = 0

78. Zdefiniuj ślad i wyznacznik macierzy za pomocą wartości własnych.

Śladem macierzy A nazywamy sumę jej elementów diagonalnych

Niech A będzie macierzą kwadratową o wartościach własnych λ₁, λ₂, …, λ_n

tr A = λ₁, λ₂, …, λ_n

detA = λ₁, λ₂, …, λ_n

1.Czym zajmuje się statystyka
Statystyka matematyczna zajmuje się zasadami i metodami uogólniania wyników eksperymentalnych.

6.Co to jest przestrzeń zdarzeń elementarnych?

Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω to zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω
Przestrzeń zd. Elem. Może być:
- zbiorem skończonym,

- zb. Przeliczalnym,

- zb. Nieprzeliczalnym,

16.Jakie warunki spełnia funkcja gęstości prawdopodobieństwa?
Funkcja f spełnia warunki:
I. f(x)≥0
II. ∫_−∞^∞f(x)dx = 1

D²(x) = σ² = E(x − E(x))² = E(x²) − E²(x) = ∫_−∞^∞x²f(x)dx − (∫_−∞^∞xf(x)dx)²

$$f\left( x \right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\frac{{(X - \mu)}^{2}}{2\sigma^{2}}}\backslash n$$

24.Zdefiniuj pojęcie rozkład normalny standardowy.
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(μ,σ) to zmienna losowa standaryzowana $Z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ ma rozkład normalny standardowy o wartości oczekiwanej równej i odchyleniu standarowym równym , tzn. Z~N(0,1).

31.Zdefiniuj pojęcie rozkład F Fishera.
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie χ² odpowiednio z u i r stopniami swobody. Zmienna losowa $F = \frac{\frac{1}{u}X}{\frac{1}{r}Y}$ podlega rozkładowi F o u i r stopniach swobody.

36. Co nazywamy estymatorem?
Estymatorem nazywamy statystykę, której wartości przyjmujemy jako oceny nieznanego parametru rozkładu.

$$\hat{\mu} = \overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}\backslash n$$

40.Jaka statystyka jest estymatorem wariancji?
Statystyka ${\hat{\sigma}}^{2} = {\hat{s}}^{2} = \frac{1}{n - 1}\left( \sum_{i = 1}^{n}{x_{i}^{2} - \frac{\left( \sum_{i = 1}^{n}X_{i} \right)^{2}}{n}} \right)$ jest estymatorem wariancji.
Jest to estymator zgodny i nieobciążony.

46.Jaki rozkład ma statystyka zwana średnią arytmetyczną?

Niech X₁,X₂,…X_n to zmienne losowe niezależne o jednakowym rozkładzie normalnym N(μ,σ)

$\overset{\overline{}}{X} = \ \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$ , mają rozkłady: $\overset{\overline{}}{x}\sim N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$

49.Zdefiniuj poziom ufności.
1-α poziom ufności
Prawdopodobieństwo pokrycia przez ten przedział nieznanego parametru θ jest równe 1-α, tzn.
P(θ₁(X₁,…,X_n)<θ<θ₂(X₁,…,X_n)=1-α

54.Zdefiniuj poziom istotności.
Prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju, czyli błędnego odrzucenia hipotezy zerowej nazywamy poziomem istotności α.
α,αє(0,1)

78.Podaj postać hipotezy alternatywnej do H₀: μ₁ – μ₂ ≤0
H₀: μ₁ – μ₂ ≤ 0
H₁ : μ₁ – μ₂ > 0

$$\left( \ y - X\beta \right)^{T}\left( y - X\beta \right) = \ \sum_{l}^{}\left( y_{l} - \ X_{l_{1}}\beta_{1} - \ \ldots - X_{l_{m}}\beta_{m} \right)^{2}$$

H₀ :  μ_A1 = μ_A2 = … = μ_Ar ∖ n

105.Podaj założenia analizy wariancji.
1) Zmienna Y podlega rozkładowi normalnemu,
2) Jednorodność wariancji dla porównywania obiektów.

111.Podaj założenia regresji liniowej

Dla każdej wartości zmiennej Y ma rozkład normalny z jednakową ( nieznane) wartościa δ^2; wartość srednia mi zmiennej Y zależy od x, tzn. że mi=mi(x) i mi(x) jest funkcją linową x postaci mi(x) Beta0+Beta1x oraz lesowego epsilon

115.Czego miarą jest współczynnik korelacji, jakie przyjmuje wartości?

Korelacja oznacza wzajemne powiązanie – związek między zmiennymi losowymi x i y tworzącymi zmienną losowo – 2 – wymiarową (X,Y). Na podstawie obserwacji (x₁,y₁), ... , (x_n,y_n) wyznaczana jest wartość współczynnika korelacji Pearsona

r_xy=$\frac{\text{Sxy}}{\text{SxSy}}$ -1 ≤ r_xy ≤ 1

117.Podaj właśność prostej regresji

1.Prosta regresji przechodzi przez punkt o współrzędnych ($\overset{\overline{}}{x,}\overset{\overline{}}{y}$)

2.Miarą dopasowania prostej do punktów empirycznych jest współczynnik determinacji

R²=Nxy² * 100%

Określa on w jakim procencie, wartości zmiennej x wpływają na wartości zmiennej y

3.W oparciu o równanie regresji możemy przewidzieć z pewną dokładnością wartość zmiennej y dla wartości zmiennej x z przedziału < x _min , x _max >