LABORATORIUM Z PODSTAW AUTOMATYKI

Laboratorium nr 3	Temat ćwiczenia: Projektowanie układów automatyki z wykorzystaniem Matlaba i Simulinka	Data wykonania ćwiczenia: 18.11.2011
Imię i nazwisko: Paweł Miszczyk	Wydział Energetyki i Paliw Energetyka III rok, grupa 2

1. Cel ćwiczenia:

-poznanie sposobów tworzenia liniowych modeli układów automatyki, zamiana postaci modeli

-tworzenie schematów blokowych układów automatyki

-wyznaczenie charakterystyk czasowych i częstotliwościowych układów automatyki

2. Krótkie wprowadzenie teoretyczne:

W Matlabie najczęściej korzysta się dwóch postaci liniowych modeli dynamicznych: równań stanu i wyjścia oraz transmitancji operatorowej

Ogólna postać równań stanu i wyjścia wygląda następująco:

gdzie A,B,C i D to macierze:

A-macierz stanu, B-macierz wejść, C-macierz wyjść, D-macierz transmisji

W Matlabie żeby zobaczyć postać modelu na ekranie wystarczy wprowadzić dane tych czterech macierzy i następnie należy wpisać komendę: ss(A,B,C,D)

Transmitancją operatorową natomiast nazywa się stosunek sygnału wyjściowego do sygnału wejściowego:

W Matlabie transmitancje operatorową zapisujemy w postaci dwóch wektorów:

wektora L który zawiera współczynniki przy kolejnych potęgach s w liczniku

i wektora M, który zawiera współczynniki przy potęgach s w mianowniku.

W Matlabie transmitancję operatorową zapisujemy za pomocą komendy: tf(L,M)

Oczywiście istnieje także możliwość zamiany w Matlabie równań stanu na transmitancje operatorową i odwrotnie. Służą do tego formuły:

-ss2tf – zamienia równania stanu na transmitancje;

np. [L,M]=ss2tf(A,B,C,D)

-tf2ss – służy do zamiany transmitancji na równania stanu;

np. [A,B,C,D]=tf2ss(L,M)

Poza transmitancją i równaniami stanu, można również zapisywać modele dynamiczne za pomocą schematów blokowych. Schematy blokowe składają się trzech podstawowych elementów:

-węzłów zaczepnych (mają jedno wejście, wiele wyjść)

-węzłów sumacyjnych (mają wiele wejść i jedno wyjście)

-bloków dynamicznych (rysowane jako prostokąty, zawierają informacje dotyczące własności układu)

Matlab także daje nam możliwość wyznaczenia wypadkowych modeli dla układów:

-ze sprzężeniem zwrotnym

-z połączeniem szeregowym

-z połączeniem równoległym

Do operacji tych służą funkcje:

cloop – dotyczy wyznaczenia wypadkowego modelu dla układu, gdy mamy układ

z czystym sprzężeniem zwrotnym

feedback – dotyczy wyznaczenia wypadkowego modelu dla układu, gdy mamy układ ze sprzężeniem zwrotnym z kompensatorem w obwodzie sprzężenia

series – dotyczy wyznaczenia wypadkowego modelu dla układu szeregowego

parallel – dotyczy wyznaczenia wypadkowego modelu dla układu równoległego

3. Przebieg ćwiczenia:

Podczas naszych ćwiczeń laboratoryjnych dokonywaliśmy zamian:

-z postaci równań stanu na postać transmitancji operatorowej (ćw.3.1)

-z transmitancji operatorowej na równania stanu (ćw.3.2)

Podczas tych działań udowodniliśmy, że w przypadku gdy macierz C i D są równe 0, to transmitancja operatorowa też jest równa 0.

W dalszej części ćwiczeń wyznaczaliśmy charakterystyki czasowe i częstotliwościowe dla poszczególnych elementów automatyki: (ćw.3.3)

-elementu proporcjonalnego: G(s) = K

-elementu całkującego idealnego: $G\left( s \right) = \frac{K}{s}$

-elementu różniczkującego idealnego: G(s) = Ts

-elementu różniczkowego rzeczywistego: $G\left( s \right) = \frac{T_{2} \bullet s}{T_{1}s + 1}$

-elementów inercyjnych I i II rzędu: $G\left( s \right) = \frac{K}{Ts + 1}$ ,$\ G\left( s \right) = \frac{K}{\left( T_{1}s + 1 \right)\left( T_{2}s + 1 \right)}$

-i elementu oscylacyjnego II rzędu:$\text{\ G}\left( s \right) = \frac{K{\omega_{o}}^{2}}{s^{2} + 2\zeta\omega_{o}s + \text{\ ω}_{o}}$

Pod koniec zajęć wykonywaliśmy ćw.3.4 które polegało na napisaniu m-pliku, który wyznaczy charakterystyki: skokową, impulsową, amplitudo-fazową i logarytmiczną dla układu przedstawionego poniżej o następujących danych:

Kr=1.5, Td=3, Ti=2 i T=1

Niestety nie zdążyłem tego zadania zrobić na ćwiczeniach, więc opisze ten krok dokładnie w tej części sprawozdania. Układ ten składa się z połączeń równoległych, więc posłużę się dwukrotnie poleceniem parallel, w celu wyznaczenia transmitancji wypadkowej całego tego układu, a następnie tak jak to robiliśmy to w ćw3.3 skorzystam z formuł:

step – służy do wyznaczenia charakterystyki skokowej

impulse – służy do wyznaczenia charakterystyki impulsowej

nyquist – służy do wyznaczenia charakterystyki amplitudo-fazowej

bode – służy do wyznaczenia charakterystyki logarytmicznej modułu i fazy

Oto skrypt z programem:

Kr=1.5

Td=3

Ti=2

T=1

[l1,m1]=parallel([Td 0],[T 1],[Kr], [1])

[l2,m2]=parallel([l1],[m1],[1],[Ti 0])

figure(1); step(l2,m2);

figure(2); impulse(l2,m2);

figure(3); nyquist(l2,m2)

figure(4); bode(l2,m2)

A oto i powstałe wykresy:

wykres 1 – charakterystyka skokowa:

wykres 1 – charakterystyka skokowa(pierwsze 10 sekund)

wykres 2 – charakterystyka impulsowa:

wykres 3 – charakterystyka amplitudo-fazowa:

wykres 4 – charakterystyka logarytmiczna modułu i fazy:

4. Wnioski:

Na dzisiejszych zajęciach ćwiczyliśmy zamianę pomiędzy poszczególnymi modelami automatyki, oraz nauczyliśmy się jak wyznaczać charakterystyki czasowe i częstotliwościowe różnych modelów automatyki z wykorzystaniem Matlaba.

We wnioskach można również zawrzeć, że gdy w równaniach stanu macierz C (macierz wyjścia) i D (macierz transmisji) są równe 0 to transmitancja z takiego modelu również wynosi 0 oraz to, że Matlab nie jest w stanie narysować charakterystyki skokowej i impulsowej dla elementu różniczkującego idealnego G(s) = Ts . Jest to związane z tym, że element różniczkowy idealny to jedyny z podstawowych członów dynamicznych który właściwie nie istnieje w rzeczywistości. Żadne bowiem urządzenie nie jest w stanie wytworzyć sygnałów o nieskończenie krótkim czasie trwania i nieskończenie wielkiej amplitudzie.