Zadania na zajęcia 9

1. Wyznacz wszystkie wartości współczynników a, b i c, dla których funkcja f nie ma miejsc zerowych.

1. f(x) = ax² + 4x + 2

2. f(x) = x² + bx + 1

3. f(x) = -x² + 6x + c

1. Jednym z rozwiązań równania x² - 6x + c = 0 jest liczba 3 -$\sqrt{2}$. Wyznacz współczynnik c i znajdź drugie rozwiązanie.

2. Rozwiąż równanie.

1. 9x² - 4 = 0

2. (3x -1)(4x +5)=(4x +5)(2x – 1)

3. x² + 2x = 0

4. (2 +5x)²=19x + (x-4)(x+5)

5. 6x - 9 = x²

6. 3x²-2$\sqrt{3}$x-3=0

7. 4x - 4x² = 1

1. Rozwiąż równanie.

1. 2(x + 1)² = 5(4 - x)

2. x² + $\sqrt{2}$x -4 = 0

3. $\sqrt{3}$x² -9x + 6$\sqrt{3}$ = 0

1. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta y = m ma dwa punkty wspólne z wykresem funkcji f.

1. f(x) = x²-1

2. f(x) = -4x² - 2x

3. f(x) = -2x² – 4x +1

1. Podaj współrzędne punktów przecięcia prostej k z wykresem funkcji f.

1. k: y = -1, f(x) = x²-2x

2. k: y = x - 1, f(x) = 2x² + 7x+ 3

3. k:y = -2, f(x)= -x² - x + 18

4. k:y = 2x- 1, f(x) = -x² + 2x + 8

1. Rozwiąż graficznie i algebraicznie układ równań:

1. $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + x - 2 = y \\ y = \ - x + 1 \\ \end{matrix} \right.\ $

2. $\left\{ \begin{matrix} {\frac{- 1}{2}x}^{2} + x + 4 = y \\ y = \ - \frac{1}{2}x + 2 \\ \end{matrix} \right.\ $

3. $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - 2x - 3 = y \\ y = \ - 2x + 1 \\ \end{matrix} \right.\ $

1. Kwadrat pewnej liczby jest o 270 większy od jej potrojonej wartości. Znajdź tę liczbę.

2. Iloczyn dwóch liczb jest równy 225. Znajdź te liczby, jeżeli jedna z nich jest o 7 większa od podwojonej drugiej liczby.

3. Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych wynosi 925. Znajdź te liczby.

4. Suma kwadratów dwóch kolejnych nieparzystych liczb naturalnych wynosi 650. Znajdź te liczby.

5. Wyznacz dwie kolejne liczby naturalne, których suma jest większa od 23, a suma ich kwadratów jest mniejsza od 365.

6. Wyznacz najmniejszą możliwą wartość sumy kwadratów dwóch liczb x i y, jeśli:

1. x + y = 2

2. x -y = 3

3. 3x + y = 0

4. 2x - y = 1

1. Wyznacz największą możliwą wartość iloczynu dwóch liczb x i y, jeśli:

1. x + y = 6

2. 2x + y = 4

3. 4x + 2y = 1

4. x+y=0

1. Suma dwóch liczb jest równa 10. Wyznacz te liczby, tak aby suma potrojonego kwadratu jednej z nich i kwadratu drugiej była jak najmniejsza.

2. Jakie wymiary powinien mieć prostokąt o obwodzie 20 cm, aby jego pole było jak największe?

3. Mamy 58 m bieżącej siatki ogrodzeniowej. Zamierzamy ogrodzić prostokątny ogró­dek o jak największej powierzchni. Jakie powinien on mieć wymiary, jeśli na jed­nym z boków trzeba zostawić nieogrodzone 2 m na furtkę?

4. Obwód prostokąta jest równy 8. Wyznacz długości jego boków, tak aby prostokąt miał jak najkrótszą przekątną.

5. Wysokość prostopadłościanu jest równa 3 cm, a jego podstawą jest prostokąt o obwodzie 16 cm. Jakie powinny być wymiary podstawy tego prostopadłościanu, by Jego Pole powierzchni całkowitej było jak największe? Oblicz objętość takiego prostopadłościanu.

6. Przekrój osiowy walca jest prostokątem o obwodzie 12. Oblicz największe możliwe pole powierzchni bocznej takiego walca.

7. Iloczyn piątej i szóstej części pewnej liczby różnej od zera jest równy tej liczbie. Wyznacz tę liczbę.

8. Liczbę 12 przedstaw w postaci sumy dwóch takich składników, że suma ich kwa­dratów jest równa 74.

9. Wyznacz liczbę dwucyfrową, wiedząc że jej cyfra jedności jest o 5 większa od cyfry dziesiątek, a iloczyn tej liczby przez sumę jej cyfr jest równy 243.

10. Uzasadnij, że nie istnieją dwie liczby, których suma jest równa 4, a ich iloczyn jest równy 5.

11. Podaj dwie kolejne liczby naturalne, których iloczyn jest równy 756

12. Suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest równa 155. Wyznacz te liczby.

13. Ania i Maciek będą budować dom. Kupili działkę w kształcie prostokąta o powierzchni 640 m² . Wiedząc, że jeden bok prostokąta jest o 12 m dłuższy od drugiego, oblicz, nie uwzględniając strat siatki, ile metrów bieżących siatki trzeba kupić na ogrodzenie tej działki.

14. Określ, dla jakich wartości parametru m równanie:

1. (m + 1)x² -4mx+2m + 3 = 0 nie ma rozwiązań,

2. (m + 2)x² + 6mx + 4m-1 = 0 ma rozwiązania.

1. Oblicz, dla jakich wartości parametru m równanie:

1. 2x² -(m-1)x+m + 1 = 0 ma dwa pierwiastki ujemne

2. (2m²+m-1)x²+(5-m)x-6 = 0 ma dwa pierwiastki jednakowych znaków

3. x² - (m - 5)x + m² - 6m + 5 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków