1. Jakie odwzorowanie nazywamy złożeniem odwzorowań?

Jeżeli f : A → B,     g : B → C to (g∘f) : A → C zdefiniowane wzorem ∀ a ∈ A (g∘f)(a) = g(f(a)) nazywamy złożeniem odwzorowań

2. Podać i uzasadnić wzór na odwzorowanie odwrotne do złożenia odwzorowań.

Niech f :  A → B,    g : B → C - bijekcje, wtedy (g∘f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹

Dowód:

(g∘f)⁻¹(c) = a   ⇔   (g∘f)(a) = c   ⇔   f(a) = b ∧ g(b) = c

(f⁻¹∘g⁻¹)(c) = a₁   ⇔   f⁻¹(g⁻¹(c)) = a₁   ⇔   g⁻¹(c) = f(a₁)  ⇔   c = g(f(a₁)) = (g∘f)(a₁) 

  ⇒ a = a₁  ⇒   f⁻¹ ∘ g⁻¹ = (g∘f)⁻¹

3. Co nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do danego? Kiedy istnieje?

Niech f : A → B – bijekcja (warunek istnienia)

Odwzorowanie g : B → A takie, że ∀b ∈ B   g(b) = a   ⇔   f(a) = b   ⇔    g = f⁻¹ nazywamy odwrotnym do danego

4. Ile wynosi moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych o module równym m? Dlaczego?

Niech z₁ = x₁ + y₁i,      z₂ = x₂ + y₂i,     | z₁| = |z₂| = m

|z₁•z₂| = |(x₁+y₁i)•(x₂+y₂i)| = |(x₁x₂−y₁y₂)+(x₁y₂−x₂y₁)i|=

$$\sqrt{\left( x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} \right)^{2} + \left( x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1} \right)^{2}} = \sqrt{x_{1}^{2}x_{2}^{2} + y_{1}^{2}y_{2}^{2} + x_{1}^{2}y_{2}^{2} + x_{2}^{2}y_{1}^{2}} = \sqrt{(x_{1}^{2} + y_{1}^{2})(x_{2}^{2} + y_{2}^{2})} = m \bullet m = m^{2}$$

5. Jak zapisujemy liczbę zespoloną w postaci wykładniczej? Objaśnić użyte symbole. Podać wzór na iloczyn dwóch liczb w tej postaci.

|z| • e^iφ - postać wykładnicza funkcji zespolonej, gdzie:

|z| – moduł liczby z

e - liczba Eulera

i - jednostka urojona

φ - argument

|z₁| • e^iφ₁ • |z₂| • e^iφ₂ = |z₁| • |z₂| • e^{i(φ₁ + φ₂)}

6. Podać i uzasadnić wzór na cosinus i sinus kąta w zależności od funkcji wykładniczej.

$\cos\left( \varphi \right) = \frac{\mathrm{e}^{\text{iφ}} + \mathrm{e}^{- \text{iφ}}}{2}$, $\sin\left( \varphi \right) = \frac{\mathrm{e}^{\text{iφ}} - \ \mathrm{e}^{- \text{iφ}}}{2i}$

$$\left\{ \begin{matrix} \mathrm{e}^{\text{iφ}} = \cos\left( \varphi \right) + \sin\left( \varphi \right) \bullet i \\ \mathrm{e}^{- \text{iφ}} = \cos\left( - \varphi \right) + \sin\left( - \varphi \right) \bullet i \\ \end{matrix}\ \right.\ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \mathrm{e}^{\text{iφ}} = \cos\left( \varphi \right) + \sin\left( \varphi \right) \bullet i \\ \mathrm{e}^{- \text{iφ}} = \cos\left( \varphi \right) - \sin\left( \varphi \right) \bullet i \\ \end{matrix}\ \ \Longleftrightarrow \right.\ \ \left\{ \begin{matrix} \mathrm{e}^{\text{iφ}} - \cos\left( \varphi \right) = \sin\left( \varphi \right) \bullet i \\ \mathrm{e}^{- \text{iφ}} = \cos\left( \varphi \right) - \mathrm{e}^{\text{iφ}} + \cos\left( \varphi \right) \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ } \right.\ \ $$

$$\Longleftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \mathrm{e}^{\text{iφ}} - \frac{\mathrm{e}^{\text{iφ}} - \ \mathrm{e}^{- \text{iφ}}}{2} = \sin\left( \varphi \right) \bullet i \\ \cos\left( \varphi \right) = \frac{\mathrm{e}^{\text{iφ}} + \mathrm{e}^{- \text{iφ}}}{2} \\ \end{matrix}\ \ \Longleftrightarrow \right.\ \ \left\{ \begin{matrix} \sin\left( \varphi \right) = \frac{\mathrm{e}^{\text{iφ}} - \ \mathrm{e}^{- \text{iφ}}}{2i} \\ \cos\left( \varphi \right) = \frac{\mathrm{e}^{\text{iφ}} + \mathrm{e}^{- \text{iφ}}}{2} \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ } \right.\ $$

7. Kiedy wektory e₁,...e_n nazywamy liniowo niezależnymi? Czy wektory (1,2),(4,-1),(-2,3) są liniowo niezależne?

Liniowo niezależne, gdy $\forall\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n} \in K\ \ \ \ \ \ \ (\sum_{i = 1}^{n}{\alpha_{i}{\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{i} = 0\ \ \Longrightarrow \ \ \alpha_{1} = ... = \alpha_{n} = 0})$

X-przestrzeń wektorowa. Wektory${\mathrm{\ }\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{1},\ldots,{\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{n} \in X$ nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli istnieją liczby

α₁, …, α_n∈𝕂 takie, że:

$\sum_{i = 1}^{n}{\left| \alpha_{i} \right| > 0}$ oraz $\sum_{i = 1}^{n}{\alpha_{i}{\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{i} = \overset{\overline{}}{0}}$

Wektory ${\mathrm{\ }\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{1},\ldots,{\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{n}$, które nie są liniowo zależne, nazywamy liniowo niezależnymi

α₁(1,2) + α₂(4,−1) + α₃(−2,3) = (0,0),   α₁, α₂, α₃∈ℝ

$$\left\{ \begin{matrix} \alpha_{1} + 4\alpha_{2} - 2\alpha_{3} = 0 \\ {2\alpha}_{1} - \alpha_{2} + 3\alpha_{3} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, zatem wektory nie są liniowo niezależne.

8. Co to jest baza przestrzeni wektorowej? Co łączy dwie bazy tej samej przestrzeni?

Baza przestrzeni wektorowej jest to zbiór wektorów $\left( {\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{1},\ldots,{\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{n} \right)$ liniowo niezależnych, które generują daną przestrzeń.

Dwie bazy tej samej przestrzeni mają tą samą ilość elementów.

9. Jak określamy reprezentację macierzową odwzorowania liniowego?

Niech X, Y- przestrzenie wektorowe nad 𝕂, $\left( {\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{1},\ldots,{\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{n} \right)$ - baza w X, $\left( {\overset{\overline{}}{\mathrm{E}}}_{1},\ldots,{\overset{\overline{}}{\mathrm{E}}}_{n} \right)$ - baza w Y

T : X → Y- odwzorowanie liniowe.

$\forall\ j \in \left\{ 1,\ldots,n \right\}\text{\ \ \ \ T}\left( {\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{j} \right) = \sum_{i = 1}^{m}{a_{\text{ij}}{\overset{\overline{}}{\mathrm{E}}}_{i}}$ - Reprezentacja macierzowa odwzorowania T w danych bazach:

$A = \begin{bmatrix} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots & a_{1n} \\ \cdots & a_{2n} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \vdots & \vdots \\ \cdots & a_{\text{mn}} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$

10. Podać i uzasadnić wzór na iloczyn macierzy.

X, Y, Z- przestrzenie wektorowe, $\left( {\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{1},\ldots,{\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{n} \right)$ - baza w X, $\left( {\overset{\overline{}}{\mathrm{E}}}_{1},\ldots,{\overset{\overline{}}{\mathrm{E}}}_{n} \right)$ - baza w Y,$\ \left( {\overset{\overline{}}{\mathrm{\varepsilon}}}_{1},\ldots,{\overset{\overline{}}{\mathrm{\varepsilon}}}_{n} \right)$ - baza w Z

T : X → Y,    S : Y → Z,    (S∘T) : X → Z – odwzorowania liniowe,

A - reprezentacja odwzorowania T, B - reprezentacja odwzorowania S

$\left( S \circ T \right)\left( \overset{\overline{}}{x} \right) = S\left( T\left( \overset{\overline{}}{x} \right) \right)$, Niech C reprezentacja macierzowa odwzorowania (S∘T)

$\forall\ j \in \left\{ 1,\ldots,n \right\}\text{\ \ }T\left( {\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{j} \right) = \sum_{i = 1}^{m}{a_{\text{ij}}{\overset{\overline{}}{\mathrm{E}}}_{i}}$

$\forall\ i \in \left\{ 1,\ldots,m \right\}\text{\ \ }S\left( {\overset{\overline{}}{\mathrm{E}}}_{i} \right) = \sum_{k = 1}^{r}{b_{\text{ki}}{\overset{\overline{}}{\mathrm{\varepsilon}}}_{k}}$

$\left( S \circ T \right)\left( {\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{j} \right) = S\left( T\left( {\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{j} \right) \right) = S\left( \sum_{i = 1}^{m}{a_{\text{ij}}{\overset{\overline{}}{E}}_{i}}\ \right) = \sum_{i = 1}^{m}{a_{\text{ij}}{S(\overset{\overline{}}{\mathrm{E}}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{m}{a_{\text{ij}}(\sum_{k = 1}^{r}{b_{\text{ki}}{\overset{\overline{}}{\varepsilon}}_{k}}\ }) = \ }$

$\sum_{k = 1}^{r}{(\sum_{i = 1}^{m}{b_{\text{ki}}a_{\text{ij}})}{\overset{\overline{}}{\mathrm{\varepsilon}}}_{k}} = \sum_{k = 1}^{r}{c_{\text{kj}}{\overset{\overline{}}{\mathrm{\varepsilon}}}_{k}}\ \ \Rightarrow \ c_{\text{kj}} = \ \sum_{i = 1}^{m}{b_{\text{ki}}a_{\text{ij}}}\ $ (C = B • A)

11. Podać i uzasadnić wzór na transpozycję iloczynu macierzy.

Niech A - macierz n × m,   B - macierz m × k

(A • B)^T = B^T • A^T

Dowód:

$C = A \bullet B,\ \text{\ \ \ c}_{\text{ij}} = \ \sum_{k = 1}^{m}{a_{\text{ik}}b_{\text{kj}}}$

C^T = (c_ij)^T

$c_{\text{ij}} = \ \sum_{k = 1}^{m}{a_{\text{ik}}b_{\text{kj}}} \Rightarrow c_{\text{ji}} = \sum_{k = 1}^{m}{a_{\text{jk}}b_{\text{ki}} = \sum_{k = 1}^{m}{b_{\text{ik}}^{T}a_{\text{kj}}^{T}}}$

12. Podać wzór na wyznacznik iloczynu macierzy.

Niech A, B - macierze n × n

det(A•B) = det(A)•det(B)

13. Podać rozwinięcie Laplace’a wyznacznika macierzy.

Niech A - macierz n × n

$\det\left( A \right) = \sum_{j = 1}^{n}{a_{\text{ij}}A_{\text{ij}}}$ gdzie i = 1,  2, …,  n

A_ij = ( − 1)^i + j • M_ij - dopełnienie algebraiczne elementu a_ij

M_ij – minor macierzy A

14. Co nazywamy macierzą nieosobliwą? Jak można stwierdzić, czy macierz jest nieosobliwa?

Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik jest różny od zera.

Aby sprawdzić czy macierz jest nieosobliwa należy policzyć wyznacznik.

15. Podać wzory Cramera na rozwiązanie układu równań liniowych. Objaśnić użyte symbole.

$x_{k} = \frac{W_{x_{k}}}{W}\ \ \ \ k = 1,\ 2,\ \ldots,\ n$

n - liczba niewiadomych

x_k – k-ta niewiadoma

W – wyznacznik główny macierzy A kwadratowej, nieosobliwej

W_xk - Wyznacznik otrzymany z wyznacznika głównego przez zastąpienie w nim k-tej kolumny kolumną wolnych wyrazów

16. Podać wzór na elementy macierzy odwrotnej. Objaśnić użyte symbole.

Niech A - nieosobliwa macierz n × n, B⁻¹ = A

$b_{\text{ij}} = \frac{A_{\text{ji}}}{\left| A \right|}\ \ \ \ \ \ i,j = 1,\ 2,\ldots,n$ gdzie A_ji - element macierzy dołączonej do A (transponowanej macierzy dopełnień)

17. Co nazywamy rzędem macierzy? Jaki jest związek rzędu macierzy z jej wymiarem?

Rzędem macierzy A nazywamy wymiar największej nieosobliwej podmacierzy kwadratowej A. Rząd macierzy to rząd odwzorowania liniowego związanego z tą macierzą.

18. Jak możemy wyznaczyć rząd macierzy?

A - macierz m × n (niezerowa, jeśli zerowa to r(A) = 0 ). Liczymy podwyznaczniki macierzy A stopnia k dla k = min{m,n}, …,  1 do momentu otrzymania wartości niezerowej. Za rząd przyjmujemy wymiar największej macierzy nieosobliwej będącej podmacierzą kwadratową A.

19. Podać twierdzenie Sylvestera o rzędzie iloczynu macierzy.

r(A • B)≤min{R(A), r(B)}

20. Podać i uzasadnić twierdzenie Kroneckera – Capelliego.

$$\left\{ \begin{matrix} a_{11} \bullet x_{1} + \ldots + a_{1n} \bullet x_{n} = y_{1} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{m1} \bullet x_{1} + \ldots + a_{\text{mn}} \bullet x_{n} = y_{m} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ = A\overset{\overline{}}{x} = \overset{\overline{}}{y}$$

Powyższy układ ma co najmniej jedno rozwiązanie ⇔r(A) = r(Au)

Dowód:

r(A) = r(Au)⇒ kolumna $\overset{\overline{}}{y}$ jest liniowo zależna od pozostałych

$\Rightarrow \exists\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}\sum_{i = 1}^{n}{\alpha_{i}\alpha_{\text{ij}}} = y_{j}\ \ \ \ \ \ j = 1,\ldots,\ m$

$\sum_{i = 1}^{n}{\alpha_{\text{ij}}x_{i}} = y_{j}\ \ \ \ \ \ j = 1,\ldots,\ m$ - układ równań

r(A)≠r(Au)⇒ kolumna $\overset{\overline{}}{y}$ jest liniowo niezależna od pozostałych $\Rightarrow \ \overset{\overline{}}{y}$ nie jest kombinacją liniową $\sum_{i = 1}^{n}{\alpha_{\text{ij}}x_{i}} = y_{j} \Leftrightarrow$ zadany układ równań nie ma rozwiązania

21. Kiedy układ równań algebraicznych liniowych będzie miał co najmniej jedno rozwiązanie dla każdej kolumny wyrazów wolnych? Odpowiedź uzasadnić.

$$\left\{ \begin{matrix} a_{11} \bullet x_{1} + \ldots + a_{1n} \bullet x_{n} = y_{1} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{m1} \bullet x_{1} + \ldots + a_{\text{mn}} \bullet x_{n} = y_{m} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ = A\overset{\overline{}}{x} = \overset{\overline{}}{y}$$

Powyższy układ posiada rozwiązania $\forall\overset{\overline{}}{y} \in Y \Leftrightarrow r\left( A \right) = m$

Dowód:

r(A) = m ⇒ r(Au) = m

A - macierz m × n,   Au - macierz m × (n + 1)

r(A) ≤ r(Au) ≤ min{m,n+1} = m ≤ r(A) ⇒ r(Au) = m

$r\left( A \right) < m \Rightarrow \exists\overset{\overline{}}{y}\ $dla którego r(Au) > r(A)⇒ nie ma rozwiązania

22. Podać i uzasadnić związek między wyznacznikiem macierzy a wyznacznikiem macierzy odwrotnej.

det(A) • det(A)⁻¹ = 1

A • A⁻¹= wobec tego det(A•A⁻¹) = det() = 1

Z twierdzenia Cauchy’ego $\det\left( A \right) \bullet \det\left( A \right)^{- 1} = 1 \Rightarrow \det\left( A \right)^{- 1} = \frac{1}{det(A)}$

23. Podać i uzasadnić wzór na transpozycję macierzy odwrotnej.

(A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹

A • A⁻¹=

(A•A⁻¹)^T=^T=

Na transpozycję iloczynu:

(A⁻¹)^T•A^T=

(A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹

33. Co to jest forma dwuliniowa? Co nazywamy jej reprezentacją macierzową?

X, Y - przestrzenie wektorowe nad ciałem 𝕂

a : X × Y → 𝕂 nazywamy formą dwuliniową gdy:

$1\ \forall\overset{\overline{}}{y} \in Y\ :a\left( \bullet \ ,\overset{\overline{}}{y} \right)\ :X \rightarrow \mathbb{K}$ jest formą liniową

$2\ \forall\overset{\overline{}}{x} \in X\ :a\left( \overset{\overline{}}{x},\ \ \bullet \right)\ :Y \rightarrow \mathbb{K}$ jest formą liniową

Reprezentacja macierzowa:

a  : X × X → 𝕂,   $\left( {\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{1},\ldots,{\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{n} \right)$ - baza w X

$$a\left( \overset{\overline{}}{x},\overset{\overline{}}{y} \right) = a\left( \sum_{i = 1}^{n}{x_{i}{\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{i}},\sum_{i = 1}^{n}{y_{j}{\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{j}} \right) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j = 1}^{n}{x_{i}y_{j}a\left( {\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{i},{\overset{\overline{}}{\mathrm{e}}}_{j} \right) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j = 1}^{n}{a_{\text{ij}}x_{i}y_{j}}}}}$$

34. Kiedy formę dwuliniową nazywamy symetryczną a kiedy antysymetryczną?

Formę dwuliniową a : X × X → 𝕂 nazywamy formą symetryczną jeśli $\forall\overset{\overline{}}{x},\overset{\overline{}}{y} \in X\ \ \ \ \ a\left( \overset{\overline{}}{x},\overset{\overline{}}{y} \right) = a\left( \overset{\overline{}}{y},\overset{\overline{}}{x} \right)$,

antysymetryczną jeśli $\forall\overset{\overline{}}{x},\overset{\overline{}}{y} \in X\ \ \ \ \ a\left( \overset{\overline{}}{x},\overset{\overline{}}{y} \right) = - a\left( \overset{\overline{}}{y},\overset{\overline{}}{x} \right)$

35. Podać i uzasadnić twierdzenie o rozkładzie macierzy na część symetryczną i antysymetryczną

A = A^s + A^a gdzie A^s - macierz symetryczna, A^a - macierz antysymetryczna

Dowód:

$$A^{s} = \frac{1}{2}\left( A + A^{T} \right),\ \ A^{a} = \frac{1}{2}\left( A - A^{T} \right) \Rightarrow A = \frac{1}{2}A + \frac{1}{2}A^{T} + \frac{1}{2}A - \frac{1}{2}A^{T} = A$$

42. Podać definicję i własności iloczynu skalarnego wektorów.

$\overset{\overline{}}{a} \circ \overset{\overline{}}{b} = \left| \overset{\overline{}}{a} \right| \bullet \left| \overset{\overline{}}{\text{\ b}} \right| \bullet cos(\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b})$ dla $\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b} \neq 0$

$$\overset{\overline{}}{a} \circ \overset{\overline{}}{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}$$

Własności iloczynu skalarnego:

$$1\ \forall\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b},\overset{\overline{}}{c}\text{\ \ \ \ \ }\left( \overset{\overline{}}{a} + \overset{\overline{}}{b} \right) \circ \overset{\overline{}}{c} = \overset{\overline{}}{a} \circ \overset{\overline{}}{c} + \overset{\overline{}}{b} \circ \overset{\overline{}}{c}$$

$2\ \forall\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b}$  ∀α∈ℝ $\left( \alpha\overset{\overline{}}{a} \right) \circ \overset{\overline{}}{b} = \alpha\left( \overset{\overline{}}{a} \circ \overset{\overline{}}{b} \right) = \overset{\overline{}}{a} \circ (\alpha\overset{\overline{}}{b})$

$$3\ \forall\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{a} \circ \overset{\overline{}}{b} = \overset{\overline{}}{b} \circ \overset{\overline{}}{a}$$

$$4\ \forall\overset{\overline{}}{a}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{a} \circ \overset{\overline{}}{a} = \left| \overset{\overline{}}{a} \right|^{2} \geq 0$$

$$5\ \forall\overset{\overline{}}{a}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{a} \circ \overset{\overline{}}{a} = 0\ \Longleftrightarrow \overset{\overline{}}{a} = 0$$

$$6\ \forall\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{a} \circ \overset{\overline{}}{b} = 0 \Longleftrightarrow \overset{\overline{}}{a} = 0 \vee \overset{\overline{}}{b} = 0 \vee \overset{\overline{}}{a}\bot\overset{\overline{}}{b}$$

43. Podać definicję i własności iloczynu wektorowego wektorów.

Mówimy, że iloczyn wektorowy wektorów niezerowych $\overset{\overline{}}{a}$ i $\overset{\overline{}}{b}$ jest równy $\overset{\overline{}}{c}$, jeżeli

1 Kierunek wektora $\overset{\overline{}}{c}$, jest taki, że $\overset{\overline{}}{c}\bot\overset{\overline{}}{a}$ i $\overset{\overline{}}{c}\bot\overset{\overline{}}{b}$

$2\ \left| \overset{\overline{}}{c} \right| = \left| \overset{\overline{}}{a} \right| \bullet \left| \overset{\overline{}}{\text{\ b}} \right| \bullet sin(\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b})$

3 Zwrot wektora $\overset{\overline{}}{c}$, jest tak dobrany, by trójka $(\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b},\overset{\overline{}}{c})$ tworzył układ o orientacji zgodnej z układem współrzędnych, $\overset{\overline{}}{c} = \overset{\overline{}}{a} \times \overset{\overline{}}{b}$

Jeżeli $\overset{\overline{}}{a} = \overset{\overline{}}{0} \vee \overset{\overline{}}{b} = \overset{\overline{}}{0}$ to $\overset{\overline{}}{c} = \overset{\overline{}}{0}$

Własności:

$$1\ \forall\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b},\overset{\overline{}}{c}\text{\ \ \ \ \ }\left( \overset{\overline{}}{a} + \overset{\overline{}}{b} \right) \times \overset{\overline{}}{c} = \overset{\overline{}}{a} \times \overset{\overline{}}{c} + \overset{\overline{}}{b} \times \overset{\overline{}}{c}$$

$2\ \forall\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b}$  ∀α∈ℝ $\left( \alpha\overset{\overline{}}{a} \right) \times \overset{\overline{}}{b} = \alpha\left( \overset{\overline{}}{a} \times \overset{\overline{}}{b} \right) = \overset{\overline{}}{a} \times (\alpha\overset{\overline{}}{b})$

$$3\ \forall\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{a} \times \overset{\overline{}}{b} = - \overset{\overline{}}{b} \times \overset{\overline{}}{a}$$

$$4\ \forall\overset{\overline{}}{a}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{a} \times \overset{\overline{}}{a} = \overset{\overline{}}{0}$$

$$5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \overset{\overline{}}{a} \times \overset{\overline{}}{b} = 0\ \Longleftrightarrow \overset{\overline{}}{a} = 0 \vee \overset{\overline{}}{b} = 0 \vee \overset{\overline{}}{b} \parallel \overset{\overline{}}{a}$$

44. Podać definicję i własności iloczynu mieszanego wektorów.

$$\left( \overset{\overline{}}{a} \times \overset{\overline{}}{b} \right) \circ \overset{\overline{}}{c} = \left| \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ \end{matrix} \right|$$

Własności:

$$1\ \left( \overset{\overline{}}{a} \times \overset{\overline{}}{b} \right) \circ \overset{\overline{}}{c} = - \left( \overset{\overline{}}{a} \times \overset{\overline{}}{c} \right) \circ \overset{\overline{}}{b} = \left( \overset{\overline{}}{c} \times \overset{\overline{}}{a} \right) \circ \overset{\overline{}}{b} = \left( \overset{\overline{}}{b} \times \overset{\overline{}}{c} \right) \circ \overset{\overline{}}{a} = - \left( \overset{\overline{}}{b} \times \overset{\overline{}}{a} \right) \circ \overset{\overline{}}{c} = - \left( \overset{\overline{}}{c} \times \overset{\overline{}}{b} \right) \circ \overset{\overline{}}{a}$$

$2\ \left| \left( \overset{\overline{}}{a} \times \overset{\overline{}}{b} \right) \circ \overset{\overline{}}{c} \right| = V$(objętość równoległościanu o krawędziach $\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b},\overset{\overline{}}{c}$)

45. Jak obliczamy odległość punktu od płaszczyzny?

$d = \frac{\left| n_{1}p_{1} + n_{2}p_{2} + n_{3}p_{3} + n_{0} \right|}{\left| \overset{\overline{}}{n} \right|}$

odległość punktu P(p₁,  p₂,  p₃) od płaszczyzny π danej równaniem n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ + n₀ = 0

46. Jak obliczamy kąt miedzy wektorami?

Niech wektor $\overset{\overline{}}{a} = \left( a_{x},\ a_{y},\ a_{z} \right)$ oraz $\overset{\overline{}}{b} = \left( b_{x},\ b_{y},\ b_{z} \right)$

$$\cos\left( \overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b} \right) = \frac{a_{x}b_{x} + a_{y}b_{y} + a_{z}b_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}\sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2} + b_{z}^{2}}}$$

47. Jak obliczamy kąt miedzy płaszczyznami?

Niech π₁  :  A₁x₁ + B₁x₂ + C₁x₃ + D₁ = 0, π₂  :  A₂x₁ + B₂x₂ + C₂x₃ + D₂ = 0

$$\cos\left( \varphi \right) = \frac{A_{1}A_{2} + B_{1}B_{2} + C_{1}C_{2}}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}}\sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}$$

48. Podać równanie elipsoidy.

$$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$$

49. Podać równanie hiperboloidy jednopowłokowej.

$$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$$

50. Podać równanie hiperboloidy dwupowłokowej.

$$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = - 1$$

51. Podać równanie paraboloidy eliptycznej.

$$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = z$$

52. Podać równanie paraboloidy hiperbolicznej.

$$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = z$$

53. Podać równanie walca eliptycznego.

$$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$

54. Podać równanie walca hiperbolicznego.

$$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$

55. Podać równanie walca parabolicznego.

x² = 2py

56. Podaj twierdzenie o rozkładzie na czynniki pierwsze. Kiedy liczbę n nazywamy liczbą pierwszą?

∀n∈ℕ   ∃!(p₁,…,p_r),  p_i pierwsze $\exists!(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{r})\frac{n > 1}{\alpha_{i}\mathbb{\in N}}$ takie, żep₁ < p₂ < … < p_r oraz n = p₁^α₁, …, p_r^α_r

Liczbę n nazywamy pierwszą jeżeli ma tylko dwa dzielniki : jedynkę i samą siebie

57. Jakie są własności relacji podzielności?

1 a|b ⇒ ∀c∈ℤ   a|bc

2 a|b ∧ b|c ⇒ a|c

3 a|b ∧ a|c ⇒ a|(b ± c)

4 a|b∧b|a ⇒ a = b    a, b ∈ ℤ₊

58. Jak brzmi twierdzenie o algorytmie Euklidesa?

Algorytm Euklidesa zawsze daje w wyniku NWD(a, b)

59. Podaj twierdzenie o przedstawieniu NWD(a,b)za pomocą kombinacji aib.

Niech a, b∈ℕ     ∃u, v∈ℤ

NWD(a,b) = au + bv

60. Co nazywamy funkcją Eulera? Ile wynosi jej wartość dla liczby pierwszej p?

Funkcja Eulera φ:ℕ → ℕ dla dowolnej liczby n∈ℕ jest określona wzorem:

φ(n) = {b ∈ {0,…,n−1}  : NWD(b,n) = 1}

Dla liczby pierwszej $p\ :\ \varphi\left( p \right) = p - 1,\ \varphi\left( p^{\alpha} \right) = p^{\alpha}\left( 1 - \frac{1}{p} \right)$

61. Podaj własności relacji kongruencji.

1 ∀a, m           a ≡ a(modm)

2 ∀a, b, m       a ≡ b(modm)⇔b ≡ a(modm)

3 ∀a, b, c, m   a ≡ b(modm), b ≡ c(modm)⇒a ≡ c(modm)

4 Jeżeli a ≡ b(modm) i c ≡ d(modm) ⇒  a ± c ≡ b ± d(modm)

5 Jeżeli a ≡ b(modm) i d|m ⇒ a ≡ b(modd)

62. Co nazywamy pełnym zbiorem reszt modulo m? Znajdź pełny zbiór reszt modulo 4.

Zbiór zawierający m klas reszt nazywamy pełnym zbiorem reszt modulo m i oznaczamy jako

[a] = {b∈ℤ :a ≡ b(modm)}

ℤ_/m = {[a], a∈ℤ}

Pełny zbiór reszt modulo 4:

[a] = {b∈ℤ :a ≡ b(mod4)} 

ℤ_/4 = {[a], a∈ℤ}

63. Co to jest element odwrotny do elementu ciała skończonego? Kiedy istnieje?

Liczbę b∈ℤ nazywamy odwrotną do a∈ℤ modulo m i piszemy b = a⁻¹(modm)

jeżeli a • b ≡ 1(modm). Jeżeli NWD(a,m) = 1, to istnieje a⁻¹(modm)

64. Jak brzmi Małe Twierdzenie Fermata?

Niech p - liczba pierwsza

1 ∀a∈ℤ   a^p ≡ a(modp)

2 ∀a∈ℤ :p ∤ a    a^p − 1 ≡ 1(modp)

65. Podaj twierdzenie o równości potęg aⁿ ≡ a^m(modp)

Jeżeli p – liczba pierwsza, p ∤ a oraz n ≡ m(mod(p − 1)) to aⁿ ≡ a^m(modp)

66. Jakie znamy własności funkcji Eulera?

1 Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to φ(p) = p − 1

2 dla $\alpha > 1\ \ \varphi\left( p^{\alpha} \right) = p^{\alpha}\left( 1 - \frac{1}{p} \right)$

3 Jeżeli NWD(m,n) = 1 to φ(mn) = φ(m)•φ(n)

67. Podaj chińskie twierdzenie o resztach.

Dany jest układ kongruencji:

$$\left\{ \begin{matrix} x \equiv a_{1}\left( \operatorname{mod}m_{1} \right) \\ \vdots \\ x \equiv a_{p}\left( \operatorname{mod}m_{p} \right) \\ \end{matrix} \right.\ $$

Jeżeli liczby całkowite dodatnie m₁, …, m_p są parami względnie pierwsze, a liczby a₁, …, a_p są dowolnymi liczbami całkowitymi to istnieją rozwiązania x₀, x₁, x₋₁, x₂, x₋₂, … tego układu kongruencji przy czym x_i = x₀ + i • M, gdzie M = m₁ • … • m_p

68. Czemu jest równe a^φ(n)(modn) ?

Jeżeli NWD(a,n) = 1 to a^φ(n) ≡ 1(modn)