POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wydział Elektryczny Instytut Elektrotechniki i Elektroniki Przemysłowej Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej
Laboratorium Teorii Obwodów Ćwiczenie nr: 4 Temat: Poprawa współczynnika mocy
Rok akademicki: 2011/2012 Wydział elektryczny Studia: dzienne magisterskie Nr grupy: E-7/3
Uwagi:

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z najprostszym sposobem poprawy współczynnika mocy (kompensacji mocy biernej) dla odbiorników o charakterze rezystancyjno – indukcyjnym.

1. Wiadomości teoretyczne:

Zdecydowana większość odbiorników energii elektrycznej ma rezystancyjno
- indukcyjny charakter obciążenia. Za przykład takiego odbiornika może służyć silnik asynchroniczny, dla którego wartość współczynnika mocy (cosφ) zmienia się od 0,1 w stanie jałowym do 0,8 - 0,9 przy obciążeniu znamionowym. Jak widać jego współczynnik mocy jest mniejszy od zalecanego przez dostawców energii
cosφ = 0, 928 (tg φ = 0, 4). Z punktu widzenia gospodarki elektroenergetycznej, przesyłanie energii przy zaniżonej wartości współczynnika mocy jest niekorzystne
i nieopłacalne, ponieważ powoduje zwiększenie strat w liniach przesyłowych
i zmniejszenie ich przepustowości. Z tego powodu odbiorcy energii muszą poprawiać współczynnik mocy, aby spełnić wszystkie wymagania.

Najczęściej stosowaną metodą poprawy wartości cosφ jest włączenie równolegle z odbiornikami baterii kondensatorów, których wartość pojemności
C można dowolnie ustawiać według potrzeb.

Moc czynna pobierana ze źródła w obu przypadkach jest taka sama (przed włączeniem kondensatora i po włączeniu) i wynosi:

P = U • I • cosφ =  U • I_w • cosφ_w

Przekształcając powyższe równanie, uzyskuje się wzór na poszukiwaną pojemność
C kondensatora w postaci:

$$C = \ \frac{P \bullet (\operatorname{tg}\varphi - \ \operatorname{tg}{\varphi_{\text{w\ }})}\ }{\omega U^{2}}$$

Pełna kompensacja mocy biernej następuje wtedy, gdy cosφ_w  = 1 (tg φ_w  = 0), wówczas wartość pojemności kondensatora wynosi:

$$C = \ \frac{P \bullet \operatorname{tg}\varphi\ }{\omega U^{2}}$$

Jeżeli jednak do układu zostanie włączona bateria kondensatorów o pojemności większej niż wyrażona powyższym wzorem zajdzie zjawisko przekompensowania. Wówczas dla źródła taki odbiornik ma charakter rezystancyjno – pojemnościowy.

1. Przebieg ćwiczenia:

1. Wyznaczanie współczynnika mocy przed i po kompensacji.

   1. Schemat połączeń:

1. Przebieg pomiarów:

Zestawić układ przedstawiony w pkt. 1.1. Dla wartości napięć U = (40, 80, 120, 150 ) [V] oraz pojemności C = (10, 20, 30, 40) [μF] dokonać pomiarów mocy czynnej oraz wartości skutecznej napięcia i prądu. Wyniki pomiarów przedstawiono w tabeli 1.3.

1. Zestawienie wyników pomiarów:

C	Z pomiarów	Z obliczeń
	U	Iw
[μF]	[V]	[A]
0	40	0,39
	80	0,78
	120	1,18
	150	1,45
10	40	0,26
	80	0,53
	120	0,8
	150	1
20	40	0,15
	80	0,3
	120	0,46
	150	0,58
30	40	0,09
	80	0,18
	120	0,28
	150	0,36
40	40	0,16
	80	0,32
	120	0,49
	150	0,62

1. Obliczenia analityczne:

   1. C = 0 [μF] :

      1. U = 40 [V] :

Obliczanie mocy pozornej S:

S = U • I_w = 40V • 0, 39A = 15, 6 [VA]

Z trójkąta mocy:

$$\frac{P}{S} = \cos{\varphi_{\text{w\ }} = > \ \cos{\varphi_{\text{w\ }} = \ \frac{3W}{15,6VA} = 0,1923\ }\ }$$

Wyznaczanie wartości kąta φ_w w stopniach:

arccos(0,1923)= 7854^′ = > φ_w  =  7854^′

Z tego wynikają wartości:

sinφ_w  = 0, 9813

tg φ_w = 5,  1032

Obliczanie wartości Q_w oraz Q_c:

Q_c = 0 [var]

Q_w = P • tg φ_w  = 3 • 5, 1032 ≈ 15, 31 [var]

1. U = 80 [V] :

Obliczanie mocy pozornej S:

S = U • I_w = 80V • 0, 78A = 62, 4 [VA]

Z trójkąta mocy:

$$\frac{P}{S} = \cos{\varphi_{\text{w\ }} = > \ \cos{\varphi_{\text{w\ }} = \ \frac{12W}{62,4VA} = 0,1923\ }\ }$$

Wyznaczanie wartości kąta φ_w w stopniach:

arccos(0,1923)= 7854^′ = > φ_w  =  7854^′

Z tego wynikają wartości:

sinφ_w  = 0, 9813

tg φ_w = 5,  1032

Obliczanie wartości Q_w oraz Q_c:

Q_c = 0 [var]

Q_w = P • tg φ_w  = 12 • 5, 1032 ≈ 61, 24 [var]

1. U = 120 [V] :

Obliczanie mocy pozornej S:

S = U • I_w = 120V • 1, 28A = 141, 6 [VA]

Z trójkąta mocy:

$$\frac{P}{S} = \cos{\varphi_{\text{w\ }} = > \ \cos{\varphi_{\text{w\ }} = \ \frac{27W}{141,6VA} = 0,1907\ }\ }$$

Wyznaczanie wartości kąta φ_w w stopniach:

arccos(0,1907)= 79 = > φ_w  =  79

Z tego wynikają wartości:

sinφ_w  = 0, 9816

tg φ_w = 5,  1446

Obliczanie wartości Q_w oraz Q_c:

Q_c = 0 [var]

Q_w = P • tg φ_w  = 27 • 5, 1476 ≈ 138, 99 [var]

1. U = 150 [V] :

Obliczanie mocy pozornej S:

S = U • I_w = 150V • 1, 45A = 217, 5 [VA]

Z trójkąta mocy:

$$\frac{P}{S} = \cos{\varphi_{\text{w\ }} = > \ \cos{\varphi_{\text{w\ }} = \ \frac{42W}{217,5A} = 0,1931\ }\ }$$

Wyznaczanie wartości kąta φ_w w stopniach:

arccos(0,1931)= 7851′= >  φ_w  =  7851′

Z tego wynikają wartości:

sinφ_w  = 0, 9812

tg φ_w = 5,  0812

Obliczanie wartości Q_w oraz Q_c:

Q_c = 0 [var]

Q_w = P • tg φ_w  = 42 • 5, 0812 ≈ 213, 41 [var]

1. C = 10 [μF] :

   1. U = 40 [V] :

Wyznaczanie wartości kąta φ_w :

$$C = \ \frac{I \bullet \sin{\varphi - \ I_{w} \bullet \sin\varphi_{w}}}{\text{ωU}}$$

$$\sin\varphi_{w} = \ \frac{I \bullet \sin{\varphi - \ C\omega U}}{I_{w}} = \ \frac{0,39 \bullet 0,9813 - 10 \bullet 10^{- 6}F \bullet 314 \bullet 40V}{0,26} \approx 0,9989\ $$

Wyznaczanie wartości kąta φ_w w stopniach:

arcsin(0,9989)= 8126^′ = > φ_w  =  8126^′

Z tego wynikają wartości:

cosφ_w  = 0, 1488

tg φ_w = 6, 6435

Obliczanie mocy pozornej S:

S = U • I_w = 40V • 0, 26A = 10, 4 [VA]

Obliczanie mocy czynnej P:

P = S •  cosφ_w  = 10, 4VA • 0, 1488 = 1, 55 [W] 

Obliczanie wartości Q_w oraz Q_c:

$$Q_{c} = \ \frac{U^{2}}{X_{c}}\ = - C \bullet \omega \bullet U^{2} = \ - \left( 10 \bullet 10^{- 6}F\ \bullet 314 \bullet 1600V \right) = - 5,024\ \left\lbrack \text{var} \right\rbrack$$

$$\text{Qw} = \sqrt{S^{2} - P^{2}} \approx 10,28\ \lbrack var\rbrack$$

Obliczanie wartości prądu I_c płynącego przez kondensator:

$$I_{c} = \ \frac{U}{X_{c}} = \ \frac{U}{\frac{- 1}{\omega \bullet C}} = - U \bullet \omega \bullet C = \ - 40V \bullet 314 \bullet 10 \bullet 10^{- 6}\ F = \ - 0,1256\lbrack A\rbrack$$

1. U = 80 [V] :

Wyznaczanie wartości kąta φ_w :

$$C = \ \frac{I \bullet \sin{\varphi - \ I_{w} \bullet \sin\varphi_{w}}}{\text{ωU}}$$

$$\sin\varphi_{w} = \ \frac{I \bullet \sin{\varphi - \ C\omega U}}{I_{w}} = \ \frac{0,78 \bullet 0,9813 - 10 \bullet 10^{- 6}F \bullet 314 \bullet 80V}{0,53} \approx 0,9702\ $$

Wyznaczanie wartości kąta φ_w w stopniach:

arcsin(0,9702)= 7559^′ = > φ_w  =  7559^′

Z tego wynikają wartości:

cosφ_w  = 0, 2422

tg φ_w = 4, 0048

Obliczanie mocy pozornej S:

S = U • I_w = 80V • 0, 53A = 42, 4 [VA]

Obliczanie mocy czynnej P:

P = S •  cosφ_w  = 42, 4VA • 0, 2422 = 10, 27 [W] 

Obliczanie wartości Q_w oraz Q_c:

$$Q_{c} = \ \frac{U^{2}}{X_{c}}\ = - C \bullet \omega \bullet U^{2} = \ - \left( 10 \bullet 10^{- 6}F\ \bullet 314 \bullet 6400V \right) = - 20,096\ \left\lbrack \text{var} \right\rbrack$$

$$\text{Qw} = \sqrt{S^{2} - P^{2}} \approx 41,14\ \lbrack var\rbrack$$

Obliczanie wartości prądu I_c płynącego przez kondensator:

$$I_{c} = \ \frac{U}{X_{c}} = \ \frac{U}{\frac{- 1}{\omega \bullet C}} = - U \bullet \omega \bullet C = \ - 80V \bullet 314 \bullet 10 \bullet 10^{- 6}\ F = \ - 0,2512\lbrack A\rbrack$$

1. U = 120 [V] :

Wyznaczanie wartości kąta φ_w :

$$C = \ \frac{I \bullet \sin{\varphi - \ I_{w} \bullet \sin\varphi_{w}}}{\text{ωU}}$$

$$\sin\varphi_{w} = \ \frac{I \bullet \sin{\varphi - \ C\omega U}}{I_{w}} = \ \frac{1,18 \bullet 0,9816 - 10 \bullet 10^{- 6}F \bullet 314 \bullet 120V}{0,8} \approx 0,9769\ $$

Wyznaczanie wartości kąta φ_w w stopniach:

arcsin(0,9769)= 7739^′ = > φ_w  =  7739^′

Z tego wynikają wartości:

cosφ_w  = 0, 2139

tg φ_w = 4, 5673

Obliczanie mocy pozornej S:

S = U • I_w = 120V • 0, 8A = 96 [VA]

Obliczanie mocy czynnej P:

P = S •  cosφ_w  = 96VA • 0, 2139 = 20, 53 [W] 

Obliczanie wartości Q_w oraz Q_c:

$$Q_{c} = \ \frac{U^{2}}{X_{c}}\ = - C \bullet \omega \bullet U^{2} = \ - \left( 10 \bullet 10^{- 6}F\ \bullet 314 \bullet 14400V \right) = - 45,216\ \left\lbrack \text{var} \right\rbrack$$

$$\text{Qw} = \sqrt{S^{2} - P^{2}} \approx 93,78\ \lbrack var\rbrack$$

Obliczanie wartości prądu I_c płynącego przez kondensator:

$$I_{c} = \ \frac{U}{X_{c}} = \ \frac{U}{\frac{- 1}{\omega \bullet C}} = - U \bullet \omega \bullet C = \ - 12V \bullet 314 \bullet 10 \bullet 10^{- 6}\ F = \ - 0,3768\lbrack A\rbrack$$

1. U = 150 [V] :

Wyznaczanie wartości kąta φ_w :

$$C = \ \frac{I \bullet \sin{\varphi - \ I_{w} \bullet \sin\varphi_{w}}}{\text{ωU}}$$

$$\sin\varphi_{w} = \ \frac{I \bullet \sin{\varphi - \ C\omega U}}{I_{w}} = \ \frac{1,45 \bullet 0,9812 - 10 \bullet 10^{- 6}F \bullet 314 \bullet 150V}{1} \approx 0,9517\ $$

Wyznaczanie wartości kąta φ_w w stopniach:

arcsin(0,9517)= 728^′ = > φ_w  =  728^′

Z tego wynikają wartości:

cosφ_w  = 0, 3069

tg φ_w = 3, 1011

Obliczanie mocy pozornej S:

S = U • I_w = 150V • 1A = 150 [VA]

Obliczanie mocy czynnej P:

P = S •  cosφ_w  = 150VA • 0, 3069 = 46, 04 [W] 

Obliczanie wartości Q_w oraz Q_c:

$$Q_{c} = \ \frac{U^{2}}{X_{c}}\ = - C \bullet \omega \bullet U^{2} = \ - \left( 10 \bullet 10^{- 6}F\ \bullet 314 \bullet 22500V \right) = - 70,65\ \left\lbrack \text{var} \right\rbrack$$

$$\text{Qw} = \sqrt{S^{2} - P^{2}} \approx 142,76\ \lbrack var\rbrack$$

Obliczanie wartości prądu I_c płynącego przez kondensator:

$$I_{c} = \ \frac{U}{X_{c}} = \ \frac{U}{\frac{- 1}{\omega \bullet C}} = - U \bullet \omega \bullet C = \ - 150V \bullet 314 \bullet 10 \bullet 10^{- 6}\ F = \ - 0,471\lbrack A\rbrack$$

Obliczenia dla pozostałych wartości pojemności C baterii kondensatorów
(tj. 20,30,40 [μF]) zostały wykonane analogicznie, z użyciem tych samych wzorów.

1. Wykresy wskazowe prądów i napięć dla wszystkich wartości napięć
   i pojemności kondensatorów:

4. Obliczanie wartości pojemności C kondensatora potrzebnej do pełnej kompensacji mocy biernej układu. Przykładowe obliczenia dla poszczególnych napięć:

U	C
[V]	[μF]
40	30, 47
80	30, 47
120	30, 47
150	30, 21

Po uśrednieniu i przybliżeniu wartości pojemności C kondensatora wynika iż wartość ta powinna wynosić C = 30,405 [μF].

1. Wnioski i uwagi końcowe:

Z punktu widzenia dostawców energii elektrycznej, jej przesył jest opłacalny tylko wtedy, gdy wartość współczynnika mocy jest nie mniejsza od zalecanej cosφ = 0, 928 (tg φ = 0, 4). Przesył przy zaniżonej wartości tego współczynnika powoduje zwiększenie strat na liniach przesyłowych i zmniejszenie ich przepustowości. Za dostosowanie wartości cosφ do wymogów odpowiedzialny jest odbiorca. Najprostszą metodą poprawy współczynnika mocy jest równoległe włączenie do odbiornika baterii kondensatorów, o regulowanej pojemności. Analizując poszczególne wartości pojemności C, stopniowo załączanych baterii kondensatorów, można stwierdzić, iż zwiększenie tych pojemności powoduje poprawę współczynnika mocy danego układu (wzrost wartości cosφ_w). Można jednocześnie zauważyć spadek wartości mocy pozornej S (na rzecz rosnącej wartości mocy biernej) oraz wartości prądu
I_w pobieranego ze źródła, jednakże tylko do momentu, gdy nie nastąpi całkowita kompensacja mocy biernej indukcyjnej układu. Według obliczeń wykonanych na podstawie pomiarów wartość pojemności C, potrzebnej do pełnej kompensacji wynosi ok. 30,405 [μF]. Przekroczenie tej wartości skutkuje przekompensowaniem układu,
a w efekcie zmianą jego charakteru z rezystancyjno – indukcyjnego na rezystancyjno – pojemnościowy. Sytuacje kompensacji mocy biernej dla danych wartości napięcia
U = 40, 80, 120, 150 [V] z uwzględnieniem wszystkich pojemności baterii kondensatorów C = 0, 10, 20, 30, 40 [μF] prezentują wykresy wskazowe prądów
i napięć.

1. Parametry i dane znamionowe zastosowanych urządzeń i mierników:

• Autotransformator MERAZET,

• Woltomierz,

• Amperomierz (2 szt.),

• Płytka ćwiczeniowa,

• Listwa zaciskowa.

1. Literatura:

[1] Bolkowski S., Elektrotechnika teoretyczna, WNT, Warszawa 2001,

[2] Cholewicki T., Elektrotechnika teoretyczna, t. 1, WNT, Warszawa 1973,

[3] Krakowski M., Elektrotechnika teoretyczna, t. 1, PWN, Warszawa 1995,

[4] Kurdziel N., Podstawy elektrotechniki, WNT, Warszawa, 1972,

[5] Frąckowiak J., Nawrocki R., Zielińska M., Podstawy elektrotechniki. Laboratorium, wyd. 1, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2011.