| Rafał Cebula | I rok, Grupa Laboratoryjna 2 | Wydział Budownictwa Politechnika Opolska |
|---|---|---|
| Temat Ćwiczenia nr 13 | WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA | |
| Ćwiczenie nr 8 | 14.05.2008 r. |
Odkształcenie ciała sztywnego pod wpływem sił zewnętrznych polega na przemieszczaniu się cząsteczek tego ciała z pierwotnego położenia równowagi w inne. Temu przemieszczaniu się przeciwdziałają siły wzajemnego oddziaływania między cząsteczkami.
Wielkością fizyczną, równą liczbowo sile sprężystości F przypadającej na jednostkę powierzchni przekroju ciała, nazywamy naprężeniem σ.
Angielski fizyk R. Hooke stwierdził na drodze doświadczalnej, że naprężenie ciała sprężyście odkształconego jest proporcjonalne do względnego odkształcenia tego ciała.
gdzie:
K - współczynnik sprężystości zależny od właściwości materiału, z którego wykonane jest ciało,
ε - odkształcenie względne
σ - naprężenie.
Ciała mogą podlegać odkształceniom:
jednostronnego ściskania lub rozciągania,
wszechstronnego ściskania lub rozciągania,
ścinania,
Nas, z powodu, iż mamy do czynienia z prętami o stosunkowo dużej powierzchni przekroju, interesować będzie zginanie ciała, które możemy rozpatrywać, jako równoczesne ściskanie górnej i rozciąganie dolnej powierzchni. Miarą odkształcenia jest strzałka ugięcia H (odległość między środkową warstwą pręta przed i po odkształceniu).
Z prawa Hooke’a wynika następujący wzór na wartość strzałki ugięcia dla pręta o długości l i przekroju w kształcie prostokąta o podstawie a i wysokości h.
gdzie: E - moduł Younga dla danego materiału.
Moduł Younga obliczamy ze wzoru:
gdzie: a – szerokość pręta,
h – grubość pręta w kierunku działania siły F
l – długość pręta mierzona między krawędziami podparcia pręta
F - siła
H - strzałka ugięcia
WYKONANIE ĆWICZENIA
TABELA POMIAROWA I
| Rodzaj pręta | Długość-l | Krawędź przekroju-ai | Wartość średnia-a | Krawędź przekroju-hi | Wartość średnia-hi |
|---|---|---|---|---|---|
| PRĘT 1 | 0,482 | 0,012 0,017 0,018 |
0,012 | 0,0116 0,0119 0,0119 |
0,0118 |
| PRĘT 2 | 0,215 | 0,003 0,0031 0,0029 |
0,003 | 0,0164 0,0164 0,0164 |
0,0164 |
| PRĘT 3 | 0,312 | 0,0129 0,0126 0,0126 |
0,0127 | 0,0051 0,0052 0,0049 |
0,0051 |
| PRĘT 4 | 0,336 | 0,0052 0,0051 0,0050 |
0,0051 | 0,020 0,021 0,022 |
0,021 |
TABELA POMIAROWA II
| Rodzaj pręta | Nr pomiaru | Obciążenie F |
H1 [mm] |
H2 [mm] |
Hśr [m] |
F/H [N/m] |
Wartość średnia F/H [N/m] |
Moduł Younga E |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| PRĘT 1 | 1 | 9,81 | 0,18 | 0,18 | 0,00018 | 54500 | 54550,365 | |
| 2 | 19,62 | 0,35 | 0,36 | 0,000355 | 55267,60 | |||
| 3 | 29,43 | 0,53 | 0,54 | 0,000535 | 55009,35 | |||
| 4 | 39,24 | 0,72 | 0,73 | 0,000725 | 54124,14 | |||
| 5 | 49,05 | 0,91 | 0,91 | 0,00091 | 53901,10 | |||
| 6 | 58,86 | 1,08 | 1,08 | 0,00108 | 54500 | |||
| PRĘT 2 | 1 | 9,81 | 0,33 | 0,30 | 0,000315 | 31142,86 | 26485,61 | |
| 2 | 19,62 | 0,68 | 0,85 | 0,000765 | 25647,06 | |||
| 3 | 29,43 | 1,07 | 1,22 | 0,001145 | 25703,06 | |||
| 4 | 39,24 | 1,48 | 1,60 | 0,00154 | 25480,52 | |||
| 5 | 49,05 | 1,90 | 1,97 | 0,001935 | 25348,84 | |||
| 6 | 58,86 | 2,30 | 2,30 | 0,00230 | 25591,30 | |||
| PRĘT 3 | 1 | 9,81 | 0,18 | 0,19 | 0,000185 | 53027,03 | 54884,57 | |
| 2 | 19,62 | 0,35 | 0,35 | 0,00035 | 56057,14 | |||
| 3 | 29,43 | 0,53 | 0,53 | 0,00053 | 55528,30 | |||
| 4 | 39,24 | 0,71 | 0,72 | 0,000715 | 54881,12 | |||
| 5 | 49,05 | 0,89 | 0,90 | 0,000895 | 54804,47 | |||
| 6 | 58,86 | 1,07 | 1,07 | 0,00107 | 55009,35 | |||
| PRĘT 4 | 1 | 9,81 | 0,26 | 0,27 | 0,000265 | 37018,87 | 37256,34 | |
| 2 | 19,62 | 0,53 | 0,54 | 0,000535 | 36672,89 | |||
| 3 | 29,43 | 0,78 | 0,79 | 0,000785 | 37490,45 | |||
| 4 | 39,24 | 1,05 | 1,06 | 0,001055 | 37194,31 | |||
| 5 | 49,05 | 1,30 | 1,30 | 0,00130 | 37730,77 | |||
| 6 | 58,86 | 1,56 | 1,56 | 0,00156 | 37730,77 |
WYZNACZAM STRZAŁKĘ UGIĘCIA DLA POSZCZEGÓLNYCH PRĘTÓW „H”
Korzystam ze wzoru:
$$H = \ \frac{H_{1} + H_{2}}{2}$$
Dla pręta 1:
H1 = $\frac{0,18 + 0,18}{2} = 0,18mm = 0,00018m$
H2 = $\frac{0,35 + 0,36}{2} = 0,355mm = 0,000355m$
H3 = 0,000535m
H4 = 0,000725m
H5 = 0,00091m
H6 = 0,00108m
Dla pozostałych prętów strzałka ugięcia została obliczona w ten sam sposób, a otrzymane wartości podane zostały w powyższej tabeli.
Wyznaczam wartość stosunku F/H
Dla pręta 1:
F/H = $\frac{9,81}{0,00018} = 54500$
F/H = $\frac{19,62}{0,000355} = 55267,60$
F/H = 55009,35
F/H = 54124,14
F/H = 53901,10
F/H = 54500
Dla pozostałych prętów wartość F/H została wyznaczona w ten sam sposób. Otrzymane wartości podane są w powyższej tabeli.
Moduł Younga obliczam z następującego wzoru:
$$E = \frac{l^{3}}{4*a*h^{3}}*\frac{F}{H}$$
Dla pręta 1:
$$E = \frac{{0,482}^{3}}{4*0,012*{0,0118}^{3}}*54550,365 = 7745*10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$
Dla pręta 2:
$$E = \frac{{0,215}^{3}}{4*0,003*{0,0164}^{3}}*26485,61 = 4972*10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$
Dla pręta 3:
$$E = \frac{{0,312}^{3}}{4*0,0127*{0,0051}^{3}}*54884,57 = 24736*10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$
Dla pręta 4:
$$E = \frac{{0,336}^{3}}{4*0,0051*{0,021}^{3}}*37256,34 = 7480*10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$
Wyznaczanie niepewności pomiarowych:
$$u\left( E \right) = \sqrt{\left( \frac{{3l}^{2}}{{4ah}^{3}}*\frac{F}{H}*u(l) \right)^{2} + \left( \frac{{- l}^{3}{4h}^{3}}{\left( {4ah}^{3} \right)^{2}}*u\left( a \right) \right)^{2} + \left( \frac{{- 3l}^{3}{4ah}^{2}}{\left( {4ah}^{3} \right)^{2}}*\frac{F}{H}*u\left( h \right) \right)^{2} + \left( \frac{l^{3}}{{4ah}^{3}}*u\left( \frac{F}{H} \right) \right)^{2}}$$
$$u\left( l \right) = \sqrt{\frac{\left(_{d}l \right)^{2} + \left(_{e}l \right)^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{\left( 0,01 \right)^{2} + \left( 0,02 \right)^{2}}{3}} = 0,013$$
u(a) = u(l) = u(h) = u(H) = 0, 013
$$u\left( \frac{F}{H} \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{H}*u\left( F \right) \right)^{2} + \left( - \frac{F}{H^{2}}*u\left( H \right) \right)^{2}}$$
Dla pręta 1
$$u\left( \frac{F}{H} \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{0,63}*8,1*10^{- 10} \right)^{2} + \left( - \frac{34,34}{{0,63}^{2}}*0,013 \right)^{2}} = 1,125$$
$$\frac{\partial E}{\partial l}*u\left( l \right) = \left( \frac{3*{0,482}^{2}}{4*0,012*{0,0118}^{3}}*54550,365*0,013 \right)^{2} = 3,927*10^{19}$$
$$\frac{\partial E}{\partial a}*u\left( a \right) = \left( \frac{- {0,482}^{3}*4*{0,0118}^{3}}{\left( 4*0,012*{0,0118}^{3} \right)^{2}}*0,013 \right)^{2} = 2,366*10^{12}$$
$$\frac{\partial E}{\partial h}*u\left( h \right) = \left( \frac{- 3*{0,482}^{3}*4*0,012*{0,0118}^{2}}{\left( 4*0,012*{0,0118}^{3} \right)^{2}}*54550,365*0,013 \right)^{2} = 6,553*10^{20}$$
$$\frac{\partial E}{\partial\frac{F}{H}}*u\left( \frac{F}{H} \right) = \left( \frac{{0,482}^{3}}{4*0,012*{0,0118}^{3}}*1,125 \right)^{2} = 2,551*10^{12}$$
$$\mathbf{u}\left( \mathbf{E} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{3,927*}\mathbf{10}^{\mathbf{19}}\mathbf{+ 2,366*}\mathbf{10}^{\mathbf{12}}\mathbf{+ 6,553*}\mathbf{10}^{\mathbf{20}}\mathbf{+ 2,551*}\mathbf{10}^{\mathbf{12}}}\mathbf{= = 2,560*}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}$$
Dla pręta 2
$$\frac{\partial E}{\partial l}*u\left( l \right) = 8,137*10^{17}$$
$$\frac{\partial E}{\partial a}*u\left( a \right) = 6,619*10^{11}$$
$$\frac{\partial E}{\partial h}*u\left( h \right) = 1,398*10^{20}$$
$$\frac{\partial E}{\partial\frac{F}{H}}*u\left( \frac{F}{H} \right) = 2,238*10^{10}$$
$$\mathbf{u}\left( \mathbf{E} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{8,137*}\mathbf{10}^{\mathbf{17}}\mathbf{+ 6,619*}\mathbf{10}^{\mathbf{11}}\mathbf{+ 1,398*}\mathbf{10}^{\mathbf{20}}\mathbf{+ 2,238*}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}}\mathbf{= = 1,185*}\mathbf{10}^{\mathbf{1}\mathbf{1}}$$
Dla pręta 3
$$\frac{\partial E}{\partial l}*u\left( l \right) = 9,560*10^{20}$$
$$\frac{\partial E}{\partial a}*u\left( a \right) = 2,128*10^{13}$$
$$\frac{\partial E}{\partial h}*u\left( h \right) = 3,578*10^{24}$$
$$\frac{\partial E}{\partial\frac{F}{H}}*u\left( \frac{F}{H} \right) = 2,738*10^{13}$$
$$\mathbf{u}\left( \mathbf{E} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{9,560*}\mathbf{10}^{\mathbf{20}}\mathbf{+ 2,128*}\mathbf{10}^{\mathbf{13}}\mathbf{+ 3,578*}\mathbf{10}^{\mathbf{24}}\mathbf{+ 2,738*}\mathbf{10}^{\mathbf{13}}}\mathbf{= = 1,891*}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}$$
Dla pręta 4
$$\frac{\partial E}{\partial l}*u\left( l \right) = 7,538*10^{17}$$
$$\frac{\partial E}{\partial a}*u\left( a \right) = 2,619*10^{11}$$
$$\frac{\partial E}{\partial h}*u\left( h \right) = 1,929*10^{23}$$
$$\frac{\partial E}{\partial\frac{F}{H}}*u\left( \frac{F}{H} \right) = 1,058*10^{10}$$
$$\mathbf{u}\left( \mathbf{E} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{7,538*}\mathbf{10}^{\mathbf{17}}\mathbf{+ 2,619*}\mathbf{10}^{\mathbf{11}}\mathbf{+ 1,929*}\mathbf{10}^{\mathbf{30}}\mathbf{+ 1,058*}\mathbf{10}^{\mathbf{13}}}\mathbf{= = 1,388*}\mathbf{10}^{\mathbf{1}\mathbf{1}}$$
Wartości modułu Younga wyznaczone z wykresu:
$$E = \frac{l^{3}}{{4ah}^{3}*\frac{H}{F}}$$
Dla pręta 1
$$\mathbf{E =}\frac{\mathbf{0,482}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{4*0,012*}\mathbf{0,0118}^{\mathbf{3}}\mathbf{*}\frac{\mathbf{0,9}}{\mathbf{49,05}}}\mathbf{= 7738*}\mathbf{10}^{\mathbf{7}}\left\lbrack \frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$
$$\mathbf{E =}\frac{\mathbf{0,215}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{4*0,003*}\mathbf{0,0164}^{\mathbf{3}}\mathbf{*}\frac{\mathbf{1,985}}{\mathbf{49,05}}}\mathbf{= 4698*}\mathbf{10}^{\mathbf{7}}\left\lbrack \frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$
Dla pręta 3
$$\mathbf{E =}\frac{\mathbf{0,312}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{4*0,0127*}\mathbf{0,0051}^{\mathbf{3}}\mathbf{*}\frac{\mathbf{0,885}}{\mathbf{49,05}}}\mathbf{= 24979*}\mathbf{10}^{\mathbf{7}}\left\lbrack \frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$
D la pręta 4
$$\mathbf{E =}\frac{\mathbf{0,336}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{4*0,0051*}\mathbf{0,021}^{\mathbf{3}}\mathbf{*}\frac{\mathbf{1,295}}{\mathbf{49,05}}}\mathbf{= 7604*}\mathbf{10}^{\mathbf{7}}\left\lbrack \frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$
WNIOSKI:
W ćwiczeniu tym należało wyznaczyć wartości modułu Younga dla próbek wykonanych z różnego rodzaju materiału. Otrzymane wartości w wyniku obliczeń nieco się różnią od wartości otrzymanych na podstawie wykresu. Różnice, które się pojawiły wynikają z przybliżeń poszczególnych wartości.
Zestawienie wartości modułu Younga dla badanych prętów:
| Wartość tablicowa | Wartość obliczona | Wartość odczytana z wykresu | Rodzaj materiału z którego wykonany był badany pręt | |
|---|---|---|---|---|
| Pręt 1 | 7350-10300$\ *10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$ | $$7745*10^{7} \pm 2,560*10^{10}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
$$7738*10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
Żelazo lane |
| Pręt 2 | 3400-12700$\ *10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$ | $$4972*10^{7} \pm 1,185*10^{10}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
$$4698*10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
Cynk |
| Pręt 3 | 18140-23000 $*10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$ | $$24736*10^{7} \pm 1,891*10^{10}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
$$24979*10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
Stal |
| Pręt 4 | 7350-10300 $*10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$ | $$7480*10^{7} \pm 1,388*10^{10}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
$$7604*10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
Żelazo lane |
Przedstawione wartości otrzymane z obliczeń i odczytane z wykresu nieco się różnią od wartości tablicowych. Różnice te mogą wynikać z niedokładności odczytania wartości mierzonych, z niedokładności punktu 0 na śrubie mikrometrycznej, ze wstrząsów pochodzących z zewnątrz, które spowodowały niewielkie drgania miernika, a także z niedokładnego wycechowania odważników.